广东省广州市华侨中学等三校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷（PDF版，含答案）

广东省广州市华侨中学等三校 2024-2025 学年高二上学期期中联考数
学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 + √ 3 + 2024 = 0的倾斜角为( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
2.已知空间向量 = ( + 1, , 2)， = ( 2,1,4)，且 ⊥ ，则 的值为( )
10 10
A. B. 10 C. 10 D.
3 3
3.求圆 2 + 2 2 + 6 = 0的圆心到 + 2 = 0的距离( )
A. 2√ 3 B. 2 C. 3√ 2 D. √ 6
4.有3位男生和2位女生在周日去参加社区志愿活动，从该5位同学中任取3人，至少有1名女生的概率为( )
1 2 3 9
A. B. C. D.
10 5 5 10
5.抛掷一枚质地均匀的骰子两次， 表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”， 表示事件“两次
抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”， 表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7”，则( )
A. 与 互斥 B. 与 互为对立 C. 与 相互独立 D. 与 相互独立
1
6.已知 空间任意一点， ， ， ， 四点共面，且任意三点不共线，若 = + + ，则2 的
2
最大值为( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
2 4 8 16
7.已知点 (1,2)在圆 : 2 + 2 + 2 + 2 = 0外，则实数 的取值范围为( )
A. ( 3, 2) ∪ (2,+∞) B. ( 3, 2) ∪ (3,+∞)
C. ( 2,+∞) D. ( 3,+∞)
8.互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这
样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过点 作两坐标轴的平行线，其在 轴和 轴上的截距 ，
分别作为点 的 坐标和 坐标，记 ( , ).若斜坐标系中， 轴正方向和 轴正方向的夹角为 ，则该坐标系
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中 ( 1, 1)和 ( 2, 2)两点间的距离为( )
A. √ ( 1 )22 + ( 21 2) + 2( 1 2)( 1 2)cos
B. √ ( 1
2
2) + (
2
1 2) 2( 1 2)( 1 2)cos
C. √ ( )2 + ( )21 2 1 2 + 2|( 1 2)( 1 2)|cos
D. √ ( )21 2 + ( 1
2
2) 2|( 1 2)( 1 2)|cos
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的有( )
A. 两平行线间的3 + 4 + 5 = 0，3 + 4 5 = 0距离为2
B. 过点(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线有两条
C. 直线3 + 4 + 5 = 0的方向向量可以是 = (3,4)
D. 直线 + 2 + 4 = 0与直线 + ( 1) + 2 = 0平行，则 = 1或1
1 1
10.已知事件 ， 发生的概率分别为 ( ) = ， ( ) = ，则( )
3 6
2 1 1
A. ( ) = B. ≤ ( + ) ≤
3 3 2
4
C. 若 与 相互独立，则 ( ∪ ) = D. 一定有
9
11.如图，点 是棱长为2的正方体 1 1 1 1的表面上一个动点，则( )
A. 当 在平面 1 1上运动时，三棱锥 1 的体积为定值4

B. 当 在线段 上运动时， 1 与 1 1所成角的取值范围是[ , ] 3 2
C. 若 是 1 1的中点，当 在底面 上运动，且满足 //平面 1 1时， 长度
的最小值是√ 5
D. 使直线 与平面 所成的角为45°的点 的轨迹长度为 + 4√ 2
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知点 (1,0)， (3,0)， (1,2)在圆上，则该圆的标准方程为______．
13.在棱长为4的正四面体 中， 是 的中点，则 = ______．
2 1
14.甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为 ；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为 .假定每局
3 2
之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可
能的，则甲、乙各胜一局的概率为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
直线 经过两直线 1：3 + 4 2 = 0和 2：2 + + 2 = 0的交点．
(1)若直线 与直线3 + 1 = 0垂直，求直线 的方程；
(2)若点 (3,1)到直线 的距离为5，求直线 的方程．
16.(本小题12分)
已知圆心为 的圆经过点 ( 3,0)和点 (1,0)两点，且圆心 在直线 = + 1上．
(1)求圆 的标准方程；
(2)已知线段 的端点 的坐标(3,4)，另一端点 在圆 上运动，求线段 的中点 的轨迹方程．
17.(本小题12分)
质量监督局检测某种产品的三个质量指标 ， ， ，用综合指标 = + + 核定该产品的等级．若 ≤ 5，
则核定该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如表：
产品编号 1 2 3 4 5
质量指标
(1,1,2) (2,1,2) (2,2,2) (1,3,1) (1,2,3)
( , , )
产品编号 6 7 8 9 10
质量指标
(1,2,2) (2,3,1) (3,2,1) (1,1,1) (2,1,1)
( , , )
(1)利用表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
(2)在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标均满
足 ≤ 4”，求事件 的概率．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥 中，△ 为等边三角形，平面 ⊥平面 ， ⊥ ，二面角 的
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大小为60°．
(1)求证： //平面 ；
(2)若 = = 2，点
√ 21
为线段 上的点，若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长度．
7
19.(本小题12分)
在如图所示的试验装置中，两个正方形框架 ， 的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，活动弹
子 ， 分别在正方形对角线 和 上移动，且 和 的长度保持相等，记 = = (0 < < √ 2)，
活动弹子 在 上移动．
(1)求证：直线 //平面 ；
(2) 为线段 上的点，求 与平面 所成角的正弦值的最大值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】( 2)2 + ( 1)2 = 2
13.【答案】8
41
14.【答案】
72
3 + 4 2 = 0
15.【答案】解：(1)联立方程组{ ，
2 + + 2 = 0
= 2
解得{ ，
= 2
所以交点坐标为( 2,2)，
1
又因为直线 与直线3 + 1 = 0垂直，所以直线 的斜率为 ，
3
1
则直线 的方程为 2 = ( + 2)，即 3 + 8 = 0；
3
(2)当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 = 2，满足点 (3,1)到直线 的距离为5；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 2 = ( + 2)，即 + 2 + 2 = 0，
|3 1+2 +2|
则点 到直线 的距离为 = 5，
√ 2 +1
12
解得 = ，
5
12 12
故直线 的方程为 + 2 × + 2 = 0，即12 5 + 34 = 0，
5 5
综上可得，直线 的方程为 = 2或12 5 + 34 = 0．
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16.【答案】解：(1)由圆心 在直线 = + 1上，可设圆心的坐标为 ( , + 1)，
再根据圆 经过点 ( 3,0)和点 (1,0)，可得| | = | |，
即( + 3)2 + ( + 1)2 = ( 1)2 + ( + 1)2 = 2，解得 = 1， 2 = 4，
可得圆心 的坐标是( 1, 1)， = 2，
∴圆 的标准方程为( + 1)2 + 2 = 4；
(2)设 ( 1, 1)， ( , )，
∵线段 的中点是 ，
∴由中点公式得 1 = 2 3， 1 = 2 4，
∵ 在圆 上，∴ (2 2)2 + (2 4)2 = 4，即( 1)2 + ( 2)2 = 1．
17.【答案】解：(1)根据题意，计算10件产品的综合指标 ，如下表：
产品编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4 5 6 5 6 5 6 6 3 4
6
其中 ≤ 5的有 1， 2， 4， 6， 9， 10共6件，故该样本的一等品率为 = 0.6， 10
从而估计该批产品的一等品率为0.6．
(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为：{ 1, 2}，{ 1, 4}，{ 1, 6}，{ 1, 9}，{ 1, 10}，
{ 2, 4}，{ 2, 6}，{ 2, 9}，{ 2, 10}，{ 4, 6}，
{ 4, 9}，{ 4, 10}，{ 6, 9}，{ 6, 10}，{ 9, 10}共15种．
在该样本的一等品中，综合指标均满足 ≤ 4的产品编号分别为 1， 9， 10，
则事件 发生的所有可能结果为 1， 9}，{ 1, 10}，{ 9, 10}共3种，
3 1
所以 ( ) = = ．
15 5
18.【答案】(1)证明：在四棱锥 中，
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， ⊥ ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
又 ， 平面 ，所以 ⊥ ， ⊥ ．
所以∠ 为二面角 的平面角，所以∠ = 60°，
又△ 为等边三角形，∠ = 60°，所以 // ．
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)解：取 的中点 ，连结 .则 ⊥ ，又 // ，所以 ⊥ ．
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又 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，所以 ， ， 两两垂直．
以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 (0,0,2)， (√ 3, 1,0)， (0,0,0)， (√ 3, 1,0)，
则 = (√ 3, 1,0)， = (√ 3, 1, 2)， = (√ 3, 1,0)，
设 = ，得 (√ 3 , , 2 2 )，
所以 = (√ 3 , , 2 2 )，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
则{ · = 0
√ 3 + (2 2 ) = 0
，即{ ,
· = 0 √ 3 + = 0
3
不妨令 = √ 3，可得 = (√ 3, 3, )为平面 的一个法向量，
1
设直线 与平面 所成的角为 ，
· 6 √ 21 1
则 = |cos < ， > | = | | = | | = ，解得 = ，
| |·| | 3 2 7 22√ 3+9+( ) 1
所以 的长为√ 2．
19.【答案】解：(1)证明：在平面 内，过点 作 // ，交 于点 ，连接 ， ，

由 // ，得 = ，而 = = √ 2， = = ，

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则 = ， = ， = = ，于是 // ，

又 // ，则 // ，而 平面 ， // ， 平面 ，
因此 //平面 ，
同理 //平面 ，又 平面 ， 平面 ， ∩ = ，
则平面 //平面 ，而 平面 ，
所以直线 //平面 ．
(2)由平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， ⊥ ，
平面 ，得 ⊥平面 ，又 ⊥ ，
以点 为坐标原点，直线 ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， (0,1,0)， (0,0,1)， (1,1,0)，设 ( , 0,1)，0 ≤ ≤ 1，
= (1,1, 1)， = (0,1,0)， = ( , 0,1)，
设 = ( , , )是平面 的法向量，
⊥ = = 0
则{ ，则{ ，
⊥ = + = 0
取 = 1，得 = (1,0, )，
设 与平面 所成的角为 ，
| | +1
则 = |cos
, | = =
| || | ，
√ 3 √ 2+1
当 = 0时， √ 3 = ；
3
+1 22 +2 +1 2 1 2 1
当0 < ≤ 1时，sin = ( )
2 = 2 = 2 + = +
√ 2 3( +1) 3( +1) 3
1 3，
√ 3 +1 3( + )
1
而 1 1 + ≥ 2√ = 2，当且仅当 = ，

1 1
即 = 1时取等号，则0 < 1 ≤ 2， +

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2 1 2 1 1 2
因此sin
2 = + ≤ × + = ， 2 √ 61
3( + ) 3 3 2 3 3 0 < ≤ √ = ，
3 3
所以 与平面 所成角的正弦值的最大值为√ 6．
3
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