河南省多校2024-2025学年高二（上）期中数学试卷（含答案）

河南省多校2024-2025学年高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.曲线与曲线的( )
A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等
2.已知数列的通项公式为，且和是中的两项，则( )
A. B. C. D.
3.已知中心在原点的双曲线的一条渐近线的斜率为，且一个焦点的坐标为，则的方程为( )
A. B. C. D.
4.设为“”，为“是等差数列”，则是的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5.若直线与圆相离，则点( )
A. 在圆外 B. 在圆内 C. 在圆上 D. 位置不确定
6.设为椭圆上一动点，，分别为椭圆的左、右焦点，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.设等差数列和的前项和分别为和，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知为抛物线的焦点，的三个顶点都在上，且为的重心若的最大值为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记等差数列的前项和为，，，则( )
A. B. C. D.
10.已知直线的方程为，，，则下列结论正确的是( )
A. 点不可能在直线上
B. 直线恒过点
C. 若点，到直线的距离相等，则
D. 直线上恒存在点，满足
11.如图，在三棱锥中，，平面，，，，，分别为，，，的中点，是的中点，是线段上的动点，则( )
A. 存在，，使得
B. 不存在点，使得
C. 的最小值为
D. 异面直线与所成角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系中，点与关于原点对称，则点的坐标为 ．
13.记数列的前项和为，已知且，，则 ．
14.已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和如图为椭圆及其蒙日圆，的离心率为，点，，，分别为蒙日圆与坐标轴的交点，，，，分别与相切于点，，，，则四边形与四边形的面积的比值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设为递增的等差数列，其前项和为，已知，且．
求的通项公式；
求使成立的的最小值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，，，为的中点．
证明：
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知是抛物线的焦点，是上一点，且在的准线上的射影为，．
求的方程
过点作斜率大于的直线与交于另一点，若的面积为，求的方程．
18.本小题分
如图，在斜三棱柱中，平面平面，是边长为的等边三角形，，为的中点，且，为的中点，为的中点，．
Ⅰ设向量为平面的法向量，证明：
Ⅱ求点到平面的距离
Ⅲ求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别是，，是的右支上一点，的中点为，且为坐标原点，是的右顶点，，是上两点均与点不重合．
Ⅰ求的方程
Ⅱ若，不关于坐标轴和原点对称，且的中点为，证明：直线与直线的斜率之积为定值
Ⅲ若，不关于轴对称，且，证明：直线过定点．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
设公差为，
因为，且，
所以，解得或舍，
故；
由可得，，
若，则，解得，
故的最小值为．

16.解：证明：由，，，，
可得，，
则，，
又，平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以；
以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图：
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则
取，可得，则，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为：．
17.解：由题可知，抛物线的准线方程为，
因为在抛物线上，，
所以，解得或舍，故抛物线的方程：；
由，，，
设直线为，且，
联立直线与抛物线，有，
令点的坐标为，
有，解得，
故，
点到直线的距离为，
所以的面积为，
解得或舍，所以直线的方程为．
18.Ⅰ证明：连接，
因为，为的中点，
所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，平面，
所以，，
因为为等边三角形，所以，
则、、两两垂直，
以点为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
，，，
由，可得，
由为的中点，，可得，，
则，
可知，而，，
则．
Ⅱ解：，，，
设平面的法向量为，
则
令，则，，，
则点得到平面的距离为．
Ⅲ解：，，
设平面的法向量为，
则
令，则，，即，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
19.解：Ⅰ因为为的中点，为中点，
所以，
所以，即，
又，则，所以，
所以双曲线的标准方程为
Ⅱ设，
因为，不关于坐标轴和原点对称，且的中点为，
则
两式相减可得，
即，
所以直线与直线的斜率之积为定值
Ⅲ若，不关于轴对称，设直线的方程为，
联立，消去得，
由题意，，，
因为，，且，
所以
，
化简得，解得，或，
当时，直线为恒过与点重合，不合题意，
当时，直线为恒过，
所以直线过定点．
第1页，共1页