1.1.1 正切 课件(共28张PPT)2024-2025学年数学北师大版九年级下册
文档属性
| 名称 | 1.1.1 正切 课件(共28张PPT)2024-2025学年数学北师大版九年级下册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-13 21:08:00 | ||
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文档简介
(共28张PPT)
第一章 直角三角形的
边角关系
1 锐角三角函数
第1课时 正切
北师大版-数学-九年级下册
学习目标
1.理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生活的联系；
2.能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计算；
3.了解坡度、坡角的概念，能解决与坡度、坡角有关的简单实际问题.
【重点】理解正切的意义，并能举例说明；能够根据正
切的概念进行简单的计算
【难点】能运用正切、坡度解决问题
新课导入
对直角三角形的边角关系，已经研究了什么？还可以研究什么？
答：我们前面研究了直角三角形中角与角之间的关系（两锐角互余）、三边之间的关系（勾股定理），还可以研究边与角之间的关系．
新课导入
猜一猜,这座古塔有多高
在直角三角形中,知道一边和一个锐角,你能求出其他的边和角吗
想一想,你能运用所学的数学知识测出这座古塔的高吗
新知探究
铅直高度
水平宽度
梯子与地面的夹角∠ＡＢＣ称为倾斜角
从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子的铅直高度
从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度
A
C
B
相关概念
知识点 正切的定义
1
新知探究
问题1：比较泰山和华山的步道，衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？
问题2：你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
倾斜角越大——山越“险”；梯子越陡
A
B
新知探究
5m
3m
1.5m
5m
A
B
E
F
梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
A
B
E
F
5m
3m
5m
1.5m
新知探究
当竖直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡
新知探究
6m
2m
2m
5m
A
B
E
F
梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
新知探究
A
B
E
F
6m
2m
5m
2m
当水平宽度一样，竖直高度越大，梯子越陡
新知探究
6m
3m
2m
4m
A
B
E
F
梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
新知探究
A
B
E
F
6m
3m
4m
2m
竖直高度与水平宽度的比相等，梯子一样陡
当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡.
3 m
2 m
6 m
5 m
A
B
C
D
E
F
倾斜角越大，梯子越陡.
新知探究
问题3：你有几种方法比较梯子AB和EF哪个更陡？
总结:铅直高度与水平宽度的比和倾斜角的大小都可用来判断梯子的倾斜程度.
新知探究
想一想：如图，小明想通过测量B1 C1 及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2,算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗？
新知探究
两个直角三角形相似
(2) 和 有什么关系
(3) 如果改变 B2 在梯子上的位置
(如 B3C3 )呢
思考：由此你得出什么结论
A
B1
C2
C1
B2
C3
B3
相等
相似三角形的对应边成比例
(1) 直角三角形AB1C1 和 直角三角形AB2C2 有什么关系
直角三角形中，锐角大小确定后，对应的对边和邻边的比值也就确定了
新知探究
在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切,记作tanA,即
tanA=
结论：tanA的值越大，梯子越陡.
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
┌
新知探究
定义中的几点说明：
1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A是一个锐角.
2.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切.但∠BAC的正切表示为:tan∠BAC.∠1的正切表示为:tan∠1.
3.tanA﹥0 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比（注意顺序： ）.
4.tanA不表示“tan”乘以“A ”.
5.tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
新知探究
例1： 下图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡
解:甲梯中，tanα
乙梯中，tanβ
∵ tanα ＞ tanβ，∴甲梯更陡.
提示：在生活中，常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度.
β
4 m
乙
8 m
甲
α
5 m
┌
13 m
新知探究
总结：(1)倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，倾斜角较大的物体，就说它放得更“陡”．
(2)利用物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程度，因为夹角的正切值越大，则夹角越大，物体放置得越“陡”．
新知探究
如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度i(即tanα)就是:
100m
60m
┌
α
知识点 坡度、角度
2
新知探究
1.坡面与水平面的夹角(α)叫坡角。
2.坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切。
3.坡度越大,坡面越陡。
课堂小结
正切
定义
坡度
∠A越大，tanA越大,
梯子越陡
与梯子倾斜程度的关系
课堂训练
B
C
A
(1)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5,
AC=12,tanA=( ).
(2)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5,
AB=13,tanA=( ),tanB=( ).
(3)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5,tanA= ,
AC=( ).
1.完成下列填空：
课堂训练
2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA= （ ）
A. B.
C. D.
D
课堂训练
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=5，则
tan A=______，tan B =______．
4.下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.指出∠A和∠B的对边、邻边.
A
B
C
D
(1) tanA =
=
AC
( )
CD
( )
(2) tanB=
=
BC
( )
CD
( )
BC
AD
BD
AC
课堂训练
5.如图，某人从山脚下的点A走了 200 m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的 垂直距离为55 m，求山的坡度（结果精确到0.001).
解：由勾股定理可知，
AC＝ ＝ ≈192.289(m)，
∴tan ∠BAC＝ ≈ ≈0.286.
所以，山的坡度大约是0.286.
A
B
C
┌
6. 如图，为了缓解交通拥堵，方便行人，在某街道计划修建一座横断面为梯形ABCD的过街天桥.若天桥下底的长度AD＝23 m，斜坡CD的坡度为i＝1∶1.2(垂直高度CE与水平宽度DE的比)，上底BC＝10 m，天桥高度CE＝5 m，求天桥左边斜坡AB的坡度.
课堂训练
课堂训练
解：过点B作BF⊥AD于点F，
则四边形BCEF为矩形，
∴BF＝CE＝5(m)，BC＝EF＝10(m)，
∵ ＝1∶1.2，得ED＝6(m)，
∴AF＝ AD－EF－ED＝7(m)，
∴tan∠BAF＝ ＝ ＝1∶1.4.
2
2
第一章 直角三角形的
边角关系
1 锐角三角函数
第1课时 正切
北师大版-数学-九年级下册
学习目标
1.理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生活的联系；
2.能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计算；
3.了解坡度、坡角的概念，能解决与坡度、坡角有关的简单实际问题.
【重点】理解正切的意义，并能举例说明；能够根据正
切的概念进行简单的计算
【难点】能运用正切、坡度解决问题
新课导入
对直角三角形的边角关系，已经研究了什么？还可以研究什么？
答：我们前面研究了直角三角形中角与角之间的关系（两锐角互余）、三边之间的关系（勾股定理），还可以研究边与角之间的关系．
新课导入
猜一猜,这座古塔有多高
在直角三角形中,知道一边和一个锐角,你能求出其他的边和角吗
想一想,你能运用所学的数学知识测出这座古塔的高吗
新知探究
铅直高度
水平宽度
梯子与地面的夹角∠ＡＢＣ称为倾斜角
从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子的铅直高度
从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度
A
C
B
相关概念
知识点 正切的定义
1
新知探究
问题1：比较泰山和华山的步道，衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？
问题2：你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
倾斜角越大——山越“险”；梯子越陡
A
B
新知探究
5m
3m
1.5m
5m
A
B
E
F
梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
A
B
E
F
5m
3m
5m
1.5m
新知探究
当竖直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡
新知探究
6m
2m
2m
5m
A
B
E
F
梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
新知探究
A
B
E
F
6m
2m
5m
2m
当水平宽度一样，竖直高度越大，梯子越陡
新知探究
6m
3m
2m
4m
A
B
E
F
梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
新知探究
A
B
E
F
6m
3m
4m
2m
竖直高度与水平宽度的比相等，梯子一样陡
当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡.
3 m
2 m
6 m
5 m
A
B
C
D
E
F
倾斜角越大，梯子越陡.
新知探究
问题3：你有几种方法比较梯子AB和EF哪个更陡？
总结:铅直高度与水平宽度的比和倾斜角的大小都可用来判断梯子的倾斜程度.
新知探究
想一想：如图，小明想通过测量B1 C1 及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2,算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗？
新知探究
两个直角三角形相似
(2) 和 有什么关系
(3) 如果改变 B2 在梯子上的位置
(如 B3C3 )呢
思考：由此你得出什么结论
A
B1
C2
C1
B2
C3
B3
相等
相似三角形的对应边成比例
(1) 直角三角形AB1C1 和 直角三角形AB2C2 有什么关系
直角三角形中，锐角大小确定后，对应的对边和邻边的比值也就确定了
新知探究
在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切,记作tanA,即
tanA=
结论：tanA的值越大，梯子越陡.
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
┌
新知探究
定义中的几点说明：
1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A是一个锐角.
2.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切.但∠BAC的正切表示为:tan∠BAC.∠1的正切表示为:tan∠1.
3.tanA﹥0 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比（注意顺序： ）.
4.tanA不表示“tan”乘以“A ”.
5.tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
新知探究
例1： 下图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡
解:甲梯中，tanα
乙梯中，tanβ
∵ tanα ＞ tanβ，∴甲梯更陡.
提示：在生活中，常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度.
β
4 m
乙
8 m
甲
α
5 m
┌
13 m
新知探究
总结：(1)倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，倾斜角较大的物体，就说它放得更“陡”．
(2)利用物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程度，因为夹角的正切值越大，则夹角越大，物体放置得越“陡”．
新知探究
如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度i(即tanα)就是:
100m
60m
┌
α
知识点 坡度、角度
2
新知探究
1.坡面与水平面的夹角(α)叫坡角。
2.坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切。
3.坡度越大,坡面越陡。
课堂小结
正切
定义
坡度
∠A越大，tanA越大,
梯子越陡
与梯子倾斜程度的关系
课堂训练
B
C
A
(1)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5,
AC=12,tanA=( ).
(2)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5,
AB=13,tanA=( ),tanB=( ).
(3)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5,tanA= ,
AC=( ).
1.完成下列填空：
课堂训练
2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA= （ ）
A. B.
C. D.
D
课堂训练
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=5，则
tan A=______，tan B =______．
4.下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.指出∠A和∠B的对边、邻边.
A
B
C
D
(1) tanA =
=
AC
( )
CD
( )
(2) tanB=
=
BC
( )
CD
( )
BC
AD
BD
AC
课堂训练
5.如图，某人从山脚下的点A走了 200 m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的 垂直距离为55 m，求山的坡度（结果精确到0.001).
解：由勾股定理可知，
AC＝ ＝ ≈192.289(m)，
∴tan ∠BAC＝ ≈ ≈0.286.
所以，山的坡度大约是0.286.
A
B
C
┌
6. 如图，为了缓解交通拥堵，方便行人，在某街道计划修建一座横断面为梯形ABCD的过街天桥.若天桥下底的长度AD＝23 m，斜坡CD的坡度为i＝1∶1.2(垂直高度CE与水平宽度DE的比)，上底BC＝10 m，天桥高度CE＝5 m，求天桥左边斜坡AB的坡度.
课堂训练
课堂训练
解：过点B作BF⊥AD于点F，
则四边形BCEF为矩形，
∴BF＝CE＝5(m)，BC＝EF＝10(m)，
∵ ＝1∶1.2，得ED＝6(m)，
∴AF＝ AD－EF－ED＝7(m)，
∴tan∠BAF＝ ＝ ＝1∶1.4.
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