3.3 垂径定理 课件(共25张PPT)2024-2025学年数学北师大版九年级下册
文档属性
| 名称 | 3.3 垂径定理 课件(共25张PPT)2024-2025学年数学北师大版九年级下册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 701.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-13 21:21:09 | ||
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文档简介
(共25张PPT)
第三章 圆
*3 垂径定理
北师大版-数学-九年级下册
学习目标
1．会运用圆的对称性探究垂径定理，证明垂径定理.
2．掌握垂径定理及其推论，能利用垂径定理及其推论进行相关的
计算和证明.
3．在经历探索与证明垂径定理的过程中，进一步体会和理解研究
几何图形的各种方法.
学习目标
【重点】理解垂径定理及其推论的内容，并会证明，利用垂径定理解决与圆有关的问题.
【难点】利用垂径定理及其推论解决实际问题.
新课导入
你知道赵州桥吗 它是1400多年前我国隋朝建造的石拱桥，它的主桥是圆弧形,它的跨度(即弧所对的弦长)为37.4m, 拱高(即弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出桥拱所在圆的半径吗？
新知探究
知识点 垂径定理及其推论
1
问题：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD丄AB，垂足为M.
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
此图是轴对称图形，其对称轴是直径CD所在的直线.
新知探究
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说
你的理由.
AM=BM，AC=BC，AD=BD.
理由：将图形沿CD折叠后这些量可以完全重合.
⌒ ⌒
⌒ ⌒
新知探究
试一试：能不能用所学过的知识证明你的结论？
已知：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径，并且CD⊥AB，垂足为M. 求证：AM=BM，AC=BC，AD=BD.
证明：连接OA，OB，则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中，∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM，∠AOC=∠BOC.
∴AC=BC.∵∠AOD=180°-∠AOC，∠BOD=180°-∠BOC，∴∠AOD=∠BOD.∴AD=BD.
⌒ ⌒
⌒ ⌒
⌒ ⌒
⌒ ⌒
新知探究
用几何语言表述为：
∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件)
∴ AM=BM，AC=BC,AD=BD.(结论)
⌒ ⌒
⌒ ⌒
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
新知探究
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
C
A
B
O
D
C
新知探究
练一练：判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
D
A
B
O
C
D
E
O
C
D
A
B
O
定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦.
如图，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.
（1）此图是轴对称图形吗 如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
新知探究
C
D
A
B
M
O
此图是轴对称图形，其对称轴是直径CD所在的直线.
直径CD⊥AB，AC=BC，AD=BD.
理由：连接OA，OB，易证△OAM≌△OBM，即可得出上述结论.
⌒ ⌒
⌒ ⌒
新知探究
用几何语言表述为：
∵CD是直径，AE=BE，（条件）
∴ AB⊥CD，AC=BC，AD=BD.（结论）
⌒ ⌒
⌒ ⌒
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
新知探究
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
特别说明：圆的两条直径是互相平分的.
·
O
A
B
C
D
新知探究
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备
（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（不是直径）；
（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论.
归纳总结
新知探究
知识点 垂径定理的应用
2
例 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD,点O是CD所在圆的圆心),其中CD=600m,E为CD上一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
⌒
⌒
⌒
解:连接OC.设弯路的半径为Rm，则OF=（R-90）m.
∵OE⊥CD，∴CF= CD= ×600=300（m）.
在Rt△OCF中，根据勾股定理，得OC =CF +OF ，即R =300 +（R-90） .解这个方程，得R=545.
所以，这段弯路的半径为545m.
新知探究
试一试： 根据所学新知，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗
新知探究
解：∵OD⊥AB，∴AD= AB= ×37.4=18.7（m）.
在Rt△ODA中，OD=（R-7.2）m，OA=Rm，
∴R =（R-7.2） +18.7 .解得R≈27.9.
因此，桥拱所在圆的半径约为27.9m.
新知探究
涉及垂径定理时辅助线的添加方法：
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
O
A
B
C
·
弓形中重要数量关系：
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
d+h=r ，
A
B
C
D
O
h
r
d
垂径定理
推论
内容
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. 知二推三：
①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧
辅助线
两条辅助线：连半径，作弦心距
构造 Rt△ 利用勾股定理计算或建立方程
课堂小结
课堂训练
1．下列说法正确的是( )
A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径的直线平分这条直径
D．弦的垂直平分线经过圆心
D
课堂训练
A．CM＝DM B. CB＝DB
C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MB
2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，
下列结论不成立的是( )
D
⌒
⌒
课堂训练
3.（2023永州）如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10cm,水的最深处到水面AB的距离为4cm,则水面AB的宽度为 cm.
16
课堂训练
4.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为 ，则点P的坐标为________.
(3,2)
课堂训练
5.⊙O的半径为10cm,弦AB∥CD，AB=12cm,CD=16cm,则AB与CD的距离为 ．
14cm或2cm
【提示】由于两弦的位置不确定，因此需要分类讨论．
课堂训练
6.如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=6m，弓形的高EF=2m，现设计安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在⊙O的半径．
解：∵弓形的跨度AB=6m，EF为弓形的高，
∴OE⊥AB于点F.∴AF= AB=3m.
设⊙O的半径为rm，则AO=rm，OF=（r-2）m.
在Rt△AOF中，AO2=AF2+OF2，
即r2=32+（r-2）2，解得r= ．
∴弧AB所在⊙O的半径为 m．
第三章 圆
*3 垂径定理
北师大版-数学-九年级下册
学习目标
1．会运用圆的对称性探究垂径定理，证明垂径定理.
2．掌握垂径定理及其推论，能利用垂径定理及其推论进行相关的
计算和证明.
3．在经历探索与证明垂径定理的过程中，进一步体会和理解研究
几何图形的各种方法.
学习目标
【重点】理解垂径定理及其推论的内容，并会证明，利用垂径定理解决与圆有关的问题.
【难点】利用垂径定理及其推论解决实际问题.
新课导入
你知道赵州桥吗 它是1400多年前我国隋朝建造的石拱桥，它的主桥是圆弧形,它的跨度(即弧所对的弦长)为37.4m, 拱高(即弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出桥拱所在圆的半径吗？
新知探究
知识点 垂径定理及其推论
1
问题：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD丄AB，垂足为M.
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
此图是轴对称图形，其对称轴是直径CD所在的直线.
新知探究
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说
你的理由.
AM=BM，AC=BC，AD=BD.
理由：将图形沿CD折叠后这些量可以完全重合.
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新知探究
试一试：能不能用所学过的知识证明你的结论？
已知：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径，并且CD⊥AB，垂足为M. 求证：AM=BM，AC=BC，AD=BD.
证明：连接OA，OB，则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中，∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM，∠AOC=∠BOC.
∴AC=BC.∵∠AOD=180°-∠AOC，∠BOD=180°-∠BOC，∴∠AOD=∠BOD.∴AD=BD.
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新知探究
用几何语言表述为：
∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件)
∴ AM=BM，AC=BC,AD=BD.(结论)
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垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
新知探究
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
C
A
B
O
D
C
新知探究
练一练：判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
D
A
B
O
C
D
E
O
C
D
A
B
O
定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦.
如图，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.
（1）此图是轴对称图形吗 如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
新知探究
C
D
A
B
M
O
此图是轴对称图形，其对称轴是直径CD所在的直线.
直径CD⊥AB，AC=BC，AD=BD.
理由：连接OA，OB，易证△OAM≌△OBM，即可得出上述结论.
⌒ ⌒
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新知探究
用几何语言表述为：
∵CD是直径，AE=BE，（条件）
∴ AB⊥CD，AC=BC，AD=BD.（结论）
⌒ ⌒
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垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
新知探究
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
特别说明：圆的两条直径是互相平分的.
·
O
A
B
C
D
新知探究
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备
（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（不是直径）；
（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论.
归纳总结
新知探究
知识点 垂径定理的应用
2
例 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD,点O是CD所在圆的圆心),其中CD=600m,E为CD上一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
⌒
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解:连接OC.设弯路的半径为Rm，则OF=（R-90）m.
∵OE⊥CD，∴CF= CD= ×600=300（m）.
在Rt△OCF中，根据勾股定理，得OC =CF +OF ，即R =300 +（R-90） .解这个方程，得R=545.
所以，这段弯路的半径为545m.
新知探究
试一试： 根据所学新知，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗
新知探究
解：∵OD⊥AB，∴AD= AB= ×37.4=18.7（m）.
在Rt△ODA中，OD=（R-7.2）m，OA=Rm，
∴R =（R-7.2） +18.7 .解得R≈27.9.
因此，桥拱所在圆的半径约为27.9m.
新知探究
涉及垂径定理时辅助线的添加方法：
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
O
A
B
C
·
弓形中重要数量关系：
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
d+h=r ，
A
B
C
D
O
h
r
d
垂径定理
推论
内容
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. 知二推三：
①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧
辅助线
两条辅助线：连半径，作弦心距
构造 Rt△ 利用勾股定理计算或建立方程
课堂小结
课堂训练
1．下列说法正确的是( )
A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径的直线平分这条直径
D．弦的垂直平分线经过圆心
D
课堂训练
A．CM＝DM B. CB＝DB
C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MB
2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，
下列结论不成立的是( )
D
⌒
⌒
课堂训练
3.（2023永州）如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10cm,水的最深处到水面AB的距离为4cm,则水面AB的宽度为 cm.
16
课堂训练
4.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为 ，则点P的坐标为________.
(3,2)
课堂训练
5.⊙O的半径为10cm,弦AB∥CD，AB=12cm,CD=16cm,则AB与CD的距离为 ．
14cm或2cm
【提示】由于两弦的位置不确定，因此需要分类讨论．
课堂训练
6.如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=6m，弓形的高EF=2m，现设计安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在⊙O的半径．
解：∵弓形的跨度AB=6m，EF为弓形的高，
∴OE⊥AB于点F.∴AF= AB=3m.
设⊙O的半径为rm，则AO=rm，OF=（r-2）m.
在Rt△AOF中，AO2=AF2+OF2，
即r2=32+（r-2）2，解得r= ．
∴弧AB所在⊙O的半径为 m．