2.4.2最大利润问题 课件(共25张PPT)2024-2025学年数学北师大版九年级下册

(共25张PPT)
第二章　二次函数　
4 二次函数的应用 　
北师大版-数学-九年级下册
第2课时 最大利润问题 　
学习目标
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.
2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.
【重点】应用二次函数解决实际问题中的最值问题.
【难点】能正确分析和把握实际问题的数量关系，确定自变量的取值范围，得到函数关系，再求最值.
新课导入
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.
如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
新知探究
知识点 利润问题中的数量关系
1
问题1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元.
18000
6000
新知探究
销售问题中常用的数量关系：
（1）销售额=售价×销售量;
（2）总利润=销售额-总成本=单件利润×销售量;
（3）单件利润=售价-进价.
归纳总结：
新知探究
问题2 服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件.
请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？
知识点 如何定价利润最大
2
提示：遇到有关销售利润的问题，常用相等关系是：
销售利润=单件利润×销售量.
新知探究
若设批发单价为x元，则：
单件利润为元，
降价后的销售量为件，
销售利润用y元表示，则.
方法一：
新知探究
解：设厂家批发单价是x元时可以获利最多，最大利润是y元，则.
∵
=-5000+120000x-700000
=-5000+20000, -5000＜0,
∴抛物线有最高点，函数有最大值.
∵10答：厂家批发单价是12元时可以获利最多.
新知探究
若设每件T恤衫降a元，则：
单件利润为元，
降价后的销售量为件，
销售利润用y元表示，则.
方法二：
新知探究
解：设每件T恤衫降a元时可以获利最多,最大利润是y元. 则
.
∵
=-5000+10000a+15000
=-5000+20000, -5000＜0,
∴抛物线有最高点，函数有最大值.∵13-a-10>0 , ∴0≤a<3.
∴当a＝1元时，y最大= 20000元.∴ 13-1=12(元).
答：厂家批发单价是12元时可以获利最多.
新知探究
例 某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元时， 每天都客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？最高总收入是多少？
新知探究
分 析：相等关系是客房日租金的总收入=每间客房日租金×每天客房出租数.
若设每间客房的日租金提高x个10元（即10x元），
则：每天客房出租数会减少6x间，
客房日租金的总收入为y元，
则：.
新知探究
解：设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会减少6x间,设客房日租金总收入为 y元，则
y = (160+10x) (120-6x)
= -60 (x-2)2+ 19440.
∵x≥0，且120－6x＞0，∴0≤x＜20.
当x=2时，y有最大值，且y最大=19440.
这时每间客房的日租金为160+10×2=180(元).
答：每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入最高，最大收入为19440.
新知探究
用二次函数解决最值问题的一般步骤：
归纳总结：
(1)建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”，
(2)结合实际意义，确定自变量的取值范围，
(3)在自变量的取值范围内确定最大利润：运用公式法或通过配方法求出二次函数的最大值或最小值.
新知探究
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵树之间的关系.
(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400以上？
议一议：
分析：果园共有(100+x)棵树，平均每棵树结(600-5x)个橙子.
新知探究
解：（1）依题意可得：y=(100+x)(600-5x)= -5x2+100x+60000.
60375
当x＜10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加；
当x=10时，橙子的总产量最大；
当x大于10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而减少.
新知探究
解：（2）∵600-5x>0，∴0≤x<120，且x为整数.
由（1）中表格和图象观察可知：当6≤x≤14 时，可以使橙子总产量超过60400个.
60375
通过绘制函数图象可以直观看出，果园的树木棵数并不是越多越好，产量的多少取决于科学的计算果树的棵数．
新知探究
归纳总结：
在解决一些二次函数的实际问题时，绘制出图形对于问题的解决至关重要.所以，大家再利用二次函数的知识解决实际问题时，要注意“数形结合”思想的运用.
课堂小结
最大利润问题
建立函数关系式
总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本.
确定自变量取值范围
涨价：要保证销售量≥0；
降件：要保证单件利润≥0.
确定最大利润
利用配方法或公式求最大值或利用函数的图象和性质求出.
课堂训练
1.服装店将进价为100元/件的服装按x元/件出售，每天可销售(200－x)件，若想获得最大利润，则x应定为(　　)
A．150 B．160
C．170 D．180
A
课堂训练
2.（2023秋 津南区期中）某超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查反映：若每千克涨价1元，每天销售量减少20千克，设每千克涨价x（单位：元），且0≤x≤25，每天售出商品的利润为y（单位：元），则y与x的函数关系式是（　　）
A．y=500-20x B．y=(500-20x)(10+x)
C．y=(500+10x)(10-x) D．y=(500-10x)(10+x)
B
课堂训练
3.（2023秋 龙湾区月考）某超市购进一批单价为7元的生活用品，如果按每件10元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为 元时，才能使每天所获销售利润最大．
4.（2023 沈阳模拟）某商场购进一批单价为每件15元的商品，如果以单价每件20元出售，那么每天可销售21件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销量每天相应减少3件，那么每天销售利润最大时，该商场销售一件该种商品所获利润为 元．
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课堂训练
5. （2023 鞍山）网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售荔枝．已知该荔枝的成本为6元/kg,销售价格不高于18元/kg,且每售卖1kg需向网络平台支付2元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x的函数表达式．
课堂训练
解：设每日销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间满足如图所示的一次函数关系为y=kx+b.
∴解得
∴y与x的函数表达式为y=-100x+3000.
课堂训练
（2）当每千克荔枝的销售价格定为多少元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为多少元？
解：设每千克荔枝的销售价格定为x元时，销售这种荔枝日获利为w元.
根据题意，得w=(x-6-2)(-100x+3000)=-100x2+3800x-24000
=-100(x-19)2+12100.∵a=-100＜0，对称轴为x=19，销售价格不高于18元/kg,∴当x=18时，w有最大值为12000元.
∴当每千克荔枝的销售价格定为18元时，
销售这种荔枝日获利最大，最大利润为12000元．