1.1.2 正弦和余弦 课件(共20张PPT)2024-2025学年数学北师大版九年级下册

(共20张PPT)
第一章　直角三角形的
边角关系
1　锐角三角函数
第2课时 正弦和余弦
北师大版-数学-九年级下册
学习目标
1.能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系.
2.能够用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算.
【重点】理解正弦与余弦的概念
【难点】能用正弦、余弦的知识，根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角
新课导入
复习引入:在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即
tanA=
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
┌
斜边
求出图中∠A，∠B 的正切值.
新知探究
知识点 正弦的定义
1
任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？
AB
BC
A'B'
B'C'
A
B
C
α
A'
B'
C'
α
新知探究
由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，
A
B
C
α
A'
B'
C'
α
所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'.
因此
B'C'
BC
A'B'
AB
＝
AB
BC
A'B'
B'C'
＝
即
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．
新知探究
B
A
C
c
a
b
斜边
对边
定义：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A .
∠A的对边
斜边
sin A = =
c
a
新知探究
解： 在Rt△ABC中，
即
∴ BC=200×0.6=120.
A
B
C
例1 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sinA=0.6，求BC的长.
新知探究
知识点 余弦的定义
2
任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？
AB
AC
A'B'
A'C'
A
B
C
α
A'
B'
C'
α
新知探究
A
B
C
α
A'
B'
C'
α
由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，
所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'.
∠B＝∠B'，
sinB = sinB'，
AB
AC
A'B'
A'C'
＝
即
这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的邻边与斜边的比也是一个固定值．
新知探究
三角函数的定义：锐角 A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数（trigonometric function）.当锐角 A 变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化.
如图，梯子的倾斜程度与 sinA 和 cosA 有关系吗？
sinA的值越大,梯子越 ____ ;
cosA的值越 ____ ,梯子越陡.
陡
小
新知探究
定义中应该注意的几个问题:
1.sinA,cosA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(做题时注意数形结合,没有直角三角形时要构造直角三角形).
2.sinA,cosA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦 (习惯省去“∠”符号).
3.sinA,cosA 是一个比值，是直角边与斜边之比，注意比的顺序.
4.sinA,cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.
6.锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.
新知探究
知识点 正弦、余弦之间简单的关系
3
例2 如图，在Rt△ABC中,∠C=90°, AC=10, 求AB, sinB.
你发现了什么？
在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的余弦.
A
B
C
锐角三角函数之间的关系:
(1)同一个角:①商的关系:tanA= ；②平方关系:sin2A+cos2A=1.
(2)互余两角:若∠A+∠B=90°,则sinA=cosB
=cos(90°－A),cosA=sinB=sin(90°－A).
tanA·tanB=1
新知探究
拓展了解
大家可以选择感兴趣的结论课下自己尝试证明
课堂小结
正弦和余弦
正弦
B
A
C
c
a
b
斜边
对边
∠A的对边
斜边
sin A = =
c
a
余弦
B
A
C
c
a
b
斜边
邻边
∠A的邻边
斜边
cos A = =
c
b
锐角三角函数
正弦、余弦和正切的相互转化
课堂训练
1. 如图，在△ABC中，∠C=90°,AB=13，BC=5，则sin A的值是（ ）
A. B. C. D.
A
C
B
A
2．在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=2BC,则sin A的值是( )
A. B. 2 C. D.
C
课堂训练
3.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5， 那么下列式子中正确的是（ ）
A.sinA=
B.cosA=
C.tanA=
D.tanA=
A
课堂训练
4.△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cosα的值是（ ）
A.
B.
C.
D.
C
课堂训练
5.在△ABC中，∠C=90 °， ，BC=20，
求△ABC的周长和面积.
A
B
C
解:在Rt △ABC中,
由勾股定理可得:AC=15，
∴S△ABC =15×20÷2=150，
C△ABC =20+25+15=60.
课堂训练
6．如图，在正方形 ABCD 中，M 是 AD 的中点，BE = 3AE，求 sin∠ECM.
解：设正方形ABCD的边长为 4x，
∵M 是 AD 的中点，BE = 3AE，
∴ AM ＝ DM ＝ 2x，AE ＝ x，
BE ＝ 3x．由勾股定理可知，
A
M
E
D
B
C
课堂训练
6．如图，在正方形 ABCD 中，M 是 AD 的中点，BE = 3AE，求 sin∠ECM.
A
M
E
D
B
C
由勾股定理逆定理可知，△EMC 为直角三角形.