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5.2.1.3三角函数线---自检定时练---详解版
一、单选题
1.下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若，则的长度相等而方向相同或相反
C．若向量，满足，则
D．相等向量其方向必相同
【答案】D
【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，即可判断各项的正误.
【详解】对于A中，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误；
对于B中，只能说明的长度相等而方向不确定，故B错误；
对于C中，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故错误；
对于D中，相等向量其方向必相同，故D正确．
故选：D.
2.在空间四边形中，等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量加减法的运算法则即可求解.
【详解】,
故选：C
3.如图，在长方体中，为棱的中点．若，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用空间向量的线性运算即可得到结果.
【详解】由题意得，.
故选：A．
4.如图．空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且满足，点N为BC的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的线性运算求解即可.
【详解】
如图，
，
故选：B
5.如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用空间向量线性运算进行求解.
【详解】由题意
，
又，
.
故选：B
6.如图，已知空间四边形的中点分别为点，点在线段上，且，则向量表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的线性运算知识结合已知条件直接求解即可.
【详解】解：
，
故选：A
7.下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的加法运算可判断A，根据向量的减法以及相反向量可判断B，根据共线向量的定义可判断C，向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D.
【详解】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误；
对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误；
对于C，，则、、三点共线，选项C正确；
对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误；
故选：C.
8.下列条件中，使点与点一定共面的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用空间共面向量定理以及其推论，看等式右边系数和是否为1，可判断A,B,C;根据空间向量共面定理即可判断D,得出正确答案．
【详解】对于可得，，由空间共面向量定理知，M、A、B、C一定共面，故A正确，
对于可知，系数和不为1，故M、A、B、C不共面，故B错；
对于，系数和 ，故M、A、B、C不共面，故C错；
对于，可得，系数和不为1，根据空间向量共面的推论可知M、A、B、C不共面，故D错；
故选：A.
二、多选题
9.下列说法正确的有（ ）
A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线
B．若两个非零向量与满足，则
C．零向量与任何向量都共线
D．两个单位向量一定是相等向量
【答案】BC
【分析】根据共线向量以及单位向量的定义即可求解.
【详解】对于A，若为零向量时，则无法得到与共线，A错误，
对于B，由可得，故∥，B正确，
对于C，零向量与任意向量共线，故C正确，
对于D，单位向量的模长相等，但是方向不一定相同,故D错误，
故选：BC
10.如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的是（ ）
①； ②；
③； ④．
A．① B．②
C．③ D．④
【答案】ABCD
【分析】利用向量加法的运算，对四个式子逐一计算出结果，由此得出正确选项.
【详解】①；
②；
③；
④．
故选：ABCD.
11.下列哪个条件可以作为四点共面的充分条件（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据向量平行以及三点共线，结合共面的性质即可求解AB,根据平面，因此点可能在平面外，即可判断C，根据共面定理即可求解D.
【详解】对于A，，，，，，四点共面，故A正确；
对于B，，则，，三点共线，故四点共面，B正确；
对于C，,
同理,平面，故平面，因此点可能在平面外，因此不一定共面，C错误，
对于D，
即，．、、四点共面，故D正确．
故选:ABD
填空题
12.正方体中，点E是上底面的中心，若，则 .
【答案】
【分析】由图结合空间向量加法可得答案.
【详解】如图，连接，，则其交点为E.又连接AC.
如图，可得，又.
则，，则.
故答案为：
13.设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且 三点共线，则实数 ．
【答案】
【分析】先求出向量，再根据，，三点共线得出与的关系，从而求出的值.
【详解】因为，已知，，
所以.
因为，，三点共线，所以与共线，即存在实数，使得.
已知，，则.
根据向量相等的性质，对于和前面的系数分别相等，可得.
由，解得，又因为，所以.
故答案为：.
14．在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得.
【详解】在四面体中，不共面，
因为，所以，
若、、、四点共面，则,
所以.
故答案为：.
四、解答题
15．如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．
(1)单位向量共有多少个？
(2)试写出与相等的所有向量．
(3)试写出的相反向量．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据单位向量的定义写出即可；
（2）根据相等向量的定义写出即可；
（3）根据相反向量的定义写出即可.
【详解】（1）由题意，单位向量有共个；
（2）由题意，与相等有；
（3）由题意，的相反向量有.
16化简：．
【答案】
【分析】根据空间向量的线性运算及运算律即可求解。
【详解】
原式
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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5.2.1.3三角函数线---自检定时练--学生版
【1】知识清单
①概念
概念 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模
表示方法 有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，如图，的起点是A，终点是B，则也可记作，其模为||或||.
特殊向量 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量 模为1的向量称为单位向量
相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a
共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量
②加减及数乘运算
空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝
减法 a－b＝－＝
数乘 实数λ与空间向量的乘积λ仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
当λ>0时，λa＝λ＝；与a同向
当λ<0时，λa＝λ＝；与a反向
当λ＝0时，λa＝0；方向是任意
λ的模是的模的|λ|倍
运算律 交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
③共线定理；④共面定理
共线向量基本定理 与（）共线存在实数λ，使
共面向量基本定理 空间一点P位于平面ABC内的充要条件是：存在唯一的有序实数对（）,使，且.
【2】微型自检报告
完成时间 不会解答的题号 解答错误的题号 需要重点研究的题目
分钟
【3】自检定时练(建议40分钟)
1.下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若，则的长度相等而方向相同或相反
C．若向量，满足，则
D．相等向量其方向必相同
2.在空间四边形中，等于（ ）
A． B． C． D．
3.如图，在长方体中，为棱的中点．若，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4.如图．空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且满足，点N为BC的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
5.如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
6.如图，已知空间四边形的中点分别为点，点在线段上，且，则向量表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
7.下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（ ）
A． B． C． D．
8.下列条件中，使点与点一定共面的为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9.下列说法正确的有（ ）
A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线
B．若两个非零向量与满足，则
C．零向量与任何向量都共线
D．两个单位向量一定是相等向量
10.如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的是（ ）
①； ②；
③； ④．
A．① B．②
C．③ D．④
11.下列哪个条件可以作为四点共面的充分条件（ ）
A． B．
C． D．
填空题
12.正方体中，点E是上底面的中心，若，则 .
13.设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且 三点共线，则实数 ．
14．在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则 ．
四、解答题
15．如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．
(1)单位向量共有多少个？
(2)试写出与相等的所有向量．
(3)试写出的相反向量．
16化简：．
【4】核对简略答案,详解请看解析版！
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D C A B B A C A BC ABCD ABD
12.【答案】
13.【答案】
14【答案】
【答案】(1) (2) (3)
16.【答案】
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