2.1二次函数 课件 (共21张PPT)2024-2025学年数学北师大版九年级下册

(共21张PPT)
第二章　二次函数　
1 二次函数 　
北师大版-数学-九年级下册
学习目标
【重点】理解并掌握二次函数的概念和一般形式.
【难点】会列二次函数表达式解决实际问题.
1．探索并归纳二次函数的定义．
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系.
新课导入
雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？
新知探究
问题1： 某果园有 100 棵橙子树，每一棵树平均结 600 个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橙子.
(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
解：多种的橙子树的棵数和少结的橙子个数是变量.其中多种的橙子树的棵数是自变量，少结的橙子个数是因变量.
知识点 二次函数的定义
1
新知探究
(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有__________棵橙子树，
这时平均每棵树结_____________个橙子.
(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么y与x之间的关系式为：____________________________________________.
果园原来有100棵
（100+x）
（600-5x）
y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60000
橙子总产量＝每棵树的产量×橙子树的数量
新知探究
做一做： 银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.
问题2：设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税).
解：依题意得，
一年后的本息和为：
两年后本息和为 ：
所以，y 与x的关系式为：
化简为：
y=100x +200x+100
新知探究
观察两个函数表达式的共同点:
（1）y=-5x2+100x+60000；
（2）y=100x2+200x+100.
(1) 函数表达式中的各项都是整式；
(2) 函数自变量的最高次为2次；
(3) 可以化成y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的形式.
新知探究
二次函数的定义：
一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的形式，则称y是x的二次函数.
a为二次项系数，ax2叫做二次项；
b为一次项系数，bx叫做一次项；
c为常数项.
归纳总结：
若 b=0， 可以写成__________________;
若 c=0， 可以写成__________________;
若b=0且c=0，可以写成__________________.
y=ax +c
y=ax +bx
y=ax
二次函数的一般形式：
y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
二次函数的特殊形式：
新知探究
课堂小结
温馨提示：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；
（2）a，b，c为常数，且a≠0;
（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常 数项，但不能没有二次项.
例
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？
解：
（1）由题可知
解得
（2）由题可知
解得
m=3.
注意： 第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.
新知探究
典型例题：
新知探究
随堂练习：
1.下列函数中,哪些是二次函数
是
不是
是
不是
新知探究
2.把下列函数化成一元二次函数的一般式.
(1)y=(x-2)(x-3);
(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2;
(3)y=-2(x+3)2.
解：(1)y=(x-2)(x-3)=x2-5x+6;
(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2=-x2+4x-6;
(3)y=-2(x+3)2=-2x2-12x-18.
新知探究
知识点 二次函数的自变量取值范围
2
问题3：问题1、问题2中的两个函数的自变量的取值范围是什么？
y= (100+x)(600-5x)
=-5x +100x+60000
y=100(x+1)
=100x +200x+100
①∵600-5x>0，x＞0，
∴0≤x<120，且x为整数.
②x>0.
新知探究
问题4：两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数之积y的关系式吗
问题5：已知矩形的周长为40 cm, 你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗
知识点 用二次函数表示各量之间的关系
3
解：y=x(20-x)=-x2+20x.
解：设矩形的一边长为xcm，面积为ycm2 ，则另一边长为(20-x)cm，
根据题意得 y=x(20-x)=-x2+20x.
新知探究
归纳总结：
【意义】同一个函数可以表达不同的实际意义
【自变量】1.在一般情况下，二次函数自变量的取值范围是全体；
2.在实际问题中，自变量的取值要使实际问题有意义.
课堂小结
二次函数
定 义
y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数）
一般形式
右边是整式；
自变量的指数是2；
二次项系数a ≠0.
特殊形式
y=ax2；
y=ax2+bx；
y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数）.
课堂训练
1.（2023北京）下列函数中，y是x的二次函数的是（ ）
A.y=ax2+bx+c B．y＝2x C．y＝x+1 D．y＝－3x2
2. 已知二次函数y＝1－3x＋5x2，则它的二次项系数a，
一次项系数b，常数项c分别是(　　)
A．a＝1，b＝－3，c＝5 B．a＝1，b＝3，c＝5
C．a＝5，b＝3，c＝1 D．a＝5，b＝－3，c＝1
D
D
课堂训练
3.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( )
A . m,n是常数,且m≠0 B . m,n是常数,且n≠0
C. m,n是常数,且m≠n D . m,n为任何实数
4. 一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x两年后这台
机器的价格为y万元，则y与x之间的函数表达式为(　　)
A．y＝60(1－x)2 B．y＝60(1－x)
C．y＝60－x2 D．y＝60(1＋x)2
C
A
课堂训练
5. 已知函数 y = 3x2m-1－5.
① 当m =＿＿时，y 是关于 x 的一次函数；
② 当 m =＿＿时，y 是关于 x 的二次函数.
1
课堂训练
6.矩形的周长为16cm,它的一边长为x cm,面积为y cm2.
求：
（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）当x=3时矩形的面积.
解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)；
(2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 (cm2 ).