2024-2025学年安徽省阜阳市红旗中学高二（上）调研数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省阜阳市红旗中学高二（上）调研数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设向量，，且，，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
3.当直线过点，当取得最小值时，直线的方程为( )
A. B. C. D.
4.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，( )
A. B. C. D.
5.点在函数的图象上，当时，可能等于( )
A. 或 B. 或 C. 或 D.
6.已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为( )
A.
B. ，或
C.
D. ，或
7.在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以为球心的球面上，设点到平面的距离为，到平面的距离为，则( )
A. B. C. D.
8.古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势如下图的“曲池”是上、下底面均为半圆形的柱体若面，，，，为弧的中点，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 直线必过定点
B. 直线在轴上的截距为
C. 直线的倾斜角为
D. 点，，直线：与线段相交，则实数的取值范围是或
10.已知单位向量，，两两所成的夹角均为，且，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系为坐标原点下的“仿射”坐标，记作，则下列命题正确的有( )
A. 已知，，则
B. 已知，，则
C. 已知，，，则三棱锥的体积
D. 已知，，其中，则当且仅当，向量，的夹角取得最小值
11.如图，在棱长为的正方体中，点为的中点，点是棱上一动点与，不重合，过点作，点为垂足，再过点作，点为垂足则( )
A. 平面
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 存在点使得平面
D. 存在点使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线在轴上的截距为，且它的倾斜角是直线的倾斜角的倍，则 ______， ______．
13. 数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线已知的顶点，，且，则的欧拉线的一般式方程为 ．
14.某中学组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作帐篷将一块边长为的正方形材料先按如图所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形其中，然后，将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个四棱锥型的帐篷如图该四棱锥底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足恰好是底面的中心，则直线与平面所成角的正弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线：，直线：．
若，求实数的值；
若，求实数的值．
16.本小题分
已知直线：过定点．
求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程；
若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，的面积为为坐标原点，求的最小值并求此时直线的方程．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，底面为正方形，分别为的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到平面的距离．
18.本小题分
如图，在平面四边形中，，是边长为的正三角形，，为的中点，将沿折到的位置，．
求证：；
若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上不含，的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，．
求证：；
若平面，求平面与平面夹角的余弦值；
求点到直线距离的最大值．
参考答案
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15.解：由，则，且，
解得；
由，则，
解得或．
16.解：直线：，则直线过定点，
当，时，设的方程为，
点在直线上，
所以，
若，则，
所以直线的方程为，
若，则，，
所以直线的方程为；
当时，直线过原点，且过点，
所以直线的方程为，
综上所述，所求直线的方程为或或；
令，则，
令，则，
直线交轴的正半轴于点，交轴的负半轴于点，，
为坐标原点，设的面积为，
则，
当且仅当时，即时取等号，
故的最小值为，此时，
直线：．
17.解：证明：，分别为，的中点，
，又平面，平面，
平面；
由已知可得，，两两垂直，
如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，因为，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，可取，
设直线与平面所成角为，则；
由，得，
因为平面的法向量，
所以点到平面的距离．


18.解：证明：因为是边长为的正三角形，为的中点，所以，
所以，，，，，
则，所以，又，即，所以，
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以；
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，解得，取，得，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
19.证明：取弧中点，则，以为坐标原点，
以，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
连接，在中，，
，
则，，
易得，，，，，
设，则，其中，，
，
有，，
所以；
解：平面，平面，，
又，，
，平面，
为平面的一个法向量，
又，由平面，
可得，
又，，解得，
此时，，
设是平面的一个法向量，
则，取，则，，
则是平面的一个法向量，
设是平面的一个法向量，
则，取，则，，
则是平面的一个法向量，
则平面与平面夹角的余弦值为；
解：，
则点到直线的距离，
当时，即的坐标为时，
点到直线的距离取最大值为．
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