3.4.1 圆周角定理 课件(共20张PPT)2024-2025学年数学北师大版九年级下册
文档属性
| 名称 | 3.4.1 圆周角定理 课件(共20张PPT)2024-2025学年数学北师大版九年级下册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 744.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-13 21:21:31 | ||
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文档简介
(共20张PPT)
第三章 圆
4 圆周角和圆心角的关系
北师大版-数学-九年级下册
第1课时 圆周角定理
学习目标
1．经历探索圆周角和圆心角及其所对弧的关系的过程.
2．理解圆周角的概念，圆周角定理及其推论1，并能进行简单的推理
和计算.
3．体会分类、归纳等数学思想方法，提高自己解决问题的能力.
【重点】理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用.
【难点】能运用圆周角定理及其推论1进行简单的推理和计算.
新课导入
在射门游戏中（如图），球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关.当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC.这三个角的大小有什么关系？
新知探究
知识点 圆周角的概念
1
观察图中的∠ABC，∠ADC，∠AEC，可以发现，它们的顶点都在圆上，两边分别与圆还有另一个交点.像这样的角，叫做圆周角.
1.圆周角要具备两个特征：
①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交 .
2.圆周角可以是锐角，也可以是直角或钝角.
注意
问题：图中的∠ABC，∠ADC，∠AEC有什么共同特点？
新知探究
练一练 下列各图中的∠BAC是否为圆周角？简述理由.
·
C
O
B
A
·
C
O
A
·
C
O
B
A
B
·
C
O
A
·
C
O
B
A
C
O
B
A
B
是
不是，顶点A不在圆上
不是，边AC没有和圆相交
不是，顶点A不在圆上
是
是
·
新知探究
知识点 圆周角定理
2
如图, ∠ AOB = 80°.
（1）请你画出几个 AB所对的圆周角，这几个
圆周角有什么关系？与同伴进行交流.
（2）这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系？你是
怎样发现的？与同伴进行交流.
（3）在图中，改变∠AOB的度数，你得到的结论还成立吗？
︵
新知探究
（1）所画圆周角如图所示，∠ADB，∠ACB，∠AEB这几个圆周角相等.
（2）这些圆周角都相等，且等于圆心角∠AOB的一半.
提示：以∠ACB为例，连接CO并延长交圆于点M，易得∠ACM=
∠CAO= ∠AOM，∠BCM=∠CBO= ∠BOM，∴∠ACB= ∠AOB.
M
（3）改变∠AOB的度数，得到的结论还成立.
新知探究
圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
例 已知：如图，∠C是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角.求证：∠C= ∠AOB.
分析：圆周角与圆心有以下3种不同的位置关系，我们一一讨论.
新知探究
证明：第一种：圆心O在∠C的一条边上，如图（1）.
∵∠AOB是△AOC的外角，∴∠AOB=∠A+∠C.
∵OA=OC，∴∠A=∠C.∴∠AOB=2∠C，即∠C= ∠AOB.
第二种和第三种都可以转化为第一种再证明.
如图（2）（3），连接CO并延长交圆于点D.
同理可得∠AOD=2∠ACD，∠BOD=2∠BCD.
∴∠AOB=2∠ACB，即∠ACB= ∠AOB.
D
D
新知探究
归纳总结
分类讨论、转化
化归
化归
新知探究
知识点 圆周角定理的推论1
3
在前面的射门游戏中，当球员在 B，D，E 处射门时，所形成的三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC 的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？
O
∠ABC=∠ADC=∠AEC.
能.证明如下：如图，作出圆心角∠AOC.根据圆周角定理，得∠ABC=∠AOC，∠ADC=∠AOC，∠AEC=∠AOC.∴∠ABC=∠ADC=∠AEC.
新知探究
圆周角定理的推论1
同弧或等弧所对的圆周角相等.
若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论不成立，
因为一条弦所对的圆周角有两种可能，一般情况下
不相等.
注意
新知探究
例 如图,已知四边形ABCD的四个顶点均在☉O上,AB=BC,BD交AC于点E.求证:DB平分∠ADC.
证明:∵AB=BC,∴AB=BC.
∴∠ADB=∠CDB,
即DB平分∠ADC.
︵
︵
课堂小结
圆周角定义
圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半
同弧或等弧所对的圆周角相等
顶点在圆上，两边分别与圆相交的角
圆周角定理
的推论1
圆心角
类比
圆周角
课堂训练
1. 判断
（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等. （ ）
（2）相等的弦所对的圆周角也相等. （ ）
（3）同弦所对的圆周角相等. （ ）
√
×
×
课堂训练
2.（2023河南）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C=55°，则∠AOB的度数为（ ）
A．95° B．100°
C．105° D．110°
D
课堂训练
3.（2023青海）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O上一点，OC⊥AB，垂足为D．若∠A=
20°，则∠ABC=（ ）
A．20° B．30° C．35° D．55°
C
课堂训练
4.（2023杭州）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC
=19°，则∠BAC=（ ）
A．23° B．24° C．25° D．26°
D
课堂训练
5.如图，A，P，B，C 是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．
求证：△ ABC 是等边三角形.
证明：∵ A，P，B，C 是圆上的四个点，
∴∠ ABC= ∠ APC，∠CAB=∠ CPB.
又∵∠ APC= ∠ CPB=60°，∴∠ ABC= ∠ CAB=60°.
∴ AC=BC.又∵∠ABC=60°，∴△ ABC 是等边三角形.
课堂训练
6.如图，A，B，C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交⊙O于点F，求∠BAF的度数.
解：如图，连接OB.
∵四边形ABCO是平行四边形，∴OC=AB，OC∥AB.又∵OA=OB=OC，∴OA=OB=AB.
∴△AOB为等边三角形.∴∠AOB=60°.
∵OF⊥OC，OC∥AB，∴OF⊥AB.
∴∠BOF=∠AOF=30°.∴∠BAF= ∠BOF=15°.
第三章 圆
4 圆周角和圆心角的关系
北师大版-数学-九年级下册
第1课时 圆周角定理
学习目标
1．经历探索圆周角和圆心角及其所对弧的关系的过程.
2．理解圆周角的概念，圆周角定理及其推论1，并能进行简单的推理
和计算.
3．体会分类、归纳等数学思想方法，提高自己解决问题的能力.
【重点】理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用.
【难点】能运用圆周角定理及其推论1进行简单的推理和计算.
新课导入
在射门游戏中（如图），球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关.当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC.这三个角的大小有什么关系？
新知探究
知识点 圆周角的概念
1
观察图中的∠ABC，∠ADC，∠AEC，可以发现，它们的顶点都在圆上，两边分别与圆还有另一个交点.像这样的角，叫做圆周角.
1.圆周角要具备两个特征：
①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交 .
2.圆周角可以是锐角，也可以是直角或钝角.
注意
问题：图中的∠ABC，∠ADC，∠AEC有什么共同特点？
新知探究
练一练 下列各图中的∠BAC是否为圆周角？简述理由.
·
C
O
B
A
·
C
O
A
·
C
O
B
A
B
·
C
O
A
·
C
O
B
A
C
O
B
A
B
是
不是，顶点A不在圆上
不是，边AC没有和圆相交
不是，顶点A不在圆上
是
是
·
新知探究
知识点 圆周角定理
2
如图, ∠ AOB = 80°.
（1）请你画出几个 AB所对的圆周角，这几个
圆周角有什么关系？与同伴进行交流.
（2）这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系？你是
怎样发现的？与同伴进行交流.
（3）在图中，改变∠AOB的度数，你得到的结论还成立吗？
︵
新知探究
（1）所画圆周角如图所示，∠ADB，∠ACB，∠AEB这几个圆周角相等.
（2）这些圆周角都相等，且等于圆心角∠AOB的一半.
提示：以∠ACB为例，连接CO并延长交圆于点M，易得∠ACM=
∠CAO= ∠AOM，∠BCM=∠CBO= ∠BOM，∴∠ACB= ∠AOB.
M
（3）改变∠AOB的度数，得到的结论还成立.
新知探究
圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
例 已知：如图，∠C是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角.求证：∠C= ∠AOB.
分析：圆周角与圆心有以下3种不同的位置关系，我们一一讨论.
新知探究
证明：第一种：圆心O在∠C的一条边上，如图（1）.
∵∠AOB是△AOC的外角，∴∠AOB=∠A+∠C.
∵OA=OC，∴∠A=∠C.∴∠AOB=2∠C，即∠C= ∠AOB.
第二种和第三种都可以转化为第一种再证明.
如图（2）（3），连接CO并延长交圆于点D.
同理可得∠AOD=2∠ACD，∠BOD=2∠BCD.
∴∠AOB=2∠ACB，即∠ACB= ∠AOB.
D
D
新知探究
归纳总结
分类讨论、转化
化归
化归
新知探究
知识点 圆周角定理的推论1
3
在前面的射门游戏中，当球员在 B，D，E 处射门时，所形成的三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC 的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？
O
∠ABC=∠ADC=∠AEC.
能.证明如下：如图，作出圆心角∠AOC.根据圆周角定理，得∠ABC=∠AOC，∠ADC=∠AOC，∠AEC=∠AOC.∴∠ABC=∠ADC=∠AEC.
新知探究
圆周角定理的推论1
同弧或等弧所对的圆周角相等.
若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论不成立，
因为一条弦所对的圆周角有两种可能，一般情况下
不相等.
注意
新知探究
例 如图,已知四边形ABCD的四个顶点均在☉O上,AB=BC,BD交AC于点E.求证:DB平分∠ADC.
证明:∵AB=BC,∴AB=BC.
∴∠ADB=∠CDB,
即DB平分∠ADC.
︵
︵
课堂小结
圆周角定义
圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半
同弧或等弧所对的圆周角相等
顶点在圆上，两边分别与圆相交的角
圆周角定理
的推论1
圆心角
类比
圆周角
课堂训练
1. 判断
（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等. （ ）
（2）相等的弦所对的圆周角也相等. （ ）
（3）同弦所对的圆周角相等. （ ）
√
×
×
课堂训练
2.（2023河南）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C=55°，则∠AOB的度数为（ ）
A．95° B．100°
C．105° D．110°
D
课堂训练
3.（2023青海）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O上一点，OC⊥AB，垂足为D．若∠A=
20°，则∠ABC=（ ）
A．20° B．30° C．35° D．55°
C
课堂训练
4.（2023杭州）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC
=19°，则∠BAC=（ ）
A．23° B．24° C．25° D．26°
D
课堂训练
5.如图，A，P，B，C 是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．
求证：△ ABC 是等边三角形.
证明：∵ A，P，B，C 是圆上的四个点，
∴∠ ABC= ∠ APC，∠CAB=∠ CPB.
又∵∠ APC= ∠ CPB=60°，∴∠ ABC= ∠ CAB=60°.
∴ AC=BC.又∵∠ABC=60°，∴△ ABC 是等边三角形.
课堂训练
6.如图，A，B，C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交⊙O于点F，求∠BAF的度数.
解：如图，连接OB.
∵四边形ABCO是平行四边形，∴OC=AB，OC∥AB.又∵OA=OB=OC，∴OA=OB=AB.
∴△AOB为等边三角形.∴∠AOB=60°.
∵OF⊥OC，OC∥AB，∴OF⊥AB.
∴∠BOF=∠AOF=30°.∴∠BAF= ∠BOF=15°.