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浙江省金华市2024年九年级（上）期末考试模拟数学考试卷
满分120分 时间120分钟
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如果线段a＝3，b＝2，且b是线段a和c的比例中项，那么c＝（ ）
A． B． C． D．
2．把抛物线y＝x2﹣2x向左平移1个单位，然后向上平移2个单位，则平移后抛物线的表达式是（ ）
A．y＝x2﹣1 B．y＝x2+1
C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2+1
3．一个不透明的袋子里装有3个红球和4个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，以下四个条件中不能判定△ABC∽△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠ACD B．∠ACB＝∠ADC
C．AB CD＝AC BC D．AC2＝AD AB
5．如图，A，B，C为⊙O上的三个点，∠AOB＝72°，则∠ACB的度数为（ ）
A．36° B．24° C．48° D．144°
6．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和二次函数y＝b（x+k）2的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，OE＝3，那么线段CD的长为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
8．已知二次函数y＝﹣2x2﹣12x+14，下列说法中不正确的是（ ）
A．该二次函数的图象的开口向下
B．该二次函数图象的顶点坐标是（﹣3，14）
C．该二次函数的图象与x轴的交点坐标是（﹣7，0）和（1，0）
D．已知﹣3＜a＜0，且点（a﹣3，y1）和（a+3，y2）都在这个二次函数的图象上，则y1＞y2
9．如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（ ）
A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断
10．“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）是中国古代地图制图的基本方法和数学基础，是中国古代地图独立发展的重要标志．制作地图时，人们会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF．观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，若某次测量中，则下列结论中错误的（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．已知一个正多边形的外角是40°，则这个正多边形的边数为 ．
12．如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为3m的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是 m2．
13．若点B（﹣2，y1），C（0.5，y2），D（1.3，y3）在抛物线y＝2x（x+2）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 （用“＞”或“＝”进行连接）．
14．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转到△ADE，D刚好在BC上，则CD＝ ．
15．如图，点D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C，AB＝6cm，AD＝4cm，则线段CD的长为 ．
16．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠CDA＝90°，AB＝1，CD＝2，过A，B，D三点的⊙O分别交BC，CD于点E，M，下列结论：①DM＝CM；②；③⊙O的直径为2；④AE＝AD．其中正确的结论有 （填序号）．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，点D，E分别在AB，AC上，且AD＝CE，BE，CD交于点F，若，求AD的长．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称，画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
19．（8分）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下：
抽取件数（件） 50 100 200 500 800 1000
合格频数 47 95 188 480 763 949
合格频率 0.94 0.95 0.94 0.96 0.95 0.95
（1）估计任抽一件衬衣是合格品的概率（结果精确到0.01）．
（2）估计出售2000件衬衣，其中次品大约有几件．
20．（8分）如图，一位篮球运动员在与篮圈水平距离为4m处起跳投篮时，球运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）之间满足关系式y＝ax2+x+c，当球运行的水平距离为1.5m时，球离地面高度为3.3m，球在空中达到最大高度后，准确落入篮框内．已知篮框中心与地面的距离为3.05m．当球运行的水平距离为多少时，球在空中达到最大高度？最大高度为多少？
21．（8分）如图，已知：四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA＝∠D．
（1）求证：△EAC∽△ECB；
（2）若DF＝AF，求AC：BC的值．
22．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若抛物线上存在一点P（不与点C重合），使得S△ABP＝S△ABC，请求出点P的坐标．
23．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，1）和B（2，4）．
（1）求a，b满足的关系式．
（2）当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，y随x的增大而增大，求a的取值范围．
（3）若函数图象与x轴无交点，求a2+b2的取值范围．
24．（12分）如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连结EF，使∠AFE＝∠ADC．
（1）若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数．
（2）求证：①EF∥BC；
②EF＝BD．浙江省 2024年秋季七年级（上）数学期末考模拟卷
数学·答题卡
姓 名：__________________________
准考证号： 贴条形码区
注意事项
1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准
考生禁填： 缺考标记
条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。
违纪标记
2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂
答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。
3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案
选择题填涂样例：
无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
正确填涂
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂 [×] [√] [／]
第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂)
一、选择题（每小题 3分，共 30分）
1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
第Ⅱ卷（请用黑色签字笔作答）
二、填空题（每小题 3分，共 18分）
11．___________ 12．___________ 13．___________ 14．___________ 15．___________ 16．___________
三、解答题（共 72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分 8分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
18．（本题满分 8分）
19．（本题满分 8分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
20. （本题满分 8分）
21.（本题满分 8分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
22.（本题满分 10分）
23. （本题满分 10分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
24. （本题满分 12分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！浙江省2024年秋季七年级（上）数学期末考模拟卷
数学·答题卡
第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂)
第Ⅱ卷（请用黑色签字笔作答）
贴条形码区
考生禁填： 缺考标记
违纪标记
以上标志由监考人员用2B铅笔填涂
选择题填涂样例：
正确填涂
错误填涂 [×] [√] [／]
1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。
2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。
3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。
注意事项
姓 名：__________________________
准考证号：
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．___________ 12．___________ 13．___________ 14．___________ 15．___________ 16．___________
三、解答题（共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分8分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
18．（本题满分8分）
19．（本题满分8分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
20. （本题满分8分）
21.（本题满分8分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
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22.（本题满分10分）
23. （本题满分10分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
24. （本题满分12分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
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浙江省金华市2024年九年级（上）期末考试模拟数学考试卷
解析卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如果线段a＝3，b＝2，且b是线段a和c的比例中项，那么c＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即b2＝ac，即可求解．
【解答】解：∵b是线段a和c的比例中项，
∴b2＝ac，
∴4＝3c，
∴c．
故选：D．
2．把抛物线y＝x2﹣2x向左平移1个单位，然后向上平移2个单位，则平移后抛物线的表达式是（ ）
A．y＝x2﹣1 B．y＝x2+1
C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2+1
【分析】根据二次函数图象平移的方法即可得出结论．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴把抛物线y＝x2﹣2x向左平移1个单位，然后向上平移2个单位，则平移后抛物线的表达式是：y＝（x﹣1+1）2﹣1+2，即y＝x2+1．
故选：B．
3．一个不透明的袋子里装有3个红球和4个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】用红球的个数除以总球的个数即可得出答案．
【解答】解：∵透明的袋子里装有3个红球和4个黄球，共有7个球，
∴从袋中任意摸出一个球是红球的概率为．
故选：C．
4．如图，以下四个条件中不能判定△ABC∽△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠ACD B．∠ACB＝∠ADC
C．AB CD＝AC BC D．AC2＝AD AB
【分析】根据相似三角形的判定条件判断即可．
【解答】解：当∠B＝∠ACD，∠A＝∠A时，△ABC∽△ACD，故A不符合题意；
当∠ACB＝∠ADC，∠A＝∠A时，△ABC∽△ACD，故B不符合题意；
当AB CD＝AC BC时，，此时不能证明△ABC∽△ACD，故C符合题意；
当AC2＝AD AB时，，再根据∠A＝∠A，即可得到△ABC∽△ACD，故D不符合题意；
故选：C．
5．如图，A，B，C为⊙O上的三个点，∠AOB＝72°，则∠ACB的度数为（ ）
A．36° B．24° C．48° D．144°
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠AOB＝72°，
∴∠ACB∠AOB＝36°，
故选：A．
6．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和二次函数y＝b（x+k）2的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分当k＞0，b＞0时，当k＞0，b＜0时，当k＜0，b＞0时，当k＜0，b＜0时，四种情况讨论即可．
【解答】解：对于一次函数y＝kx+b和二次函数y＝b（x+k）2的图象，
①当k＞0，b＞0时，一次函数y＝kx+b的图象过第一、二、三象限，二次函数y＝b（x+k）2的图象开口向上，对称轴在y轴左侧，没有选项符合题意；
②当k＞0，b＜0时，一次函数y＝kx+b的图象过第一、三、四象限，二次函数y＝b（x+k）2的图象开口向下，对称轴在y轴左侧，没有选项符合题意；
③当k＜0，b＞0时，一次函数y＝kx+b的图象过第一、二、四象限，二次函数y＝b（x+k）2的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，选项B符合题意；
④当k＜0，b＜0时，一次函数y＝kx+b的图象过第二、三、四象限，二次函数y＝b（x+k）2的图象开口向下，对称轴在y轴右侧，没有选项符合题意；
故选：B．
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，OE＝3，那么线段CD的长为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【分析】连接OC，求出OC，在Rt△OCE中利用勾股定理求出CE，再由垂径定理求出CD即可．
【解答】解：如图，连接OC．
∵AB＝10，
∴OCAB＝5，
∵CD⊥AB，OE＝3，
∴CE4，
∴CD＝2CE＝8．
故选：B．
8．已知二次函数y＝﹣2x2﹣12x+14，下列说法中不正确的是（ ）
A．该二次函数的图象的开口向下
B．该二次函数图象的顶点坐标是（﹣3，14）
C．该二次函数的图象与x轴的交点坐标是（﹣7，0）和（1，0）
D．已知﹣3＜a＜0，且点（a﹣3，y1）和（a+3，y2）都在这个二次函数的图象上，则y1＞y2
【分析】根据a＝﹣2＜0，即可判断选项A；把二次函数化为顶点式即可判断B，求出抛物线与x轴的交点坐标即可判断C；抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣3，当x＞﹣3时，y随着x的增大而减小，根据二次函数的对称性和增减性即可判断D．
【解答】解：A．∵a＝﹣2＜0，
∴图象开口向下，
故选项A正确，不符合题意；
B．∵y＝﹣2x2﹣12x+14＝﹣2（x+3）2+32，
∴顶点坐标是（﹣3，32），
故选项B错误，符合题意；
C．当y＝0时，﹣2x2﹣12x+14＝0，
解得x1＝﹣7，x2＝1，
∴二次函数y＝﹣2x2﹣12x+14的图象与x轴的交点坐标是（﹣7，0）和（1，0），
故选项C正确，不符合题意；
D．∵将函数解析式化为顶点式可得：
y＝﹣2x2﹣12x+14＝﹣2（x+3）2+32，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣3，当x＞﹣3时，y随着x的增大而减小，
∴点（a﹣3，y1）关于直线x＝﹣3的对称点为（﹣3﹣a，y1），
当﹣3＜a＜0时，﹣3＜﹣3﹣a＜0，0＜a+3＜3，
∴﹣3＜﹣3﹣a＜a+3，
∴y1＞y2，
故选项D正确，不符合题意．
故选：B．
9．如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（ ）
A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断
【分析】利用垂径定理作出圆心，则可判断AC不是直径，从而可判断为劣弧．
【解答】解：作AB和AC的垂直平分线，它们相交于O点，如图，
∵AC为小于直径的弦，
∴为劣弧．
故选：B．
10．“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）是中国古代地图制图的基本方法和数学基础，是中国古代地图独立发展的重要标志．制作地图时，人们会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF．观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，若某次测量中，则下列结论中错误的（ ）
A． B．
C． D．
【分析】观察图，可知AB与EF平行，根据相似三角形的性质可得答案．
【解答】解：由题意及图知，EF∥AB，
∴，
故A正确；
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，，
故B、D正确；
∵∠EFC＝90°，
∴当∠CEF≠30°时，CF，
此时，
故C错误；
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．已知一个正多边形的外角是40°，则这个正多边形的边数为 9 ．
【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．
【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得40°，
解得n＝9．
故答案为：9．
12．如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为3m的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是 m2．
【分析】用正方形的面积乘以小石子落在不规则区域的频率稳定的常数0.25即可得出答案．
【解答】解：根据题意可估计不规则区域的面积是3×3×0.25（m2），
故答案为：．
13．若点B（﹣2，y1），C（0.5，y2），D（1.3，y3）在抛物线y＝2x（x+2）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 y3＞y2＞y1 （用“＞”或“＝”进行连接）．
【分析】把三个点的横坐标代入函数解析式，可求出y1，y2，y3的值，比较后即可得出结论．
【解答】解：当x＝﹣2时，y1＝2×（﹣2）×（﹣2+2）＝0；
当x＝0.5时，y2＝2×0.5×（0.5+2）＝2.5；
当x＝1.3时，y3＝2×1.3×（1.3+2）＝8.58．
∵8.58＞2.5＞0，
∴y3＞y2＞y1．
故答案为：y3＞y2＞y1．
14．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转到△ADE，D刚好在BC上，则CD＝ 3 ．
【分析】根据旋转的性质得出AB＝AD，从而推出△ABD是等边三角形，从而推出结果．
【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转到△ADE，D刚好在BC上，
∴AB＝AD，
又∵∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝4，
又∵BC＝7，
∴CD＝BC﹣BD＝3，
故答案为：3．
15．如图，点D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C，AB＝6cm，AD＝4cm，则线段CD的长为 5cm ．
【分析】先证明△ABD∽△ACB，利用对应边成比例求出AC，即可求解CD．
【解答】解：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴，
∵AB＝6，AD＝4，
∴，
∴CD＝AC﹣AD＝9﹣4＝5（cm），
故答案为：5cm．
16．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠CDA＝90°，AB＝1，CD＝2，过A，B，D三点的⊙O分别交BC，CD于点E，M，下列结论：①DM＝CM；②；③⊙O的直径为2；④AE＝AD．其中正确的结论有 ①②④ （填序号）．
【分析】（1）由四边形ADMB为矩形，知①DM＝CM，正确；
（2）四边形ABMC为平行四边形，∴∠AEB＝∠MAE，，故②正确；
（3）由题设条件求不出直径的大小，故③⊙O的直径为2，错误；
（4）∠DAM＝∠EAM，OG⊥AM，OH⊥AM推出弦心距相等，故④AE＝AD正确．
【解答】解：如图，连接AM，连接MB，
∵∠BAD＝∠CDA＝90°，
∴AM过圆心O，
而A、D、M、B四点共圆，
∴四边形ADMB为矩形，而AB＝1，CD＝2，
∴CM＝2﹣1＝1＝AB＝DM，即：①DM＝CM，正确；
又AB∥CD，
∴四边形ABMC为平行四边形，
∴∠AEB＝∠MAE，，故②正确；
∵四边形ADMB为矩形，
∴AB＝DM，
∴，
∴∠DAM＝∠AMB，
过点O作OG⊥AD于G，OH⊥AE于H，
∴OG＝OH，
∴AD＝AE，
∴④正确；
由题设条件求不出直径的大小，
故③⊙O的直径为2，错误；
故答案为①②④．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，点D，E分别在AB，AC上，且AD＝CE，BE，CD交于点F，若，求AD的长．
【分析】过点D作DG∥BE，交AC于点G，利用平行线分线段成比例可得，然后设CE＝3x，GE＝4x，利用已知表示出AD，AG和AE的长，最后证明A字模型相似三角形△ADG∽△ABE，利用相似三角形的性质即可解答．
【解答】解：过点D作DG∥BE，交AC于点G，
∵，
∴，
设CE＝3x，GE＝4x，
∵AD＝CE，
∴AD＝3x，
∵AB＝AC＝3，
∴AE＝AC﹣CE＝3﹣3x，
∴AG＝AC﹣EC﹣GE﹣3﹣7x，
∵DG∥BE，
∴∠ADG＝∠ABE，∠AGD＝∠AEB，
∴△ADG∽△ABE，
∴，
∴，
∴x或x＝3（舍去），
∴AD＝1．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称，画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
【分析】（1）找到A、B、C关于原点O成中心对称的对应点A1、B1、C1，顺次连接即可；
（2）找到A、B、C绕点O顺时针旋转90°得到的对应点A2、B2、C2，顺次连接即可．
【解答】解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为（3，1）．
19．（8分）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下：
抽取件数（件） 50 100 200 500 800 1000
合格频数 47 95 188 480 763 949
合格频率 0.94 0.95 0.94 0.96 0.95 0.95
（1）估计任抽一件衬衣是合格品的概率（结果精确到0.01）．
（2）估计出售2000件衬衣，其中次品大约有几件．
【分析】（1）根据大量重复实验下，频率稳定的数值即可估计任抽一件衬衣是合格品的概率；
（2）用总数量×（1﹣合格的概率）列式计算即可．
【解答】解：（1）由表可知，估计任抽一件衬衣是合格品的概率为0.95；
（2）次品的件数约为2000×（1﹣0.95）＝100（件）．
20．（8分）如图，一位篮球运动员在与篮圈水平距离为4m处起跳投篮时，球运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）之间满足关系式y＝ax2+x+c，当球运行的水平距离为1.5m时，球离地面高度为3.3m，球在空中达到最大高度后，准确落入篮框内．已知篮框中心与地面的距离为3.05m．当球运行的水平距离为多少时，球在空中达到最大高度？最大高度为多少？
【分析】利用待定系数法确定函数的解析式，然后配方成顶点式的形式即可确定答案．
【解答】解：依题意，抛物线y＝ax2+x+c经过点（1.5，3.3）和（4，3.05），∴，
解得，
∴y＝﹣0.2x2+x+2.25＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5，
∴当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度为3.5m．
21．（8分）如图，已知：四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA＝∠D．
（1）求证：△EAC∽△ECB；
（2）若DF＝AF，求AC：BC的值．
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形、∠ECA＝∠D可得∠ECA＝∠B，∠E为公共角可得△EAC∽△ECB；
（2）由CD∥AE、DF＝AF可得CD＝AE，进而有BE＝2AE，根据△EAC∽△ECB，得到对应边成比例，即可得出AC：BC的值．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵∠ECA＝∠D，
∴∠ECA＝∠B，
∵∠E＝∠E，
∴△ECA∽△ECB；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，即：CD∥AE
∴，
∵DF＝AF，
∴CD＝AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∴AE＝AB，
∴BE＝2AE，
∵△ECA∽△EBC
∴
∴，
即：
∴．
22．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若抛物线上存在一点P（不与点C重合），使得S△ABP＝S△ABC，请求出点P的坐标．
【分析】（1）根据抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，可以直接写成交点式，再化为一般式；
（2）由S△ABP＝S△ABC，可以得出点P的纵坐标为3或﹣3，再分别令y＝3，y＝﹣3，列方程求解即可．
【解答】解：（1）∵与x轴相交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，
∴y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3；
（2）当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC＝3，
设P点纵坐标为m，
∴，
|m|＝3，
∴m＝±3，
∴点P的纵坐标为3或﹣3，
令x2+2x﹣3＝3，得，，
令x2+2x﹣3＝﹣3，得x3＝0（舍去），x4＝﹣2，
∴点P的坐标为（﹣2，﹣3）或或．
23．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，1）和B（2，4）．
（1）求a，b满足的关系式．
（2）当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，y随x的增大而增大，求a的取值范围．
（3）若函数图象与x轴无交点，求a2+b2的取值范围．
【分析】（1）把点A（﹣1，1）和B（2，4）代入解析式得到，两式相减即可得到结论；
（2）由题意可知1，代入b＝1﹣a，解得a，即可得到a的取值范围是0＜a；
（3）由b＝1﹣a得到a2+b2＝2（a）2，即可根据二次函数的性质得到a2+b2的最值．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，1）和B（2，4），
∴，
②﹣①得，3a+3b＝3，即a+b＝1，
∴b＝1﹣a；
（2）由题意可知1，
∵b＝1﹣a，
∴1，
∴a＞0，
∴1﹣a≥2a，
∴a，
∴a的取值范围是0＜a；
（3）∵函数图象与x轴无交点，
∴b2﹣4ac＜0，即（1﹣a）2﹣4a（2﹣2a）＜0，
∴（1﹣a）（1﹣9a）＜0，
解得a＜1，
∵b＝1﹣a，
∴a2+b2
＝a2+（1﹣a）2
＝a2+a2﹣2a+1
＝2a2﹣2a+1
＝2（a）2，
∴当a时，a2+b2的最小值为，
当a＝1时，a2+b2的最大值为1，
∴a2+b2＜1．
24．（12分）如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连结EF，使∠AFE＝∠ADC．
（1）若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数．
（2）求证：①EF∥BC；
②EF＝BD．
【分析】（1）根据圆周角定理进行计算即可；
（2）①利用圆内接四边形的外角等于它的内对角以及平行线的判定方法即可得出结论；
②根据全等三角形的性质，圆周角定理进行解答即可．
【解答】（1）解：∵CD为直径，
∴∠CAD＝90°，
∵∠AFE＝∠ADC＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABD＝∠ACD＝30°；
（2）证明：①如图，延长AB，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠CBM＝∠ADC，
又∵∠AFE＝∠ADC，
∴∠AFE＝∠CBM，
∴EF∥BC；
②过点D作DG∥BC交⊙O于点G，连接AG，CG，
∵DG∥BC，
∴，
∴BD＝CG，
∵四边形ACGD是圆内接四边形，
∴∠GDE＝∠ACG，
∵EF∥DG，
∴∠DEF＝∠GDE，
∴∠DEF＝∠ACG，
∵∠AFE＝∠ADC，∠ADC＝∠AGC，
∴∠AFE＝∠AGC，
∵AE＝AC，
∴△AEF≌△ACG（AAS），
∴EF＝CG，
∴EF＝BD．
