3.9 弧长及扇形面积 课件(共25张PPT)2024-2025学年数学北师大版九年级下册

(共25张PPT)
第三章　圆
9　弧长及扇形面积
北师大版-数学-九年级下册
学习目标
1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程；
2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.
【重点】理解的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用.
【难点】探索圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决一些问题.
新课导入
1.已知⊙O的半径为R，⊙O的周长是多少？⊙O的面积是多少？
2.什么叫圆心角？
C=2πR，S＝πR2.
角的顶点在圆心，角的两边分别与圆还有一个交点,这样的角叫做圆心角.
新课导入
你注意到了吗，在运动会的200米比赛中，各选手的起跑线不在同一处，你知道这是为什么吗？
因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.
那我们应该怎样来计算弯道的“展直长度”？
新知探究
知识点 弧长的计算
1
如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm.
(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？
(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？
(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？
20πcm
（20π/360）cm
（20nπ/360）cm
新知探究
（1）半径为R的圆，周长是多少？
（2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？
（3）1°圆心角所对的弧长是多少？
C=2πR
360°
n°
O
新知探究
（4）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的 弧长的多少倍？
（5）n°圆心角所对的弧长是多少？
n 倍
也可以用AB表示弧AB的长
⌒
n°
O
新知探究
O
1°的圆心角所对的弧长是_______,即______．
2πR
360
πR
180
n°
归纳总结
弧长公式：n°的圆心角所对的弧长l=
nπR
180
.
新知探究
归纳总结
注意：(1)用弧长公式l= 进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
(2)区分弧、弧的度数、弧长三个概念．度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才可能是等弧．
新知探究
例1：制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直长度，即AB的长(结果精确到0.1mm).
因此，管道的展直长度约为76.8mm.
解：R=40mm，n=110，所以AB的长==≈76.8（mm）.
)
)
(
110 °
A
B
O
40mm
新知探究
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形.
扇形的定义：
半径
半径
O
B
A
圆心角
弧
O
B
A
扇形
知识点 扇形面积的计算
2
新知探究
知识点 扇形面积的计算
2
大家想一想，生活中有哪些扇形的物体 ？
新知探究
想一想：在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上栓着一条长3m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗.
（1）这只狗的最大活动区域有多大？
（2）如果这只狗只能绕柱子转过n°角，
那么它的最大活动区域有多大？
S=πR2=9π(m2)

新知探究
O
n°
R
归纳：1°的圆心角所对的扇形面积是_____.
πR2
360
公式：n°的圆心角所对的扇形面积 S扇形=
nπR2
360
对比弧长公式可以得到
S扇形= lR
2
1
要点归纳
新知探究
例2：扇形AOB的半径为12cm，∠AOB=120°，求AB的长（结果精确到0.1cm）和扇形AOB的面积（结果精确到0.1cm2）.
解：AB的长=π×12≈25.1（cm）.
S扇形=π×122≈150.7（cm2）.
因此，AB的长约为25.1cm，扇形AOB的面积约为150.7cm2.
)
)
新知探究
拓展学习
弓形
O
O
弓形的定义：如图，由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.
如何求弓形的面积？
新知探究
左图： S弓形=S扇形-S三角形
右图：S弓形=S扇形+S三角形
O
O
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积
弓形面积公式（割补法）
课堂小结
弧长
计算公式：
扇形
公式
阴影部分面积
求法：整体思想
弓形
公式
S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
割补法
课堂训练
1.若扇形的圆心角为90°,半径为6,则该扇形的弧长为(　　)
A.π B.2π C.3π D.6π
2.已知一个扇形的半径为6,弧长为2π,则这个扇形的圆心角为(　　)
A.30° B.60° C.90° D.120°
C
B
课堂训练
3. 如图，半径为 1 cm、圆心角为 90° 的扇形 OAB 中，分别以 OA、OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为(　　)
C
A.π cm2 B. π cm2
C. cm2 D. cm2
课堂训练
4. 如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是( )
A．6π B．5π
C．4π D．3π
A
课堂训练
5. 如图，CD为 ⊙O 的弦，直径 AB 为4，AB⊥CD 于 E，∠A=30°，则弧 BC 的长为________(结果保留 π )．
6. 如图，⊙A、 ⊙B、 ⊙C、 ⊙D 两两不相交，且半径都是 2 cm，则图中阴影部分的面积是 .
A
B
C
D
课堂训练
7.如图,AC是☉O的直径,B,D是☉O上的点,若☉O的半径为3, ∠ADB=30°,则的长为　　.
2π
180°
8.若一个扇形的半径为2 cm,面积为2π cm2,则此扇形的圆心角为　 .
课堂训练
9.如图,扇形的圆心角为90°,半径OC=2,∠AOC=30°,CD⊥OB于点D,求阴影部分的面积.
解:∵∠AOB=90°,∠AOC=30°,
∴∠BOC=60°.
∵CD⊥OB,
∴∠CDO=90°,
∴OD=OC=1,CD=OD=,
∴阴影部分的面积=S扇形BOC -S△COD=×1×π-.
课堂训练
10.如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC=6 cm，AC=8 cm，∠ABD=45°.
（1）求BD的长；
（2）求图中阴影部分的面积.
解 (1)∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
∵BC=6 cm，AC=8 cm，
∴AB=10 cm，∴OB=5 cm.
连接OD.
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠ABD=45°，
∴∠BOD=90°，
(2)S阴影=S扇形-S△OBD
= π·52- ×5×5
360
90
2
1
= (cm2).
25π-50
4
∴BD2=OB2+OD2， BD= cm.