2.2.1二次函数y = x2 和 y =－x2的图象与性质 课件 (共22张PPT)2024-2025学年数学北师大版九年级下册

(共22张PPT)
第二章　二次函数　
2 二次函数的图象与性质 　
北师大版-数学-九年级下册
第1课时 二次函数y = x2 和 y =－x2的图象与性质 　
学习目标
【重点】会画y=ax2的图象，理解其性质.
【难点】描点法画y=ax2的图象，体会数与形的相互联系.
1.会用描点法画二次函数y=x 与y=-x 的图象．
2.通过对二次函数y=x 与y=-x 图象的探究，理解并掌握y=x 与y=-x 的性质．
新课导入
你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？
一次函数 y = kx+b(k ≠ 0)
x
y
o
b>0
b=0
x
y
o
b>0
b=0
b<0
b<0
k>0
k<0
新课导入
反比例函数
0
x
y
k>0
k<0
新课导入
二次函数的图象是什么形状呢？
通常怎样画一个函数的图象？
（1）列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
（2）描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；
（3）连线—按照横坐标由小到大顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
新知探究
画二次函数 的图象
（1）列表：观察 的表达式，选择适当的x值， 并计算相应的y值，完成下表：
知识点 二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质
x
-3
9
-2
4
-1
1
0
0
1
1
2
4
3
9
新知探究
（2）描点：在直角坐标系中描点.
（3）连线：用光滑的曲线顺次连接各点，便得到 y = x2 的图象．
2
4
-2
-4
O
3
6
9
x
y
新知探究
对于二次函数 y = x2 的图象，
（1）你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流.
2
4
-2
-4
O
3
6
9
x
y
二次函数y=x2的图象是一条抛物线，
并且抛物线开口向上.
（2）图象与 x 轴有交点吗？如果有， 交点坐标是什么？
图象与x轴有交点，交点在原点(0，0).
新知探究
2
4
-2
-4
O
3
6
9
x
y
（3）当 x<0 时，随着 x 值的增大，y 值如何变化？
当 x > 0 时呢？
当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大.
（4）当 x 取何值时，y 的值最小？
最小值是什么？你是如何知道的？
从图象中可以看出当x=0时, y有最小值0.
（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
图象关于y轴对称，y轴就是它的对称轴.
新知探究
2
4
-2
-4
O
3
6
9
x
y
当x<0 (在对称轴的左侧)时,
y随着x的增大而减小.
当x>0 (在对称轴的左侧)时,
y随着x的增大而增大.
抛物线 与x轴有一个交点，是原点（0，0）
对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点.
图象最低点.
归纳总结：
新知探究
2
4
-2
-4
O
3
6
9
x
y
表达式
开口
对称轴
顶点
最值
增减性 x>0
x<0
向上
y轴
(0,0)
当x=0时，
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
新知探究
二次函数y=-x2的图象是什么形状？先想一想，然后画出它的图象．它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与同伴进行交流.
做一做：
x
-3
-9
-2
-4
-1
-1
0
0
1
-1
2
-4
3
-9
（1）列表：
2
4
-2
-4
0
-3
-6
-9
x
y
新知探究
（2）描点
（3）连线
新知探究
表达式
开口
对称轴
顶点
最值
增减性 x>0
x<0
向下
y轴
(0,0)
当x=0时，
y随x的增大而减小
y随x的增大而增大
2
4
-2
-4
0
-3
-6
-9
x
y
图象
开口 方向
对称性 顶点 最值
增减性
开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
y
O
x
y
O
x
新知探究
归纳总结：
课堂小结
二次函数
y = x2 和y=－x2
图象与性质
图象
抛物线
轴对称图形
性质
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
画法
描点法
描点
列表
连线
课堂训练
1. 两条抛物线 y=与 y=- 在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（　　）
A. 顶点坐标均为 (0，0) B. 对称轴均为 x = 0
C. 开口都向上 D. 都有 (0，0) 处取最值
C
2.下列图象中可能是二次函数y＝x2的图象的是( )
A
课堂训练
3. 已知A(m，a)和B(n，a)两点都在抛物线y＝-x2上，则m，n之间的关系正确的是(　　)
A．m＝n　　　　　B．m＋n＝0
C．m＋n>0 D．m＋n<0
B
4. 若点A(-3,y1),B(-2,y2)是二次函数y=x2图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是_____________.
y1＞y2
课堂训练
5.已知点A(-4,m)在二次函数 y = x2上
(1)求m的值.
(2)点B(4,m)在此抛物线上吗？
解：∵点A(-4,m)在二次函数 y = x2上，
∴m = （-4）2 =16.
解：由（1）得m=16，∴点B(4,16).
把x=4 代入y = x2，得y =42 =16.
∴点B(4,m)在此抛物线上.
课堂训练
6. 已知二次函数 y = x2，当 x≥ m 时，y 最小值为 0，求实数 m 的取值范围．
解：∵二次函数 y = x2，
∴当 x = 0时，y 有最小值，且 y最小值 = 0.
∵当 x ≥m 时，y最小值 = 0，
∴ m ≤ 0．
课堂训练
7.已知点(－3，y1)，(1，y2)，( ，y3)都在函数 y＝x2 的图象上，则 y1、y2、y3 的大小关系是__________．
解：方法一：把 x＝－3，1， 分别代入 y＝x2 中，
得 y1＝9，y2＝1，y3＝2，则 y1 > y3 > y2；
方法二：如图，作出函数 y＝x2 的图象，
把各点依次在函数图象上标出．
由图象可知 y1 > y3 > y2；
y1 > y3 > y2
课堂训练
方法三：∵在对称轴的右边，y 随 x 的增大而增大，
而点(－3，y1)关于 y 轴的对称点为(3，y1)．
又∵3> >1，
∴y1 > y3 > y2.