2.2.2二次函数y =a x2 和 y =ax2+c的图象与性质 课件 (共24张PPT)2024-2025学年数学北师大版九年级下册

(共24张PPT)
第二章　二次函数　
2 二次函数的图象与性质 　
北师大版-数学-九年级下册
第2课时 二次函数y =ax2 和 y =ax2+c的图象与性质 　
学习目标
【重点】会画y=ax2和y=ax2+c（a≠0）的图象，掌握两者之间的联系.
【难点】灵活运用y=ax2和y=ax2+c（a≠0）的图象，体会数与形的相互联系.
1.会画二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c(a≠0)的图象.
2.掌握二次函数y＝ax2与y＝ax2＋c(a≠0)图象之间的联系.
3.能灵活运用二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c(a≠0)的知识解决问题．
　　　　　　　　　　　　　　　
新课导入
回顾二次函数
y=x 和y=-x 的
图象和性质：
图象
开口 方向
对称性 顶点 最值
增减性
开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
y
O
x
y
O
x
思考：有没有其他形式的二次函数？
新知探究
画二次函数 的图象
（1）列表：观察 的表达式，选择适当的x值， 并计算相应的y值，完成下表：
知识点 二次函数y=ax2的图象与性质
1
x
4.5
2
0.5
0
0
0.5
0.5
1
2
1.5
4.5
-0.5
-1
-1.5
新知探究
（2）描点：在直角坐标系中描点.
（3）连线：用光滑的曲线顺次连接各点，便得到 y = 2x2 的图象．
2
4
-2
-4
O
3
6
9
x
y
新知探究
对于二次函数 y = 2x2 的图象，
（1）二次函数 y = 2x2 的图象的形状是什么？
二次函数y=2x2的图象是一条抛物线，
并且抛物线开口向上.
（3）图象的顶点坐标是什么？
图象的顶点坐标是(0，0).
2
4
-2
-4
O
3
6
9
x
y
（2）图象的对称轴是什么？
它的对称轴是y轴.
新知探究
（4）当 x<0 时，随着 x 值的增大，y 值如何变化？
当 x > 0 时呢？
当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大.
（5）当 x 取何值时，y 的值最小？
最小值是什么？
当x=0时, y的值最小，最小值是0.
2
4
-2
-4
O
3
6
9
x
y
新知探究
表达式
开口
对称轴
顶点
最值
增减性 x>0
x<0
向上
y轴
(0,0)
当x=0时，
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
2
4
-2
-4
O
3
6
9
x
y
新知探究
在同一直角坐标系中，画出二次函数 ，y =x2，y =2x2的图象.它们的图象有什么相同和不同？
想一想：
x ··· -2 0000 ······
··· ···
y =x2 ··· ···
y =2x2 ··· ···
2
4
0.5
1
0
0
0.5
1
2
4
（1）列表
-2
-1
0
1
2
8
2
0
2
8
新知探究
（2）描点
（3）连线
y =x2
y=2x2
1.开口都向上，对称轴都是y轴.
2.当x<0时，y随x增大而减小；
当x>0时，y随x增大而增大.
3.顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最低点.
相同点：
不同点：
开口大小不同， 抛物线的开口最大，
y=2x2抛物线的开口最小．
新知探究
在同一直角坐标系中，画出二次函数 y = x2，y =-x2，y =-2x2的图象如图，观察其开口大小与a的绝对值有什么关系？
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,|a|越大，开口越小.
新知探究
在同一直角坐标系中，画出y=2x2+1 ，y=2x2-1的图象.
（1）列表
知识点 二次函数y=ax2+c的图象与性质
2
x ··· －2 －1.5 －1 0 1 1.5 2 ···
y = 2x2＋1 ··· ···
y = 2x2－1 ··· ···
9
5.5
3
1
3
5.5
9
7
3.5
1
－1
1
3.5
7
（2）描点
（3）连线
新知探究
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
1.二次函数 ， 的图象与二次函数 的图象有什么关系？
二次函数y = 2x2向上平移一个单位长度，就得二次函数 y = 2x2+1；向下平移一个单位长度，就得二次函数 y = 2x2-1.
新知探究
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
表达式 开口 对称轴 顶点 最值 增减性 x>0 x<0
向上
y轴
(0,0)
y随x的增
大而增大
y随x的增
大而减小
当x=0时，
向上
y轴
(0,1)
当x=0时，
y随x的增
大而增大
y随x的增
大而减小
向上
y轴
(0,-1)
当x=0时，
y随x的增
大而增大
y随x的增
大而减小
2.它们的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性分别是什么呢？
新知探究
归纳总结：
二次函数 与 的图象的关系：
二次函数 的图象可以由 的图象平移得到：
当c > 0时,向上平移c个单位长度得到.
当c < 0时,向下平移 -c个单位长度得到.
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
新知探究
归纳总结：
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2 +c(a>0)
y=ax2 +c(a<0)
（0，c）
（0，c）
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
当c>0时,在x轴的上方(经过一,二象限);当c<0时,与x轴相交(经过一二三四象限).
当c<0时,在x轴的下方(经过三,四象限);当c>0时,与x轴相交(经过一二三四象限).
向上
向下
当x=0时,y的最小值为c.
当x=0时,y的最大值为c.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
课堂小结
二次函数y=ax2+c的图象及性质
图象及性质
与 y=ax2的联系
对于抛物线 y = ax 2+c （a＞0）,开口向上，对称轴为 y轴，顶点坐标为（0，c），
当x＞0时，y随x取值的增大而增大；
当x<0时，y随x取值的增大而减小.
对于抛物线 y = ax 2 +c（a＜0），开口向下，对称轴为 y轴，顶点坐标为（0，c），
当x＞0时，y随x取值的增大而减小；
当x<0时，y随x取值的增大而增大.
二次函数y=ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象沿y轴上、下平移得到.c为正向上平移；c为负向下平移.
课堂训练
1.（2023 安徽）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（　　）
A．y=x2+1 B．y=-x2+1
C．y=2x+1 D．y=-2x+1
D
2. （2023 金山区二模）抛物线y＝ x2+1在y轴的右侧呈 趋势（填“上升”或者“下降”）．
下降
课堂训练
3. （2023 凤城模拟）在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax与二次函数y=ax2+a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
C
课堂训练
4. 在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝－2x2和y3＝ x2的图象，正确的是图中的(　　)
D
课堂训练
5. （2023 延安一模）如图是四个二次函数的图象，则a、b、c、d的大小关系为（　　)
A．d＜c＜a＜b B．d＜c＜b＜a
C．c＜d＜a＜b D．c＜d＜b＜a
B
课堂训练
6.（2023秋 西华县月考）正方形OAMN的顶点M恰好在函数y=mx2（m＞0）的图象上，若正方形OAMN的边长为，且边OA与x轴的正半轴的夹角为15°，则m的值为（　　）
A． B． C． D．3
C
课堂训练
7.（2023 长春一模）如图，正方形ABCD、CEFG的顶点D、F都在抛物线y=- x2上，点B、C、E均在y轴上．若点O是BC边的中点，则正方形CEFG的边长为 ．
1+
课堂训练
8. （2023 迁安市模拟）已知二次函数y=ax2，当x=3时，y=3．
（1）求当x=-2时，y的值．
（2）写出它的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向．
解：（1）把x=3，y=3代入y=ax2，得a×(32)=3.解得a=.
∴这个二次函数的表达式为y=x2.当x=-2时，y=×（-2）2=.
（2）∵y=x2，a=＞0，
∴图象开口向上；对称轴是直线x=0，顶点坐标是（0，0）．