吉林省长春三校2024-2025学年高一（上）联考数学试卷（PDF版，含答案）

吉林省长春三校 2024-2025 学年高一（上）联考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.将 315°化为弧度制，正确的是( )
5 5 7
A. B. C. D.
3 4 4 4
2.已知集合 = { |0 < < 2}， = { |2 + 1 < 3}，则 ∩ =( )
A. { |0 < < 1} B. { |1 < < 2} C. { | > 0} D. { | < 2}
3.命题“ < 0， 2 + 1 > 3”的否定是( )
A. ≥ 0， 2 + 1 ≤ 3 B. < 0， 2 + 1 ≤ 3
C. < 0， 2 + 1 ≤ 3 D. ≥ 0， 2 + 1 ≤ 3
4.已知函数 (3 + 1) = 6 4，且 ( ) = 8，则 =( )
A. 2 B. 7 C. 25 D. 44
5.在2 内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血
液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量 随时间 变化的图象是( )
A. B.
C. D.
(4 ) + 2 , < 1
6.已知函数 ( ) = { 的值域为 ，则实数 的取值范围是( )
3 , ≥ 1
A. ( 4,4) B. [ 4,4) C. ( ∞, 4] D. { 4}
7.已知函数 ( )为定义在 上的奇函数，且在[0, +∞)上单调递减，满足 ( 2 ) ( 1 ) ≤ 2 (3)，则实
2
数 的取值范围为( )
1 1
A. (0, ) B. [ , 8] C. (0,8] D. [8, +∞)
8 8
6
8.已知 > 0， ∈ ，若关于 的不等式( 2)( 2 + 8) ≥ 0在(0, +∞)上恒成立，则 + 的最小值是

( )
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A. 4 B. 4√ 2 C. 8 D. 8√ 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
1 1
A. 关于 的不等式 2 + + > 0的解集为( 2,3)，则不等式 2 + < 0的解集为( , )
3 2
B. 若函数 ( )的定义域是[ 2,3]，则函数 ( 1)的定义域是[ 1,4]
1
C. 函数 ( ) = √ 2 2 3的单调递增区间为[ , +∞)
4
D. 已知实数 ， 满足 3 ≤ + ≤ 2，1 ≤ ≤ 4，则3 + 的取值范围是[ 5,0]
, <
10.定义 { , } = { ，设 ( ) = {| |, + 1}，则( )
, ≥
1
A. ( )有最大值，无最小值 B. 当 ≤ 0， ( )的最大值为
2
1 1
C. 不等式 ( ) ≤ 的解集为( ∞, ] D. ( )的单调递增区间为(0,1)
2 2
11.已知3 = 5 = 15，则下列结论正确的是( )
1 1
A. > B. + = C. ( ) > ( ) D. + 4 > 9
2 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知0 < < 1，若关于 的方程4 | | + 3 2 = 0有两个不等的实数根，则实数 的取值范围是______．
1
13.已知幂函数 ( ) = 的图象过点(3, )，若 (2 + 1) < (5)，则实数 的取值范围是______．
9
1 2 1
14.若正实数 ， 满足 + 2 = 4，不等式 2 + > + 有解，则 的取值范围是______．
3 +1
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
对于集合 ， ，我们把集合{( , )| ∈ ， ∈ }记作 × ．
例如： = {1,2}， = {3,4}，则有
× = {(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，
× = {(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，
× = {(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，
× = {(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)}，
据此，试解答下列问题：
(1)已知 = { }， = {1,2,3}，求 × ；
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(2)已知 × = {(1,2)，(2,2)}，求集合 ， ；
(3)若 中有3个元素， 中有4个元素，试确定 × 有几个元素．
16.(本小题12分)
已知 ( )是定义在[ 4,4]上的奇函数，当 ∈ [0,4]时， ( ) = 2 4 ．
(1)求 ( )在[ 4,0)上的解析式；

(2)若存在 ∈ [ 2, 1]，使得不等式 ( ) ≤ 成立，求 的取值范围． 2
17.(本小题12分)
某民营企业生产 、 两种产品，根据市场调查和预测， 产品的利润与投资成正比，其关系如图1所示； 产
品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2所示(利润与投资单位：万元)．
(1)分别将 、 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入 、 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使
企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？
18.(本小题12分)
10
已知函数 ( ) = log ( > 1)，关于 的不等式| ( )| < 1的解集为( , )，且 + = ． 3
(1)求 的值；
1 3
(2)是否存在实数 ，使函数 ( ) = [ ( )]2 2 ( ) + 3， ∈ [ , 9]的最小值为 ？若存在，求出 的值；若
3 4
不存在，说明理由．
19.(本小题12分)
取名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理．该定理表明：对于
满足一定条件的图象连续不间断的函数 ( )，在其定义域内存在一点 0，使得 ( 0) = 0，则称 0为函数 ( )
的一个“不动点”.若 ( ( 0)) = 0，则称 0为 ( )的“稳定点”.将函数 ( )的“不动点”和“稳定点”的
集合分别记为 和 ，即， = { | ( ) = }， = { | ( ( )) = } .已知函数 ( ) = 2 ( + 1) + ．
(1)当 = 1， = 2 时，求函数 ( )的不动点；
1
(2)若对于任意 ∈ [ , 0]，函数 ( )恒有两个相异的不动点，求实数 的取值范围；
4
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(3)若 = 1 时，且 = ≠ ，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
2
12.【答案】(0, )
3
13.【答案】( ∞, 3) ∪ (2, +∞)
4
14.【答案】( ∞, ) ∪ (1, +∞)
3
15.【答案】解：(1) ∵ × = {( , )| ∈ ， ∈ }
又∵ = { }， = {1,2,3}，
∴ × = {( , 1)，( , 2)，( , 3)}．
(2) ∵ × = {( , )| ∈ ， ∈ }
又∵ × = {(1,2)，(2,2)}，
所以 中有元素1，2，
中含有元素2，
即 = {1,2}， = {2}．
(3) ∵ × = {( , )| ∈ ， ∈ }
∴ 中有 个元素， 中有 个元素时，
集合 × 中共有 × 个元素，
又∵ 中有3个元素， 中有4个元素，
∴ × 中含有12个元素．
16.【答案】解：(1)当 ∈ [ 4,0)时， ∈ (0,4]，所以 ( ) = 2 4 ，
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又 ( ) = ( )，所以 ( ) = 4 2 ，
所以 ( )在[ 4,0)上的解析式为 ( ) = 4 2 ；
(2)由(1)知， ∈ [ 2, 1]时， ( ) = 4 2 ，

所以 ( ) = 4 2
1
≤ ，整理得 ≥ ( ) 1， 2 2
1 1
令 ( ) = ( ) 1，根据指数函数单调性可得， ( ) = ( ) 1为减函数，
2 2

因为存在 ∈ [ 2, 1]，使得不等式 ( ) ≤
2
成立，等价于 ≥ ( )在 ∈ [ 2, 1]上有解，
所以，只需 ≥ ( )min = ( 1) = 1，
所以实数 的取值范围是[1, +∞)．
17.【答案】解：(1)设投资为 万元，
A、 两产品获得的利润分别为 ( )、 ( )万元，
由题意， ( ) = 1 , ( ) = 2√ , ( 1, 2 ≠ 0； ≥ 0)(3分)
又由图知 (1.8) = 0.45， (4) = 2.5；
1 5
解得 1 = , 2 = 4 4
1 5
∴ ( ) = ( ≥ 0)； ( ) = √ ( ≥ 0)(8分)
4 4
(2)设对 产品投资 万元，则对 产品投资(10 )万元，
记企业获取的利润为 万元，
1 5
则 = (10 ) + √ ( ≥ 0)(10分)
4 4
设√ = ，则 = 2，(0 ≤ ≤ √ 10)
1 5 65
∴ = ( )2 +
4 2 16
5 25 65
当 = 也即 = 时， 取最大值 (14分)
2 4 16
25 15
答：对 产品投资 万元，对 产品投资 万元时，
4 4
65
可获最大利润 万元．
16
18.【答案】解：(1)由|log | < 1可得 1 < log < 1，
1
又因为 > 1，所以 < < ，

1
又因为| ( )| < 1的解集为( , )，所以 = , = ，

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10 1 10
因为 + = ，所以 + = ，
3 3
即3 2
1
10 + 3 = (3 1)( 3) = 0，解得 = 3或 = ，
3
因为 > 1，所以 = 3；
1
(2)由(1)可得 ( ) = ( )23 2 3 + 3, ∈ [ , 9]， 3
1
令 = 3 , ∈ [ , 9]，则 ∈ [ 1,2]， 3
设 ( ) = 2 2 + 3， ∈ [ 1,2]，
①当 ≥ 2时， ( )在[ 1,2]上单调递减，
3 25
所以 ( ) = (2) = 4 4 + 3 = ，解得 = < 2，不合题意； 4 16
②当 1 < < 2时， ( )在[ 1, ]上单调递减，在[ , 2]上单调递增，
3 3
所以 ( ) 2 2 = ( ) = 2 + 3 = ，解得 = ± ， 4 2
3
又因为 1 < < 2，所以 = ；
2
③当 ≤ 1 时， ( )在[ 1,2]上单调递增，
3 13
所以 ( ) = ( 1) = 4 + 2 = ，解得 = ，符合要求； 4 8
13 3
综上，存在实数 = 或 符合题意．
8 2
19.【答案】解：(1)当 = 1， = 2时， ( ) = 2 2 + 2，
设 0为不动点，因此
2
0 2 0 + 2 = 0，
即 20 3 0 + 2 = 0，即( 0 1)( 0 2) = 0，
解得 0 = 1或 0 = 2，
所以1，2为函数 ( )的不动点．
(2)因为 ( )恒有两个不动点，
即 2 ( + 1) + = 恒有两个不等实根，
整理为 2 ( + 2) + = 0，
≠ 0
所以{ 恒成立．
= ( + 2)2 4 > 0
1
即对于任意 ∈ [ , 0]， 4 + 2 + 4 + 4 > 0恒成立．
4
令 ( ) = 4 + 2 + 4 + 4，
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1
( ) > 0 2
则有{ 4 ，即{ + 5 + 4 > 02 ，
(0) > 0 + 4 + 4 > 0
故 < 4或 > 1，又 ≠ 0，
所以 ∈ ( ∞, 4) ∪ ( 1,0) ∪ (0, +∞)；
(3) = 1时， ( ) = 2 2 + ，
因为 ≠ ，所以 2 2 + = 有实根，
9
所以 ′ = 9 4 ≥ 0，所以 ≤ ，
4
记 = ( )，则关于 的方程 ( ( )) = 的解为
= 2 2 +
方程组{ 2 的解 的值， = 2 +
两式相减可得( )( + 1) = 0，
因为 = ，即要使 ( ) = 与 ( ) = 有相同的解，
则 = 0与( )( + 1) = 0的 的解集相同，
所以方程 + 1 = 0无解或其解与 = 0相同，
1
即 2 + 1 = 0无解或其解为 = ，
2
所以 ′′ = ( 1)2 4( 1) ≤ 0，
5
所以 ≥ ，
4
5 9 5 9
综上 ≤ ≤ ，所以实数 的取值范围是[ , ]．
4 4 4 4
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