1.5 三角函数的应用 课件 (共30张PPT)2024-2025学年数学北师大版九年级下册

(共30张PPT)
第一章　直角三角形的
边角关系
5　三角函数的应用
北师大版-数学-九年级下册
学习目标
1.正确理解方位角、俯仰角和坡角；
2.能运用解直角三角形知识解决相关实际问题；
3.三角函数在航海、测量、改造工程等方面的实际应用.
【重点】通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解
决问题过程中的作用.
【难点】建立数学模型，把实际问题转化为数学问题.
新课导入
大家通过图片知道这是什么电影吗
我们知道轮船在海中航行时用方位角准确描述其航行方向的重要性.那么我们如何结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远离危险呢？
新知探究
知识点 与方位角有关的实际问题
1
方向角：如图，指北或指南的方向线与目标方向线所成的 小于90°的角叫做方向角．
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
北偏东30度
南偏西45度
例1：如图，海中有一个小岛A，该岛四周 10 n mile内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西 55° 的B 处，往东行驶 20 n mile后到达该岛的南偏西 25° 的 C处。之后，货轮继续向东航行.货轮继续航行会有触礁的危险吗？
B
A
C
20
D
【分析】货轮继续向东航行是否安全，取决于小岛A 到 BD航线的距离是否大于 10 n mile.
北
东
新知探究
25°
55°
解：由点 A 作AD⊥BC 于点 D，
设AD= x ,
则在 Rt△ABD 中，
在 Rt△ACD 中，
解得
所以，这船继续向东航行是安全的.
由 BC = BD-CD,得
新知探究
B
A
C
20
D
北
东
25°
55°
BC = xtan55°-xtan25°= 20
练习1：如图, 一艘海轮位于灯塔P的 北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时，B处距离灯塔 P有多远（结果取整数)？
A
P
C
B
北
65°
34°
新知探究
A
P
C
B
北
65°
34°
解：如图，在Rt△APC中，
PC =PA cos(90°-65°)
=80 × cos 25°
≈72. 505.
在 Rt△BPC 中， ∠B = 34°，
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约 130 n mile.
新知探究
新知探究
知识点 仰角和俯角问题
2
仰角和俯角：如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做_________，视线在水平线下方的叫做________．
仰角
俯角
视线
铅垂线
水平线
视线
仰角
俯角
新知探究
例2：如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30 ,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60 ,那么该塔有多高 (小明的身高忽略不计,结果精确到1m)
D
A
B
C
┌
50m
30
60
D
A
B
C
┌
50m
30
60
答:该塔约有43m高.
解:如图,根据题意可知,∠A=30 ,
∠DBC=60 ,AB=50m. 设CD=x,
则∠ADC=60 ,∠BDC=30 ,
新知探究
新知探究
A
B
C
D
α
β
仰角
水平线
俯角
练习2：热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.
新知探究
解：如图，α = 30°,β= 60°， AD＝120．
答：这栋楼高约为277.1m.
A
B
C
D
α
β
∵tanα=β=
新知探究
知识点 利用坡角解决实际问题
3
坡度和坡角：
如图，通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l之比叫_______，用字母i表示，把坡面与水平面的夹角叫做_______，记做α，于是i＝____＝tanα，显然，坡度越大，α角越大，坡面就越陡．
坡角
坡度
l
h
α
α为坡角
新知探究
例3：某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾斜角由40°减至35°,已知原楼梯长为4m,调整后的楼梯会加长多少 楼梯多占多长一段地面 (结果精确到0.01m)
B
A
D
C
┌
4m
35°
40°
如图，AC⊥BC，∠ADC＝40°，∠BAD＝35°，BD＝4m.
（1）求AB-BD.
（2）AD的长度.
（1）解:如图,根据题意可知,
∠A=35°,∠BDC=40°, DB=4m.
答:调整后的楼梯会加长约0.48m.
新知探究
B
A
D
C
┌
4m
35°
40°
新知探究
（2）解:如图,根据题意可知, ∠A=35°,∠BDC=40°, DB=4m.
∴楼梯多占约0.61m长的一段地面.
B
A
D
C
┌
4m
35°
40°
新知探究
练习3：一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽（精确到0.1米, ）.
45°
30°
4米
12米
A
B
C
D
新知探究
解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E，F．由题意可知DE＝CF＝4（米）， CD＝EF＝12（米）．在Rt△ADE中，∵tan45°= ，
在Rt△BCF中，同理可得
因此AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93（米）．
　答： 路基下底的宽约为22.93米．
45°
30°
4米
12米
A
B
C
E
F
D
新知探究
总结
利用解直角三角形解决简单问题的一般解题步骤：
1. 将实际问题抽象为数学问题；
2. 根据题目类型和条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
3. 得到数学和实际问题的答案.
课堂小结
解直角三角形的简单应用
一般解题步骤
1.将实际问题抽象为数学问题
2.根据条件的特点，适当选用锐角 三角函数等去解直角三角形
3.得到数学和实际问题的答案
简单应用
1.与方位角有关的实际问题
2.仰角和俯角问题
3.利用坡角解决实际问题
课堂训练
1.如图，已知AC=100 m,∠B=30°,则B,C两地
之间的距离为( )
A.
B.
C.
D.
A
课堂训练
2. 如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得
∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得
AC=100米，则B点到河岸AD的距离为 ( )
B
D
C
A
A. 100米 B. 米
C. 米 D. 50米
B
课堂训练
3. 如图 3，从地面上的 C，D 两点测得树顶 A 仰角分别是
45°和30°，已知 CD = 200 米，点 C 在 BD 上，则树高
AB 等于 （根号保留）．
课堂训练
4.如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直
放在距旗杆底部B点6 m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角
为53°，若测角仪的高度是1.5 m，则旗杆AB的高度约为
______m.（精确到0.1 m,参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，
tan53°≈1.33）
9.5
课堂训练
5. 如图，港口 A 在观测站 O 的正东方向，OA = 4 km，某船从
港口 A 出发，沿北偏东 15° 方向航行一段距离后到达 B 处，
此时从观测站 O 处测得该船位于北偏东60° 的方向，则该船
航行的距离（即 AB 的长）是多少？
课堂训练
解：如图，过点 A 作 AD ⊥ OB 于 D．
在 Rt△AOD 中，∵∠ADO = 90°，∠AOD = 30°，OA= 4 km，
∴AD = OA = 2 km．
在Rt△ABD 中，∵∠ADB = 90°，∠B = ∠CAB-∠AOB=75°- 30°= 45°，
∴ BD = AD = 2 km，
∴ AB = AD = km．
即该船航行的距离为 km．
课堂训练
6. 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6 m，坝高 23 m，斜坡
AB 的坡度为1∶3，斜坡 CD 的坡度为 1∶2.5，求：
（1）坝底 AD 与斜坡 AB 的长度（精确到 0.1m ）；
（2）斜坡 CD 的坡角 α（精确到 1°）.
E
F
A
D
B
C
1:2.5
23
6
α
课堂训练
E
F
A
D
B
C
1:2.5
23
6
α
在 Rt△ABE 中，∵
在 Rt△DCF 中，同理可得
∴AD = AE+EF+FD = 69+6+57.5 = 132.5 m
在 Rt△ABE 中，由勾股定理可得
∴FD = 2.5 CF = 2.5×23 = 57.5 m
m
解：(1) 分别过点 B、C作 BE⊥AD，CF⊥AD，
垂足分别为点 E, F,由题意可知
BE = CF = 23 m ， EF = BC = 6 m.
课堂训练
(2) 斜坡 CD 的坡度为 tanα = 1∶2.5 = 0.4，
由计算器可算得
答：坝底宽 AD 为 132.5 米，斜坡 AB 的长约为72.7 米．斜坡 CD 的坡角 α 约为 22°.
E
F
A
D
B
C
1:2.5
23
6
α