2.5.1二次函数与一元二次方程的关系 课件 (共22张PPT) 2024-2025学年数学北师大版九年级下册

(共22张PPT)
第二章　二次函数　
5 二次函数与一元二次方程 　
北师大版-数学-九年级下册
第1课时 二次函数与一元二次方程的关系 　
学习目标
1.理解二次函数与一元二次方程之间的联系.
2.理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的关系.
3.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.
【重点】经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.
【难点】通过观察二次函数与x 轴交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况.
新课导入
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ =______.
当△﹥0时，方程根的情况是____________________；
当△=0时，方程根的情况是____________________；
当△﹤0时，方程根的情况是______________.
b2-4ac
有两个不等实数根
有两个相等实数根
没有实数根
2、二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)图象是一条___________，它与x轴的交点有几种可能的情况？
抛物线
三种可能：①两个交点 ②一个交点 ③没有交点.
新知探究
知识点 二次函数与一元二次方程的关系
1
二次函数y=x2+2x、y=x2-2x+1、y=x2-2x+2的图象如图所示：
(1)每个图象与x轴有几个交点？
有两个交点；
有一个交点；
没有交点.
y=x2+2x,
y=x2-2x+1,
y=x2-2x+2,
新知探究
(2) 一元二次方程 x2+2x=0, x2-2x+1=0有几个实数根
一元二次方程 x2-2x+2=0 有实数根吗 请分别求出它们的根.
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？
新知探究
1.二次函数y=x2+2x的图象
①图象与x轴有____个交点;
②交点坐标为__________.
一元二次方程x2+2x=0根的情况
①方程有__个_______的实数根;
②方程的根是_____________.
2
(-2,0),(0,0)
2
不相等
x1=-2, x2=0
解：x(x+2)=0
x1=-2，x2=0.
新知探究
2.二次函数y=x2-2x+1的图象
①图象与x轴有____个交点;
②交点坐标为________.
一元二次方程x2-2x+1=0根的情况
①方程有_ 个____ 的实数根;
②方程的根是_________.
1
（1,0）
2
相等
x1=x2=1
解：(x-1)2=0
x1=x2=1.
新知探究
3.二次函数y=x2-2x+2的图象
图象与x轴没有交点.
一元二次方程x2-2x+2=0根的情况
方程没有实数根.
=b2-4ac
=(-2)2-4×1×2
=-4＜0.
新知探究
二次函数图象与x轴的交点坐标
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
x2+2x=0
x2-2x+1=0
x2-2x+2=0
一元二次方程的根
(-2,0),(0,0)
（1,0）
没有交点;
x1=-2, x2=0
x1=x2=1
方程没有实数根.
2个交点;
1个交点;
方程2个不相等实数根;
方程2个相等实数根;
新知探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0的根的关系：
归纳总结：
二次函数y=ax2+bx +c的图象与x轴交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 △=b2-4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根，为交点的横坐标
△ > 0
有一个交点
有两个相等的实数根，为交点的横坐标
△ = 0
没有交点
没有实数根
△ < 0
新知探究
以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20t–5t2 .
你能否解决以下问题:
知识点 运动中的抛物线问题
2
新知探究
解：解方程20t-5t2=15，
t2-4t+3=0，
t1=1，t2=3.
∴当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.
（1）球的飞行高度能否达到 15 m 若能，需要多少时间
y/m
O
t/s
15
1
3
新知探究
解：解方程20t-5t2=20，
t2-4t+4=0，
t1=t2=2.
∴当球飞行2s时，它的高度为20m.
（2）小球的飞行高度能否达到 20 m 若能，需要多少时间
y/m
O
t/s
20
2
新知探究
解：解方程20t-5t2=20.5，
t2-4t+4.1=0.
∵（-4）2-4×4.1<0，
∴球的飞行高度达不到20.5m.
（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？
如果能，需要多少飞行时间？
y/m
O
t/s
20.5
新知探究
解：解方程20t-5t2=0，
t2-4t=0，
t1=0，t2=4.
∴当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，
即小球从飞出到落地要用4秒.
（4）小球从飞出到落地要用多少时间？
y/m
O
t/s
4
新知探究
归纳总结：
已知二次函数y的值为m，求相应自变量x的值，
就是求相应一元二次方程的解.
例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．
反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．
课堂小结
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系
y=ax2+bx+c(a≠0)，当y取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a≠0),右边换成y时就成了二次函数.
二次函数与一元二次方程根的情况
二次函数与x轴的交点个数
判别式 的符号
一元二次方程根的情况
课堂训练
1.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是 (　　)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
A
课堂训练
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2+bx+c=0 的根是（ ）
A.x1=1，x2=-1
B.x1=0，x2=2
C.x1=-1，x2=2
D.x1=1，x2=0
C
课堂训练
3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，____________决定其图象与x轴交点的个数，当b2-4ac____0时，抛物线与x轴有两个交点；当b2-4ac____0时，抛物线与x轴有一个交点，当b2-4ac____0时，抛物线与x轴没有交点.
4.抛物线y=x2-6x+5，与x轴有____个交点，分别是_______ ___.
5.抛物线y=x2-x+5，与x轴_____交点，且图象都位于x轴的_______.
b2-4ac
=
<
两
（1,0）、（5,0）
没有
上方
＞
课堂训练
6. 如图，某学生推铅球，铅球出手（点A处）的高度是0.6m，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高3m时，水平距离x=4m．
(1)求这个二次函数的表达式；
解：(1)设二次函数的表达式为y=a（x-4）2+3.
把（0，0.6）代入，得 0.6=a（0-4）2+3.解得a=-.
∴y=-(x-4)2+3，即这个二次函数的表达式为y=-(x-4)2+3.
课堂训练
（2）该同学把铅球推出去多远？
解：当y=0时，0=-(x-4)2+3.
解得（舍去）.
答：该男同学把铅球推出去()m远.