2.3 确定二次函数的表达式 课件(共24张PPT) 2024-2025学年数学北师大版九年级下册

(共24张PPT)
第二章　二次函数　
3 确定二次函数的表达式 　
北师大版-数学-九年级下册
学习目标
1.掌握用顶点法求二次函数的表达式.
2.掌握用交点法求二次函数的表达式.
3.掌握用一般式法求二次函数的表达式.
【重点】通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究，掌握求表达式的方法.
【难点】能灵活根据条件恰当地选择表达式，体会二次函数表达式之间的转化.
新课导入
1. 一次函数 y = kx+b (k≠0) 有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？
2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
(1)设：（表达式）
(2)列：（坐标代入，列方程或方程组）
(3)解：（解方程或方程组）
(4)还原：（写表达式）
待定系数法：
2个.2个
新知探究
问题1 已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图象经过点(－2，8)
和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．
知识点 特殊条件的二次函数的表达式
1
解:∵该图象经过点（-2,8）和（-1,5），
8=4a-2b，
5=a-b，
∴
解得a=-1,b=-6.
∴这个二次函数的表达式为 y=-x2-6x.
{
总结：当没有c（c=0）时,图象经过原点
新知探究
问题2 已知二次函数y＝ax2 ＋ c的图象经过点(2,3)和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式．
∴
解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，
3=4a+c，
－3=a+c，
∴这个二次函数的表达式为 y=2x2－5.
a=2，
c=－5.
解得
{
{
总结：当没有b（b=0）时,图象关于y轴对称
新知探究
问题3 已知抛物线的顶点坐标为(4，-1)，与y轴交于点
(0，3)，求这条抛物线的表达式.
知识点 顶点法求二次函数的表达式
2
提示：若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式y＝a(x-h)2＋k (a≠0).
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.
新知探究
解：依题意设y＝a(x-h)2＋k ，将顶点(4，-1)及交点(0，3)代入y＝a(x-h)2＋k ，得3=a(0-4)2-1.解得a= .
∴这条抛物线的表达式为y=(x-4)2-1.
新知探究
顶点法求二次函数的方法：
归纳总结：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
新知探究
问题4 已知某一抛物线经过点（-3，0），（-1，0），（0，-3），求这条抛物线的表达式.
知识点 交点法求二次函数的表达式
3
提示：根据抛物线与x轴的交点（x1，0）（x2，0），可设为二次函数的交点式，即y=a(x-x1)(x-x2).
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
新知探究
解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2)(其中x1、x2为交点的横坐标）.
因此，得y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式，得
a(0+3)(0+1)=-3.解得a=-1.
∴这条抛物线的表达式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
新知探究
交点法求二次函数表达式的方法：
归纳总结：
①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
新知探究
在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就可以确定它的表达式？
1.用顶点式y=a(x－h)2+k时，知道顶点（h,k）和图象上的另一点坐标,就可以确定这个二次函数的表达式.
2.用交点式y=a(x-x1)(x-x2)时，抛物线与x轴交点的横坐标x1,x2,就可以确定这个二次函数的表达式.
3.用一般式y=ax +bx+c时，如果系数a,b,c中有两个是未知的，知道图象上两个点的坐标，也可以确定这个二次函数的表达式.
新知探究
知识点 一般式法求二次函数的表达式
4
思考： 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有 个待定系数？需要 个抛物线上的点的坐标才能求出来？
3
3
问题5 已知二次函数的图象经过(-1,10)，(1,4)，(2,7)三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标.
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
提示：已知抛物线上三个点的坐标，可设为二次函数的一般式：y=ax2+bx+c(a≠0).
新知探究
解：设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.
将三点(-1,10)，(1,4)，(2,7)的坐标分别代入表达式，得解这个方程组，得
∴这个二次函数的表达式为y=2x2-3x+5.
∵y=2x2-3x+5=2（x-）2+ ， ∴对称轴为直线x ，顶点坐标为（，）.
新知探究
一般式法求二次函数表达式的方法：
归纳总结：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
新知探究
一个函数的图象经过点A(0,1)，B(1,2)，C(2,1)，你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？与同伴进行交流.
议一议：
解：由对称性可知顶点坐标为B(1,2)，
∴设二次函数的表达式为y=a（x-1）2+2.
将A(0,1)的坐标代入表达式，得1=a（0-1）2+2.
解得a=-1.
∴所求二次函数的表达式为y=-1（x-1）2+2.
方法一：
新知探究
解：设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.
将点A(0,1)，B(1,2)，C(2,1)的坐标分别代入表达式，得解这个方程组，得
∴这个二次函数的表达式为y=-x2+4x+1.
方法二：
课堂小结
①已知三点坐标
②已知顶点坐标或对称轴或最值
已知条件
所选方法
用一般式法：y=ax2+bx+c
用顶点法：y=a(x－h)2+k
用交点法：y=a(x－x1)(x－x2)
(x1, x2为交点的横坐标）
待定系数法
求二次函数表达式
③已知抛物线与x轴的两个交点
课堂训练
1. （2023秋 万宁期中）如图的抛物线的表达式为（　　）
A．y=x2-1 B．y=x2+1
C．y=（x-1）2 D．y=（x+1）2
C
课堂训练
2.（2023秋 朝阳区校级月考）二次函数y=x2-2mx+5m的图象经过点（1，-2）．其表达式为 ．
3.（2023秋 包河区月考）已知二次函数的图象经过点（1，-4），且顶点坐标为（-1，0），则二次函数的表达式为 ．
y=x2+2x-5
y=-x2-2x-1
课堂训练
4. （2023秋 唐山月考）形状与抛物线y=-x2-2相同，对称轴是直线x=-2，且过点（0，3）的抛物线是（　　）
A．y=x2+4x+3
B．y=-x2-4x+3
C．y=-x2+4x+3
D．y=x2+4x+3或y=-x2-4x+3
D
课堂训练
5.（2023秋 余杭区月考）已知二次函数的图象如图所示，则它的表达式可能是（　　）
A．y=-4(x-m)2-m2-2 B．y=-(x+a)(x-a+1)
C．y=-x2-(a+3)x+( a) D．y=ax2-bx+b-a
C
课堂训练
6. （2023 宁波）如图，已知二次函数y=x2+bx+c图象经过点A（1，-2）和B（0，-5）．
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
（2）当y≤-2时，请根据图象直接写出x的取值范围．
课堂训练
解：（1）把A（1，-2）和B（0，-5）代入y=x2+bx+c，得解得
∴二次函数的表达式为y=x2+2x-5.
∵y=x2+2x-5=（x+1）2-6，
∴顶点坐标为（-1，-6）.
（2）如图：
∵点A（1，-2）关于对称轴直线x=-1的对称点C（-3，-2），
∴当y≤-2时，x的范围是-3≤x≤1．