3.6.2 切线的判定与三角形的内切圆 课件(共23张PPT)2024-2025学年数学北师大版九年级下册

(共23张PPT)
第三章　圆
6　直线和圆的位置关系
第2课时 切线的判定与三角形的内切圆
北师大版-数学-九年级下册
学习目标
1.理解并掌握圆的切线的判定定理及运用；
2.能够利用切线的判定定理及三角形的内切圆的性质等解决有关问题；
3.掌握用尺规作图作出三角形的内切圆.
【重点】能灵活选用切线的各种判定方法判定一条直线是圆的切线.
【难点】掌握三角形的内切圆，内心的有关知识.
新课导入
下列图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系？如何判定两者之间的这种位置关系呢？
新知探究
知识点 圆的切线的判定
1
问题：如图，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角为∠α.当l绕点A旋转时，
（1）随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？
O
l
B
A
α
d
d不断变大，最大为半径，直线l从相交到相切.
（2）当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r？此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
O
l
B
A
α
d
∠α等于90度时，点O到l的距离d等于半径r.此时，直线l与⊙O相切.
新知探究
条件：
（1）经过圆上的一点；
（2）垂直于该点半径.
几何语言：
∵l⊥OA，且 l 经过☉O 上的 A 点，
∴直线 l 是☉O 的切线.
圆的切线的判定：过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
新知探究
O
l
A
新知探究
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
l
A
l
O
l
r
d
新知探究
类型一：有交点，连半径，证垂直
例1：如图，已知AB为☉O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30°.
求证：DC是☉O的切线．
新知探究
证明：如图，连接OC，BC.
∵AB为☉O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵∠CAB＝30°，
∴BC＝ AB＝OB.
又∵BD＝OB，
∴BC＝BD＝OB＝ OD，
∴∠OCD＝90°.
∴DC是☉O的切线．
新知探究
类型二：无交点，作垂直，证半径
例2：如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，☉O 与AB 相切于E.
求证：AC 是☉O 的切线．
B
O
C
E
A
新知探究
证明：连接OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC.
∵☉O 与AB 相切于E ，
又∵△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点，
∴AO 平分∠BAC.
∴OE ＝OF.
∵OE 是☉O 半径，OF ＝OE，OF ⊥ AC，
∴AC 是☉O 的切线．
又∵OE ⊥AB ，OF⊥AC，
F
B
O
C
E
A
∴OE ⊥ AB.
新知探究
知识点 三角形的内切圆及圆心
2
作法：1.分别作∠ABC，∠ACB 的平分线
BE 和 CF，交点为 I.
2.过 I 作 BC 的垂线，垂足为D.
3.以I 为圆心，以 ID 的长为半径作 ☉I.
☉I 就是所求的圆.
已知：如图，△ABC.
A
B
C
I
●
E
F
┓
D
┓
┗
┗
求作：☉I，使它与△ABC 的三边都相切.
新知探究
这样的圆可以作出几个？为什么？
用几何语言表示：
∵如图，直线 BE 和 CF 只有一个交点 I，
并且点 I 到△ABC 三边的距离相等，
∴和△ABC 三边都相切的圆可以作出
一个，并且只能作一个.
A
B
C
I
●
E
F
┓
D
┓
┗
┗
三角形与圆的位置关系
新知探究
如图所示，这个圆叫做三角形的内切圆.这个三角形叫做圆的外切三角形.
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
A
B
C
●
I
三角形与圆的位置关系
新知探究
名称 确定方法 图形 性质
外心：三角形外接圆的圆心
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三边垂直平分线的交点
1. OA = OB = OC；
2. 外心不一定在三角形的内部．
三角形三条角平分线的交点
1. 到三边的距离相等；
2. OA、OB、OC 分别
平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；
3. 内心在三角形内部．
A
B
O
A
B
C
O
C
归纳总结
课堂小结
切线的判定及三角形的内切圆
切线的判定
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
三角形的内切圆
与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.
1.如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是
△ABC的（ ）
A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交线
D.三条高的交点
B
课堂训练
2.下列关于三角形的内心和外心的说法中，正确的说
法为（ ）
①三角形的内心是三角形内切圆的圆心；
②三角形的内心是三个角平分线的交点；
③三角形的外心到三边的距离相等；
④三角形的外心是三边中垂线的交点．
A.①②③④ B.①②③
C.①②④ D.②③④
C
课堂训练
课堂训练
3.如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是(　　)
A．△ACD的外心
B．△ABC的外心
C．△ACD的内心
D．△ABC的内心
B
课堂训练
证明：连接OP.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB.
∴∠OPB=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP.
∴PE为☉O的切线.
4.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的☉O交
边BC于P，PE⊥AC于E.
求证:PE是☉O的切线.
O
A
B
C
E
P
课堂训练
5.如图，在△ABC中，AB=AC，AB是直径，BC与⊙O相交于点D，DE切⊙O于点D.
求证：DE⊥AC.
∴DE⊥AC.
证明：连接OD.
∵DE是⊙O的切线，
∴DO⊥DE.
∵OB=OD，
∴∠B=∠BDO.
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
∴∠BDO=∠C.
∴OD∥AC.
课堂训练
6.如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.
求证：DI＝DB.
证明：连接BI.
∵I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI.
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD.
∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD.∴BD=ID．
课堂训练
7.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连接BC，BC平分∠ABD.
求证：CD为⊙O的切线.
∴CD为⊙O的切线.
证明 ∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC=∠DBC.
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB,
∴∠OCB=∠DBC,
∴OC∥BD.
∵BD⊥CD，
∴OC⊥CD，