第十七章 勾股定理 学情评估卷(含答案) 人教版数学八年级下册

第十七章　学情评估卷
一、 选择题 (本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．直角三角形的两条直角边的长分别为1，，则其斜边的长为(　　)
A．3 B．2 C．4 D．2
2．下列各组数中，是勾股数的是(　　)
A．9，16，25 B.，，2
C．1.5，2，2.5 D．5，12，13
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，则正方形ABDE的面积为(　　)
A．81 B．144 C．225 D．169
4．在平面直角坐标系中，有四个点P，Q(－，)，M(－2，)，N(，2)，则这四个点中到原点距离最远的是(　　)
A．P B．Q C．M D．N
5．如图，长方形ABCD的边AD在数轴上，点A表示数－1，点D表示数－4，AB＝1，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与数轴负半轴交于点E，则点E表示的数为(　　)
A．－ B．－1－ C．－ D．－1－
6．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是(　　)
A．∠A＋∠B＝∠C
B．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
C．AB＝3k，BC＝4k，AC＝5k(k为正整数)
D．AC＝3＋k，AB＝4＋k，BC＝5＋k(k>0)
7．如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线FG分别交AB，BC于点M，D；再分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于H，I两点，作直线HI分别交AC，BC于点N，E.若BD＝，DE＝2，EC＝，则AC的长为(　　)
A. B. C. D.
8．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形．这个图形是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图②的“风车”图案(阴影部分)．若图①中的四个直角三角形的较长直角边长为9，较短直角边长为5，则图②中的“风车”图案的周长为(　　)
A．16＋4 B．16＋4 C．20＋4 D．20＋4
9．如图，长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm，高为5 cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为(　　)
A．8 cm B．10 cm C．12 cm D．13 cm
10．如图①，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，以这个直角三角形的三边为边作正方形．图②由图①的两个小正方形向外分别作直角边长之比为4∶3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边作正方形，…，按此规律，则图⑥中所有正方形的面积之和为(　　)
A．200 B．175 C．150 D．125
二、 填空题 (本大题共4小题，每小题3分，共12分)
11.命题“对顶角相等”的逆命题是________________________．
12．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且b2－a2＝c2，若∠A＝70°，则∠C的度数是________．
13．某数学兴趣小组开展了研究笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7 cm，此时底部边缘A处与C处之间的距离AC为24 cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时(D是B的对应点)，顶部边缘D处到桌面的距离DE为20 cm，则底部边缘A处与E处之间的距离AE为________．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P为BC上一个动点，连接AP，将△ACP沿AP折叠得到△ADP，点C的对应点为点D，连接BD，若AC＝5，BC＝12，当△PBD为直角三角形时，线段CP的长为__________．
三、 解答题 (本大题共4小题，共58分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(12分)如图，在四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°，求证：∠A＋∠C＝180°.
16．(12分)将边长分别为a和2b(a＞b)的长方形分割成四个全等的直角三角形，如图①，再用这四个三角形拼成如图②所示的大正方形，中间形成一个小正方形的空洞．经测量得长方形的面积为24，大正方形的边长为5.试通过你获取的信息，求a2＋b2和a2－b2的值．
17．(16分)钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线AB上的某港口P出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，已知甲船每小时航行12海里，乙船每小时航行16海里．
(1)若甲、乙两船离开港口一个半小时后分别位于Q，R处(图①)，且相距30海里，如果知道甲船沿北偏东70°方向航行，那么你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由；
(2)若甲船沿北偏东60°方向航行(图②)，从港口P离开经过两个小时后位于点C处，此时船上有名海警需要以最快的速度回到PA海岸线上，若他从C处出发，乘坐的快艇的速度是每小时90海里，他能在14分钟内回到海岸线吗？请说明理由．(提示：≈1.7)
18．(18分)【问题提出】
(1)如图①，△ABC和△DCE都是等边三角形，点D在△ABC内部，连接AD，AE，BD.
①求证：BD＝AE；
②若∠ADC＝150°，求证：BD2＝AD2＋CD2；
【问题探究】
(2)如图②，△ABC和△DCE都是等边三角形，点D在△ABC外部，若BD2＝AD2＋CD2仍然成立，求∠ADC的度数；
【问题拓展】
(3)如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为△ABC外一点．若∠ADC＝45°，BD＝，CD＝，请直接写出AD的长．
答案
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D D C B D D A C D B
11.相等的两个角为对顶角　12.20°　13.15 cm　14.或5
15．证明：连接AC.∵AB＝20，BC＝15，∠B＝90°，
∴由勾股定理，得AC2＝202＋152＝625.
∵CD＝7，AD＝24，∴CD2＋AD2＝625，
∴AC2＝CD2＋AD2，∴∠D＝90°，
∴∠A＋∠C＝360°－180°＝180°.
16．解：根据题意得a2＋b2＝52＝25，a·2b＝24，
∴a2＋b2＋2ab＝49，∴a＋b＝7，
由题图②得(a－b)2＝25－24＝1，
∵a＞b，∴a－b＝1，
∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝7×1＝7.
17．解：(1)乙船沿南偏东20° 方向航行．
理由如下：由题意得∠APQ＝70°，PQ＝12×1.5＝18(海里)，
PR＝16×1.5＝24(海里)，
在△PQR中，∵PQ2＋PR2＝182＋242＝900，QR2＝302＝900，
∴PQ2＋PR2＝QR2，
∴△PQR是直角三角形，∠QPR＝90°，
∴∠BPR＝180°－∠APQ－∠QPR＝180°－70°－90°＝20°，
∴乙船沿南偏东20°方向航行．
(2)能，理由如下：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
由题意知∠CPD＝60°，PC＝2×12＝24(海里)，
∴∠C＝30°，∴PD＝PC＝12海里，
∴CD＝＝12 ≈20.4(海里)．
∵90×＝21(海里)，21>20.4，
∴他能在14分钟内回到海岸线．
18．(1)证明：①∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE，∴△CBD≌△CAE，∴BD＝AE.
②∵△DCE为等边三角形，∴∠EDC＝60°，DE＝CD.
∵∠ADC＝150°，∴∠ADE＝150°－60°＝90°，
∴AD2＋DE2＝AE2.
由①知BD＝AE，∴BD2＝AD2＋CD2.
(2)解：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE＝DE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝60°，∴∠BCD＝∠ACE，
∴△CBD≌△CAE，∴BD＝AE，
∵BD2＝AD2＋CD2，
∴AE2＝AD2＋DE2，∴∠ADE＝90°，
∴∠ADC＝∠ADE－∠CDE＝90°－60°＝30°.
(3)解：AD的长为3.
点拨：如图，过点A作AE⊥AD，使AE＝AD，连接DE，CE，则∠ADE＝45°.
∵∠EAD＝∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE.
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE.
∵BD＝，
∴CE＝.
∵∠ADC＝45°，∠ADE＝45°，
∴∠CDE＝90°，
∵CD＝，
∴DE2＝CE2－CD2＝2－2＝18，　
在Rt△ADE中，∵∠EAD＝90°，∴AE2＋AD2＝DE2，∴2AD2＝18，∴AD＝3.