2.2.3二次函数y = a(x-h)2和 y =a(x-h)2+k的图象与性质 课件 (共22张PPT)2024-2025学年数学北师大版九年级下册

(共22张PPT)
第二章　二次函数　
2 二次函数的图象与性质 　
北师大版-数学-九年级下册
第3课时 二次函数y = a(x-h)2 和 y =a(x-h)2+k的图象与性质 　
学习目标
【重点】会画y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k（a≠0）的图象，理解其性质.
【难点】掌握y=ax2，y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k（a≠0）之间的联系.
1.会画二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k (a≠0)的图象.
2.理解二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k (a≠0)的性质.
3.掌握二次函数y=ax2，y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k (a≠0)之间的联系．
新课导入
二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象有什么关系？
二次函数y=ax2+c的图象可以由y=ax2的图象平移得到：
当c > 0时,向上平移c个单位长度得到.
当c < 0时,向下平移 |c|个单位长度得到.
二次函数 y = a(x-h)2 的图象是否可以由 y = ax2 平移得到？
新知探究
画二次函数y=2(x-1)2的图象
（1）完成下表：
知识点 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
1
x -4-4
-4
50
-2
-1
0
1
2
3
-3
4
0
2
8
18
32
2
8
18
32
0
2
8
18
2
8
18
32
观察上表，你能发现2(x-1) 与2x 的值有什么关系？
新知探究
（2）画出y=2(x-1) 的图象.你是怎么画的？与同伴进行交流.
2
4
-2
-4
0
3
6
9
x
y
新知探究
议一议：
（1）二次函数y=2(x-1) 的图象与二次函数 y=2x 的图象有什么关系？
二次函数y=2(x-1) 的图象可由二次函数 y=2x 的图象向右平移一个单位长度得到
2
4
-2
-4
0
3
6
9
x
y
（2）它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
开口方向向上，对称轴是直线x=1，顶点坐标是（1，0）
新知探究
（3）当 x 取哪些值时，y 的值随 x 值的增大而增大？当 x 取哪些值时，y 的值随 x 值的增大而减小？
当 x ＞1时，y 的值随 x 值的增大而增大；当 x ＜1时，y 的值随 x 值的增大而减小.
2
4
-2
-4
0
3
6
9
x
y
x>1
x<1
新知探究
类似地，你能发现二次函数y=2(x+1) 的图象与二次函数y=2x 的图象有什么关系吗？
将二次函数y=2(x+1) 的图象与二次函数y=2x ，y=2(x-1) 的图象画在同一个平面坐标系中，如图.
2
4
-2
-4
0
3
6
9
x
y
y=2x
向左平移一个单位长度
向右平移一个单位长度
y=2(x-1)
y=2(x+1)
易得：
新知探究
图象性质：
表达式 开口 对称轴 顶点 最值
向上
x=0
(0,0)
当x=0时，
向上
x=-1
(-1,0)
当x=-1时，
向上
x=1
(1,0)
当x=1时，
2
4
-2
-4
0
3
6
9
x
y
新知探究
归纳总结：
y=a(x-h)2
当h>0时，向右平移h个单位长度;
当h<0时，向左平移|h|个单位长度.
二次函数 的图象与 的图象的关系：
y=ax2
左右平移规律：
括号内左加右减；括号外不变.
新知探究
开口 对称轴 顶点 最值 增减性 x>h xa>0
a<0
向上
x=h
(h,0)
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
当x=h时，
向下
x=h
(h,0)
当x=h时，
二次函数y=a(x-h)2的图象与性质:
y随x的增大而减小
y随x的增大而增大
新知探究
随堂练习：
1. 把抛物线 y = -3x2 沿着 x 轴方向平移 2 个单位长度，那么平移后抛物线的表达式是 .
2. 二次函数 y = 2(x - )2 图象的对称轴是直线_______，顶点坐标是 .
y = -3(x+2)2 或y = -3(x-2)2
x=
新知探究
由二次函数y=2x2的图象，你能得到二次函数的图象吗？你是怎样得到的？与同伴进行交流.
知识点 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
2
方法一:函数y=2x2先向左平移3个单位长度，再向下平移个单位长度.
方法二:函数y=2x2先向下平移个单位长度，再向左平移3个单位长度.
新知探究
y=a(x-h)2+k 开口 对称轴 顶点 最值 增减性 x>h xa>0
a<0
向上
x=h
(h,k)
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
当x=h时，
向下
x=h
(h,k)
当x=h时，
二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质:
y随x的增大而减小
y随x的增大而增大
新知探究
归纳总结：
一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a (x-h)2+k的图象.因此，二次函数y=a (x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标如下表所示：
开口方向 对称轴 顶点坐标
y=a (x-h)2+k 向上a>0 直线x=h （h,k）
向下a<0 课堂小结
当 a>0,开口向上；当 a<0,开口向下.
对称轴是 x = h,
顶点坐标是(h,k).
左右平移：括号内左加右减；
上下平移：括号外上加下减.
一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k 与y = ax2 形状相同，位置不同.
二次函数
y = a(x-h)2+k 图象与性质
图象特点
平移规律
课堂训练
1. （2023 海陵区校级二模）已知点A（a,2），B（b,6），C（c,d）都在抛物线y=（x-1）2-2上，d＜1．下列选项正确的是（　　）
A．若a＜0，b＜0，则b＜c＜a
B．若a＞0，b＜0．则b＜a＜c
C．若a＜0，b＞0，则a＜c＜b
D．若a＞0，b＞0，则c＜b＜a
C
课堂训练
2.（2023 雁塔区一模）对于二次函数y=-4（x+6）2-5的图象，下列说法正确的是（　　）
A．图象与y轴交点的坐标是（0，5）
B．对称轴是直线x=6
C．顶点坐标为（-6，5）
D．当x＜-6时，y随x的增大而增大
D
课堂训练
3. （2023 立山区一模）二次函数y=a（x-2）2+c与一次函数y=cx+a在同一坐标系中的大致图象是（　　）
B
A B C D
课堂训练
5.（2023秋 西华县月考）将二次函数y=3（x-1）2+2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的图象对应的表达式是 ．
4. （2023 宿豫区三模）抛物线y=（x-4）2+5的顶点坐标是 ．
（4，5）
y=3（x-3）2-1
课堂训练
6. （2023秋 朝阳区校级月考）已知二次函数y=-(x+1)2+4．
（1）在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象；
解：抛物线y=-(x+1)2+4的顶点坐标为(-1，4)，当x=0时，y=-(x+1)2+4=3，则抛物线与y轴的交点坐标为(0,3);
根据对称轴为直线x=-1，得抛物线必过点(-2,3)，
当y=0时，-(x+1)2+4=0.解得x1=1，x2=-3.则抛物线与x轴的交点坐标为(-3,0)，(1,0).
过以上五点描点、连线作出抛物线，如图.
课堂训练
（2）当-3≤x≤0时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
解：当-3≤x≤0时，0≤y≤4．