2.4.1面积最值与抛物线型问题 课件 (共27张PPT)2024-2025学年数学北师大版九年级下册

(共27张PPT)
第二章　二次函数　
4 二次函数的应用 　
北师大版-数学-九年级下册
第1课时 面积最值与抛物线型问题 　
学习目标
1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.
2.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.
3.会运用二次函数解决抛物线型问题.
【重点】能根据实际问题列出函数关系式，并根据问题的实际情况确定自变量取何值时，函数取得最值.
【难点】通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，在解决问题的过程中体会数形结合思想．
新课导入
想一想：如何求出二次函数 y = ax2 + bx + c 的最小（大）值？
抛物线y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，当x=时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值y=.
新知探究
知识点 求二次函数的最大值与最小值
1
问题1 根据自变量的取值范围求出二次函数 y = ax2 + bx + c 的最小（大）值.
（1）当自变量的取值范围是全体实数时，
解:若a＞0，则在顶点处取得最小值，此时不存在最大值；
若a＜0，则在顶点处取得最大值，此时不存在最小值．
新知探究
（2）当自变量的取值范围是x1≤x≤x2时，
解:ⅰ若在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，
最大值与最小值同时存在，
如图①，当a＞0时， 最小值在x＝处取得，
最大值为函数在x＝x1，x＝x2时的较大的函数值；
当a＜0时，最大值在x＝处取得，
最小值为函数在x＝x1，x＝x2时的较小的函数值.
新知探究
ⅱ若不在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，最大值和最小值同时存在，且在x＝x1，x＝x2时的函数值中，较大的为最大值，较小的为最小值，如图②.
新知探究
问题2 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和CD分别在两直角边上.
(1)如果设矩形的一边AB=xm，那么AD边的长度如何表示？
知识点 用二次函数求几何图形的最大面积
2
提示：思考△CBF与△EAF有什么关系？有何启发？
F
E
A
C
D
40m
30m
B
新知探究
解:∵AB=x,则BF=40-x.
∵BC∥AD,
∴△BCF∽△AEF.
∴=,即=.
∴BC=AD=(40-x).
F
E
A
C
D
40m
30m
B
x
40-x
新知探究
(2)设矩形的面积为ym ，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
F
E
A
C
D
40m
30m
B
x
40-x
解:由面积公式易得：y=AD AB=(40-x) x,
即y=-+30x=-+300(0＜x＜40).
∴当x=20时，y的值最大，最大值是300.
即当AB=20m时，矩形的面积最大，
最大值是300m .
新知探究
在上面的问题中，如果把矩形改为如图所示的位置,其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？
议一议：
提示：类比原题的方法，思考能否利用相似表示AD？
A
C
D
40m
30m
B
O
F
E
新知探究
解：过点O作OM⊥EF于点M，交AD于点N，由勾股定理易得EF=50m，由等面积法可得OM=24m.
设AB=x，则MN=AB=x，ON=OM-MN=24-x.
由△AOD∽△FOE，得= ,
即=∴AD=50-x.
易得y=AD AB=(50-x) x=-(x-12)2+300.
∴当AB=12m时，矩形的面积最大，
最大值是300m .
A
C
D
40m
30m
B
O
F
E
∟
∟
M
N
新知探究
例1 某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时，窗户通过的光线最多？(结果精确到0.01m)此时，窗户的面积是多少？(结果精确到0.01m2)
解：∵7x+4y+πx=15,
∴0＜x＜1.48.
x
x
y
注意：利用二次函数解决实际问题，必须求出自变量取值范围.
新知探究
设窗户的面积是S m2, 则
因此，当x约为1.07m时，窗户通过的光线最多.此时，窗户的面积约为4.02 m2.
新知探究
二次函数解决几何面积最值问题的方法:
归纳总结：
①求出函数表达式和自变量的取值范围；
②配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值;
③检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值，使之必须在自变量的取值范围内.
新知探究
知识点 利用二次函数解决抛物线型问题
3
问题3 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长是8米，
宽是2米，抛物线可以用y=-x2+4表示.
(1)一辆货运卡车高4米，宽2米，它能通过该隧道吗？
(2)如果该隧道内设双向车道，那么这辆货运
卡车是否可以通过？
2
4
-2
-4
o
3
x
y
新知探究
(2)由(1)，得当y=2时,x=,
∵＞2，∴这两货运卡车能通过.
2
4
-2
-4
o
3
x
y
解：(1)把y=4-2=2代入y=-x2+4，得2=-x2+4.
解得x=，则此时可通过货运卡车的宽度为米.
∴高4米，宽2米的卡车能通过该隧道.
新知探究
问题4 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？
提示：将实际问题转化为数学问题，先建立适当的坐标系求出这条抛物线表示的二次函数，再根据二次函数的图象进行解题.
新知探究
1
-2
-1
2
3
y
O
-1
-2
1
2
x
解: 建立如图所示的平面直角坐标系，
设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2.
由抛物线经过点（2，-2），可得-2=a×22.
解得a= .
∴这条抛物线表示的二次函数为y= x2.
当水面下降1m时，水面的纵坐标为y=-3，
这时有-3= x2，解得x=± .
∴这时水面宽度为 m.
答：当水面下降1m时，水面宽度增加 m.
新知探究
抛物线型问题的一般解题步骤：
归纳总结：
①建立适当的平面直角系，并将已知条件转化为点的坐标；
②合理地设出所求的函数的表达式，并代入已知条件或点的坐标，求出关系式；
③利用关系式求解实际问题.
课堂小结
几何面积最值问题
关键
注意
（二次函数的图象和性质）
转化
回归
（实物中的抛物线型问题）
实际问题
数学模型
常见几何图形的面积公式
依 据
建立函数关系式
最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定
课堂小结
抛物线型问题
建立恰当的直角坐标系
能够将实际距离准确的转化为点的坐标；
选择运算简便的方法.
转化关键
课堂训练
1.（2023秋 瑞安市月考）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=-2x+80．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（　　）
A．w=(x-30)(-2x+80) B．w=x(-2x+80)
C．w=30(-2x+80) D．w=x(-2x+50)
A
课堂训练
2.（2023 老河口市模拟）在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用24m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，则矩形花园ABCD的最大面积为 m2．
3.（2023秋 沙市区期中）汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数表达式是s=15t-6t2，汽车刹车后到停下来，所需的时间为 ．（单位：s）
144
1.25
课堂训练
4. （2023 原平市一模）在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系y=-x2+x+，则小康这次实心球训练的成绩为（　　）
A．14米 B．12米 C．11米 D．10米
B
课堂训练
5.（2023秋 西青区期中）如图所示是抛物线型的拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米，如果水面宽为2米，则水面下降（　　）米．
A．1米 B．2米 C．3米 D．10米
A
课堂训练
6. （2023秋 古冶区期中）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米，若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．
课堂训练
解：设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边长为30-2x米.
根据题意，得S=x（30-2x）=-2x2+30x=-2（x-）2+，
8≤30-2x≤18.
解得6≤x≤11.
∴当x＞时，S随x的增大而减小，
∴当x=7.5时，S最大值=；当x=11时，S最小值=11×（30-22）=88．