浙江省湖州市2023-2024学年高二上学期期末调研测试数学试题
1．（2024高二上·湖州期末）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高二上·湖州期末）在复平面上，复数（为虚数单位）对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024高二上·湖州期末）已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024高二上·湖州期末）双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二上·湖州期末）已知数列的前n项和为，若，且（），则（ ）
A．为等比数列 B．为等差数列
C．为等比数列 D．为等差数列
6．（2024高二上·湖州期末）已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切
C．外离 D．与m的取值有关
7．（2024高二上·湖州期末）已知空间内三点，，，则点A到直线的距离是（ ）．
A． B．1 C． D．
8．（2024高二上·湖州期末）已知，分别是椭圆（）的左，右焦点，椭圆上一点P满足，且，则该椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二上·湖州期末）已知函数是定义在R上的奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若在上有最小值，则在上有最大值2
D．若在上单调递增，则在上单调递减
10．（2024高二上·湖州期末）对于直线l：（，），下列说法正确的是（ ）
A．直线l的一个方向向量为
B．直线l恒过定点
C．当时，直线l的倾斜角为60°
D．当且时，l不经过第二象限
11．（2024高二上·湖州期末）设是公差为的等差数列的前项和，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则数列有最大项
B．若数列有最大项，则
C．若数列是递增数列，则对任意，均有
D．若对任意，均有，则数列是递增数列
12．（2024高二上·湖州期末）在正方体中，点E，F满足，，且x，y，．记EF与所成角为，与平面ABCD所成角为，则（ ）
A．若，三棱锥E-BCF的体积为定值
B．若，则
C．，
D．，总存在，使得平面
13．（2024高二上·湖州期末）盒中有四个大小、形状完全相同的小球，分别编号为1、2、3、4，现从中任取两个小球，则取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为 ．
14．（2024高二上·湖州期末）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于，两点，其中在第一象限，点，若，则直线的斜率为 .
15．（2024高二上·湖州期末）已知为等差数列的前n项和，若，，则 ．
16．（2024高二上·湖州期末）在三棱锥中，，，点在上，，为中点，则 ．
17．（2024高二上·湖州期末）已知数列是公差不为0的等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，且，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前10项和．
18．（2024高二上·湖州期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，且边AB上的高等于．
（1）求角A的值；
（2）若的面积为18，求边BC的长．
19．（2024高二上·湖州期末）已知圆O：，直线．
（1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当时，求k的值；
（2）若时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形的面积的最小值．
20．（2024高二上·湖州期末）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，．
（1）求证：：
（2）当时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
21．（2024高二上·湖州期末）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项．数列满足，数列的前n项和等于．
（1）求数列的前n项和；
（2）求数列的通项公式．
22．（2024高二上·湖州期末）设双曲线C：（，）的右焦点为F，点O为坐标原点，过点F的直线与C的右支相交于A，B两点．
（1）当直线与x轴垂直，且两点的距离等于双曲线C的实轴长时，求双曲线C的离心率；
（2）若双曲线C的焦距为4，且恒成立，求双曲线C的实轴长的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为，
令，解得，
又因为，所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】利用一元二次不等式求解方法，从而求出集合，再令得出n的取值范围，再利用，从而得出满足要求的n的值，再根据交集的运算法则得出集合A和集合B的交集.
2．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：因为，
所以复数在复平面上对应的点为，
所以点在第三象限.
故答案为：C.
【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数的代数形式，利用复数的几何意义得出复数对应的点的坐标，再根据点的坐标确定复数对应的点所在的象限.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：若，则，解得，
显然“”可以推出“”，“”不可以推出“”，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据空间向量垂直两空间向量数量积为0的等价关系和空间向量的数量积的坐标表示，再利用充分条件、必要条件的判断方法，从而找出答案.
4．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由双曲线，
令，解得，
所以，双曲线的渐近线方程为.
故答案为：B.
【分析】由双曲线的方程，令，再结合双曲线的渐近线方程求解方法，化简整理得出双曲线的渐近线方程.
5．【答案】A
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：由，得出当时，，
两式相减得，即，
当时，，
所以数列即不是等比数列也不是等差数列，所以选项C、选项D错误；
则，
当时，
当时，，符合，
所以，
当时，，所以为等比数列，所以选项A正确，选项B错误.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和的关系式以及等差数列、等比数列的定义，则判断出选项C和选项D，再利用数列的通项公式和分类讨论的方法，再结合等比数列前n项和公式和检验法以及等比数列的定义，则判断出选项A和选项B，进而找出正确的选项.
6．【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：由圆：，
得出，则圆心，半径，
由圆：，
得出，则圆心，半径，
所以，当时，，
所以圆与圆的位置关系是外离.
故答案为：C.
【分析】利用圆的一般方程得出圆心坐标和半径长，再利用两点距离公式求出圆心距，再判断圆心距与两圆半径和的大小关系，从而判断出圆与圆的位置关系.
7．【答案】A
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：因为空间内三点，，，
所以，，，，
因为，所以，
所以，点A到直线的距离.
故答案为：A.
【分析】根据空间向量数量积求空间向量夹角的坐标表示，从而求出的值，再利用同角三角函数基本关系式求出的值，结合，从而得出点A到直线的距离.
8．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设，则，
又因为，则，
则得出，即，
又因为，
所以，
由正弦定理得，
设，
则，即，
又因为，
所以，所以离心率.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和两角和与差的正弦公式，从而求出，的值，再利用正弦定理得出的值， 从而设， 再结合椭圆的定义得出a与k的关系式，再根据焦距的定义得出c和k的关系式，从而由椭圆的离心率公式得出该椭圆的离心率.
9．【答案】B,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：对于A，由奇函数定义可得，
若，则不成立，故A错误；
对于B，由奇函数定义可得，则，故B正确；
对于C，由奇函数图象关于原点对称，所以C正确；
对于D，由奇函数图象关于原点对称，可知在上单调递增，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】由奇函数的定义判断出选项A；利用奇函数的性质判断出选项；由奇函数的图象的对称性判断出选项C；利用奇函数的图象的对称性和增函数的定义，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】直线的倾斜角；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；恒过定点的直线；直线的方向向量
【解析】【解答】解：对于A：因为直线l的一个方向向量为，所以A正确；
对于B：将直线l的方程可化为，则直线l恒过定点，所以B正确；
对于C：当时，直线l的斜率为，此时倾斜角为，所以C错误；
对于D：当且时，直线l为，
所以直线l不经过第二象限，所以D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由直线的方向向量求解方法，则得出直线l的一个方向向量，从而判断出选项A；将直线方程转化得出定点坐标，则判断出选项B；利用直线的斜率和直线的倾斜角的关系式，则判断出选项C；利用已知条件得出直线方程，从而得出直线不经过的象限，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为，
若，对应二次函数开口向下，由二次函数的性质可知，数列有最大项，所以正确；
若，二次函数开口向上，无最大项，
故若数列有最大项，有，所以B正确；
若数列是递增数列，则，
若，则，
故不一定对任意，均有，所以C错误；
若数列是递减数列，则，
一定存在实数，当时，之后所有项都为负数，不能保证对任意，均有
故若对任意，均有，则数列是递增数列，所以D正确．
故答案为：ABD.
【分析】由题意和等差数列前n项和公式得出，分、两种情况讨论对应的函数性质，则可判断选项A和选项B；若数列是递增数列，则，再利用数列是递减数列，则，则可判断选项C和选项D，进而找出命题正确的选项.
12．【答案】A,C,D
【知识点】异面直线所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A：若，点在过线段的三等分点（靠近点），
并且与平行的线上，
因为点在线段上，且，
所以点到线段的距离为定值，则为定值，
又因为点到面，即面的距离不变，
所以为定值，所以A正确；
对于B：若，则点为线段的中点，点为线段的交点，
若，又因为，且面，，
所以面，
又因为面，所以，
设正方体的棱长为，
则，
此时，即，与矛盾，
故不正确，所以B错误；
对于C：，
则点在线段上（不含端点），点在正方形内（不含边界），
过作交于，连接，
则为EF与所成角，即，
因为面，，
所以面，则为与平面ABCD所成角，即，
因为为直角三角形，所以，所以C正确；
对于D：过作交于，过作交于，连接，
此时满足，，，，
则只需要证明平面即可，
因为，面，面，
所以面，
又因为，面，面，
所以面，又因为，且面，
所以面面，又因为面，
所以平面，
所以，总存在，使得平面，所以D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用点到线段的距离为定值和三角形的面积公式，则确定为定值，再结合点到面，即面的距离不变， 则由三棱锥的体积公式，从而得出当时，三棱锥E-BCF的体积为定值，则判断出选项A；假设，从而得出线面垂直，再由线面垂直的定义证出线线垂直，再利用勾股定理得出与矛盾，故不正确，则判断出线线B；过作交于，连接，再结合异面直线所成的角和线面垂直的判定定理、性质定理，从而找到角和角，再利用直角三角形的性质，从而得出角的值，则判断出选项C；利用线线平行证出线面平行，再利用线面平行证出面面平行，再根据面面平行的性质定理得出线面平行，从而得出，总存在，使得平面，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
13．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：首先从中任取两个小球有，
共个基本事件，
取出的小球中至少有一个号码为奇数有，
共个基本事件，
所以取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件，求出总的基本事件数，再求出符合题目要求结果的基本事件数，再利用古典概型求概率公式得出取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率.
14．【答案】
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为，，，
所以，所以，，
所以.
故答案为：.
【分析】由已知条件和中点的性质，可得，再利用代入法得出点的坐标，再由和两点求斜率公式，从而得出直线的斜率.
15．【答案】
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
由得，整理得①
由得，整理得②，
由①②得，
所以.
故答案为：.
【分析】先根据已知条件和等差数列的前n项和公式以及等差数列的通项公式，从而列方程组求出首项和公差，再利用等差数列的通项公式，从而得出的值.
16．【答案】
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由已知条件得出如下图：
由图可知，，
则
，
所以.
故答案为：.
【分析】利用三角形法则和向量共线定理，从而将向量用向量表示出来，再平方结合数量积的定义，从而得出的值.
17．【答案】（1）解：设数列是公差为，等比数列的公比为，
由已知得，，
，，
所以，解得（舍去）或，
所以.
（2）解：由（1）可知，
所以，数列的前10项和为.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，从而列出关于公比、公差的方程组，解方程组得出公比的值和公差的值，再结合等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，从而得出数列和的通项公式.
（2）由（1）中数列和的通项公式得出数列的通项公式，再结合分组求和的方法，从而利用等差数列前n项和公式和等比数列前n项和公式，从而得出数列的前10项和．
（1）设数列是公差为，等比数列的公比为，
由已知得，，，，
所以，解得（舍去）或，
所以；
（2）由（2）的，
所以数列的前10项和为.
18．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理可得：且，
则，可得，
即且，
所以.
（2）解：由的面积可得，
即，解得，
由余弦定理可得：，即，
所以，边BC的长为.
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据题意，运用正弦定理边化角和三角形中角B的取值范围，结合同角三角函数基本关系式，从而得出角A的正切值，再结合三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.
（2）根据三角形的面积公式可得关于的方程组，再解方程组得出b、c的值，再利用余弦定理得出a的值，进而得出边BC的长.
（1）因为，由正弦定理可得：，
且，则，可得，即，
且，所以.
（2）由的面积可得，
即，解得，
由余弦定理可得，即，
所以边BC的长为.
19．【答案】（1）解：当时，
由垂径定理得圆心到直线的距离为，
则，
解得.
（2）解：由题意，如图所示：
当时，直线，即，
由已知得
又因为，
所以的最小值为，
又因为四边形的面积的为，
所以四边形的面积的最小值为.
【知识点】直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得出圆心到直线距离，再利用点到直线的距离公式，从而得出k的值.
（2）将四边形的面积的最小值转化为求的最小值，再根据和OP的最小值，从而得出的最小值，再利用四边形的面积的为，从而得出四边形的面积的最小值.
（1）当时，由垂径定理得圆心到直线的距离为，
则，
解得；
（2）当时，直线，即
由已知得
又，
所以的最小值为，
又因为四边形的面积的为，所以其最小值为
20．【答案】（1）证明：取线段的中点，连接，
由分别时线段的中点可得
所以四点共面，
在直三棱柱中，侧面为正方形，，
则侧面也为正方形且，
所以，
则，
所以，
又因为，面，
所以面，又因为面，
所以.
（2）解：由（1）得面，又因为面，
所以，
又因为，面，
所以面，又因为，
所以面，又因为面，
所以，故两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
则，
则
设平面的一个法向量为，
则，取可得，
又因为平面的一个法向量为，
设平面与平面所成锐二面角为，
所以.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取线段的中点，连接，再利用中点作中位线的方法和中位线的性质，从而得出线线平行，则得出四点共面，再利用正方形的结构特征和相似三角形的判断方法及性质，从而得出线线垂直，再结合线线垂直证出线面垂直，再根据线面垂直的定义证出.
（2）由（1）得面，再根据线线垂直和线面垂直的推导关系，则证出两两垂直，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的一个法向量，再结合平面的一个法向量和数量积求向量夹角公式，从而得出平面与平面所成锐二面角的余弦值．
（1）取线段的中点，连接，
由分别时线段的中点可得
所以四点共面，
在直三棱柱中，侧面为正方形，，
则侧面也为正方形，
且，所以，
则，
所以，又，面，
所以面，又面，
所以；
（2）由（1）得面，又面，
所以，又，面，
所以面，又，
所以面，又面，
所哟，故两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
，
则
设平面的一个法向量为，
则，取可得，
又平面的一个法向量为，
设平面与平面所成锐二面角为
所以.
21．【答案】（1）解：由已知可得①，
又因为，即②
由①②得，
所以，
所以.
（2）解：因为数列的前n项和等于，
所以当时，，
所以，
又因为，
即，符合，
所以，当时，，
即，
所以数列为常数列，
所以，
则.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的通项公式；等差中项
【解析】【分析】（1）利用等比数列的通项公式，从而列关于首项和公比的方程组，进而解方程组得出首项和公比的值，再由等比数列的通项公式和等比数列前n项和公式，从而得出数列的前n项和.
(2)利用数列满足，数列的前n项和等于，再由（1）中等比数列的通项公式，从而得出，进而求出，结合常数列的定义，从而构造出数列为常数列，再结合常数列的通项公式得出数列的通项公式．
（1）由已知①，
又，即②
由①②得，
所以，
所以；
（2）因为数列的前n项和等于，
所以当时，，
所以，
又，即，符合，
所以当时，，
即，
所以数列为常数数列，
所以，
则.
22．【答案】（1）解：当直线l与x轴垂直时，
令，得，解得，
所以两点的距离为，
根据题意，可得，
所以，
整理得.
（2）解：因为双曲线C的焦距为4，则，
即，，
由于直线的斜率不为零，设其方程为，
联立，
消去得，
设，
则，，
由于两点均在双曲线的右支上，
所以，
所以，即，
所以
，
由恒成立，
得当时，均有，并且不可能同向，
即，
由于，因为不等式左边是关于的增函数，
所以只需时，成立即可，
解得，
又因为，所以，
所以，双曲线C的实轴长的取值范围为.
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件和赋值法结合通径公式得出A，B两点的距离，由两点的距离等于双曲线C的实轴长，再由双曲线中a，b，c三者的关系式和双曲线的离心率公式，从而得出双曲线C的离心率.
（2）设直线的方程为，再将直线与双曲线联立，利用韦达定理和数量积的坐标表示以及恒成立，从而由函数的单调性和转化法以及一元二次不等式求解方法，则得出a的取值范围，进而得出双曲线C的实轴长的取值范围．
（1）当直线l与x轴垂直时，令得，解得，
所以两点的距离为为，
根据题意可得，
所以，
整理得；
（2）双曲线C的焦距为4，则，即，
由于直线的斜率不为零，设其方程为，
联立，消去得，
设，
则，，
由于两点均在双曲线的右支上，
所以，
所以，即
所以
，
由恒成立，得时，均有，并且不可能同向，
即，由于，
因为不等式左边是关于的增函数，
所以只需时，成立即可，
解得，又，
所以，
所以双曲线C的实轴长的取值范围为.
1 / 1浙江省湖州市2023-2024学年高二上学期期末调研测试数学试题
1．（2024高二上·湖州期末）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为，
令，解得，
又因为，所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】利用一元二次不等式求解方法，从而求出集合，再令得出n的取值范围，再利用，从而得出满足要求的n的值，再根据交集的运算法则得出集合A和集合B的交集.
2．（2024高二上·湖州期末）在复平面上，复数（为虚数单位）对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：因为，
所以复数在复平面上对应的点为，
所以点在第三象限.
故答案为：C.
【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数的代数形式，利用复数的几何意义得出复数对应的点的坐标，再根据点的坐标确定复数对应的点所在的象限.
3．（2024高二上·湖州期末）已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：若，则，解得，
显然“”可以推出“”，“”不可以推出“”，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据空间向量垂直两空间向量数量积为0的等价关系和空间向量的数量积的坐标表示，再利用充分条件、必要条件的判断方法，从而找出答案.
4．（2024高二上·湖州期末）双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由双曲线，
令，解得，
所以，双曲线的渐近线方程为.
故答案为：B.
【分析】由双曲线的方程，令，再结合双曲线的渐近线方程求解方法，化简整理得出双曲线的渐近线方程.
5．（2024高二上·湖州期末）已知数列的前n项和为，若，且（），则（ ）
A．为等比数列 B．为等差数列
C．为等比数列 D．为等差数列
【答案】A
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：由，得出当时，，
两式相减得，即，
当时，，
所以数列即不是等比数列也不是等差数列，所以选项C、选项D错误；
则，
当时，
当时，，符合，
所以，
当时，，所以为等比数列，所以选项A正确，选项B错误.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和的关系式以及等差数列、等比数列的定义，则判断出选项C和选项D，再利用数列的通项公式和分类讨论的方法，再结合等比数列前n项和公式和检验法以及等比数列的定义，则判断出选项A和选项B，进而找出正确的选项.
6．（2024高二上·湖州期末）已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切
C．外离 D．与m的取值有关
【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：由圆：，
得出，则圆心，半径，
由圆：，
得出，则圆心，半径，
所以，当时，，
所以圆与圆的位置关系是外离.
故答案为：C.
【分析】利用圆的一般方程得出圆心坐标和半径长，再利用两点距离公式求出圆心距，再判断圆心距与两圆半径和的大小关系，从而判断出圆与圆的位置关系.
7．（2024高二上·湖州期末）已知空间内三点，，，则点A到直线的距离是（ ）．
A． B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：因为空间内三点，，，
所以，，，，
因为，所以，
所以，点A到直线的距离.
故答案为：A.
【分析】根据空间向量数量积求空间向量夹角的坐标表示，从而求出的值，再利用同角三角函数基本关系式求出的值，结合，从而得出点A到直线的距离.
8．（2024高二上·湖州期末）已知，分别是椭圆（）的左，右焦点，椭圆上一点P满足，且，则该椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设，则，
又因为，则，
则得出，即，
又因为，
所以，
由正弦定理得，
设，
则，即，
又因为，
所以，所以离心率.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和两角和与差的正弦公式，从而求出，的值，再利用正弦定理得出的值， 从而设， 再结合椭圆的定义得出a与k的关系式，再根据焦距的定义得出c和k的关系式，从而由椭圆的离心率公式得出该椭圆的离心率.
9．（2024高二上·湖州期末）已知函数是定义在R上的奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若在上有最小值，则在上有最大值2
D．若在上单调递增，则在上单调递减
【答案】B,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：对于A，由奇函数定义可得，
若，则不成立，故A错误；
对于B，由奇函数定义可得，则，故B正确；
对于C，由奇函数图象关于原点对称，所以C正确；
对于D，由奇函数图象关于原点对称，可知在上单调递增，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】由奇函数的定义判断出选项A；利用奇函数的性质判断出选项；由奇函数的图象的对称性判断出选项C；利用奇函数的图象的对称性和增函数的定义，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
10．（2024高二上·湖州期末）对于直线l：（，），下列说法正确的是（ ）
A．直线l的一个方向向量为
B．直线l恒过定点
C．当时，直线l的倾斜角为60°
D．当且时，l不经过第二象限
【答案】A,B,D
【知识点】直线的倾斜角；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；恒过定点的直线；直线的方向向量
【解析】【解答】解：对于A：因为直线l的一个方向向量为，所以A正确；
对于B：将直线l的方程可化为，则直线l恒过定点，所以B正确；
对于C：当时，直线l的斜率为，此时倾斜角为，所以C错误；
对于D：当且时，直线l为，
所以直线l不经过第二象限，所以D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由直线的方向向量求解方法，则得出直线l的一个方向向量，从而判断出选项A；将直线方程转化得出定点坐标，则判断出选项B；利用直线的斜率和直线的倾斜角的关系式，则判断出选项C；利用已知条件得出直线方程，从而得出直线不经过的象限，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．（2024高二上·湖州期末）设是公差为的等差数列的前项和，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则数列有最大项
B．若数列有最大项，则
C．若数列是递增数列，则对任意，均有
D．若对任意，均有，则数列是递增数列
【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为，
若，对应二次函数开口向下，由二次函数的性质可知，数列有最大项，所以正确；
若，二次函数开口向上，无最大项，
故若数列有最大项，有，所以B正确；
若数列是递增数列，则，
若，则，
故不一定对任意，均有，所以C错误；
若数列是递减数列，则，
一定存在实数，当时，之后所有项都为负数，不能保证对任意，均有
故若对任意，均有，则数列是递增数列，所以D正确．
故答案为：ABD.
【分析】由题意和等差数列前n项和公式得出，分、两种情况讨论对应的函数性质，则可判断选项A和选项B；若数列是递增数列，则，再利用数列是递减数列，则，则可判断选项C和选项D，进而找出命题正确的选项.
12．（2024高二上·湖州期末）在正方体中，点E，F满足，，且x，y，．记EF与所成角为，与平面ABCD所成角为，则（ ）
A．若，三棱锥E-BCF的体积为定值
B．若，则
C．，
D．，总存在，使得平面
【答案】A,C,D
【知识点】异面直线所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A：若，点在过线段的三等分点（靠近点），
并且与平行的线上，
因为点在线段上，且，
所以点到线段的距离为定值，则为定值，
又因为点到面，即面的距离不变，
所以为定值，所以A正确；
对于B：若，则点为线段的中点，点为线段的交点，
若，又因为，且面，，
所以面，
又因为面，所以，
设正方体的棱长为，
则，
此时，即，与矛盾，
故不正确，所以B错误；
对于C：，
则点在线段上（不含端点），点在正方形内（不含边界），
过作交于，连接，
则为EF与所成角，即，
因为面，，
所以面，则为与平面ABCD所成角，即，
因为为直角三角形，所以，所以C正确；
对于D：过作交于，过作交于，连接，
此时满足，，，，
则只需要证明平面即可，
因为，面，面，
所以面，
又因为，面，面，
所以面，又因为，且面，
所以面面，又因为面，
所以平面，
所以，总存在，使得平面，所以D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用点到线段的距离为定值和三角形的面积公式，则确定为定值，再结合点到面，即面的距离不变， 则由三棱锥的体积公式，从而得出当时，三棱锥E-BCF的体积为定值，则判断出选项A；假设，从而得出线面垂直，再由线面垂直的定义证出线线垂直，再利用勾股定理得出与矛盾，故不正确，则判断出线线B；过作交于，连接，再结合异面直线所成的角和线面垂直的判定定理、性质定理，从而找到角和角，再利用直角三角形的性质，从而得出角的值，则判断出选项C；利用线线平行证出线面平行，再利用线面平行证出面面平行，再根据面面平行的性质定理得出线面平行，从而得出，总存在，使得平面，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
13．（2024高二上·湖州期末）盒中有四个大小、形状完全相同的小球，分别编号为1、2、3、4，现从中任取两个小球，则取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为 ．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：首先从中任取两个小球有，
共个基本事件，
取出的小球中至少有一个号码为奇数有，
共个基本事件，
所以取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件，求出总的基本事件数，再求出符合题目要求结果的基本事件数，再利用古典概型求概率公式得出取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率.
14．（2024高二上·湖州期末）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于，两点，其中在第一象限，点，若，则直线的斜率为 .
【答案】
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为，，，
所以，所以，，
所以.
故答案为：.
【分析】由已知条件和中点的性质，可得，再利用代入法得出点的坐标，再由和两点求斜率公式，从而得出直线的斜率.
15．（2024高二上·湖州期末）已知为等差数列的前n项和，若，，则 ．
【答案】
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
由得，整理得①
由得，整理得②，
由①②得，
所以.
故答案为：.
【分析】先根据已知条件和等差数列的前n项和公式以及等差数列的通项公式，从而列方程组求出首项和公差，再利用等差数列的通项公式，从而得出的值.
16．（2024高二上·湖州期末）在三棱锥中，，，点在上，，为中点，则 ．
【答案】
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由已知条件得出如下图：
由图可知，，
则
，
所以.
故答案为：.
【分析】利用三角形法则和向量共线定理，从而将向量用向量表示出来，再平方结合数量积的定义，从而得出的值.
17．（2024高二上·湖州期末）已知数列是公差不为0的等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，且，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前10项和．
【答案】（1）解：设数列是公差为，等比数列的公比为，
由已知得，，
，，
所以，解得（舍去）或，
所以.
（2）解：由（1）可知，
所以，数列的前10项和为.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，从而列出关于公比、公差的方程组，解方程组得出公比的值和公差的值，再结合等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，从而得出数列和的通项公式.
（2）由（1）中数列和的通项公式得出数列的通项公式，再结合分组求和的方法，从而利用等差数列前n项和公式和等比数列前n项和公式，从而得出数列的前10项和．
（1）设数列是公差为，等比数列的公比为，
由已知得，，，，
所以，解得（舍去）或，
所以；
（2）由（2）的，
所以数列的前10项和为.
18．（2024高二上·湖州期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，且边AB上的高等于．
（1）求角A的值；
（2）若的面积为18，求边BC的长．
【答案】（1）解：因为，
由正弦定理可得：且，
则，可得，
即且，
所以.
（2）解：由的面积可得，
即，解得，
由余弦定理可得：，即，
所以，边BC的长为.
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据题意，运用正弦定理边化角和三角形中角B的取值范围，结合同角三角函数基本关系式，从而得出角A的正切值，再结合三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.
（2）根据三角形的面积公式可得关于的方程组，再解方程组得出b、c的值，再利用余弦定理得出a的值，进而得出边BC的长.
（1）因为，由正弦定理可得：，
且，则，可得，即，
且，所以.
（2）由的面积可得，
即，解得，
由余弦定理可得，即，
所以边BC的长为.
19．（2024高二上·湖州期末）已知圆O：，直线．
（1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当时，求k的值；
（2）若时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形的面积的最小值．
【答案】（1）解：当时，
由垂径定理得圆心到直线的距离为，
则，
解得.
（2）解：由题意，如图所示：
当时，直线，即，
由已知得
又因为，
所以的最小值为，
又因为四边形的面积的为，
所以四边形的面积的最小值为.
【知识点】直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得出圆心到直线距离，再利用点到直线的距离公式，从而得出k的值.
（2）将四边形的面积的最小值转化为求的最小值，再根据和OP的最小值，从而得出的最小值，再利用四边形的面积的为，从而得出四边形的面积的最小值.
（1）当时，由垂径定理得圆心到直线的距离为，
则，
解得；
（2）当时，直线，即
由已知得
又，
所以的最小值为，
又因为四边形的面积的为，所以其最小值为
20．（2024高二上·湖州期末）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，．
（1）求证：：
（2）当时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：取线段的中点，连接，
由分别时线段的中点可得
所以四点共面，
在直三棱柱中，侧面为正方形，，
则侧面也为正方形且，
所以，
则，
所以，
又因为，面，
所以面，又因为面，
所以.
（2）解：由（1）得面，又因为面，
所以，
又因为，面，
所以面，又因为，
所以面，又因为面，
所以，故两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
则，
则
设平面的一个法向量为，
则，取可得，
又因为平面的一个法向量为，
设平面与平面所成锐二面角为，
所以.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取线段的中点，连接，再利用中点作中位线的方法和中位线的性质，从而得出线线平行，则得出四点共面，再利用正方形的结构特征和相似三角形的判断方法及性质，从而得出线线垂直，再结合线线垂直证出线面垂直，再根据线面垂直的定义证出.
（2）由（1）得面，再根据线线垂直和线面垂直的推导关系，则证出两两垂直，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的一个法向量，再结合平面的一个法向量和数量积求向量夹角公式，从而得出平面与平面所成锐二面角的余弦值．
（1）取线段的中点，连接，
由分别时线段的中点可得
所以四点共面，
在直三棱柱中，侧面为正方形，，
则侧面也为正方形，
且，所以，
则，
所以，又，面，
所以面，又面，
所以；
（2）由（1）得面，又面，
所以，又，面，
所以面，又，
所以面，又面，
所哟，故两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
，
则
设平面的一个法向量为，
则，取可得，
又平面的一个法向量为，
设平面与平面所成锐二面角为
所以.
21．（2024高二上·湖州期末）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项．数列满足，数列的前n项和等于．
（1）求数列的前n项和；
（2）求数列的通项公式．
【答案】（1）解：由已知可得①，
又因为，即②
由①②得，
所以，
所以.
（2）解：因为数列的前n项和等于，
所以当时，，
所以，
又因为，
即，符合，
所以，当时，，
即，
所以数列为常数列，
所以，
则.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的通项公式；等差中项
【解析】【分析】（1）利用等比数列的通项公式，从而列关于首项和公比的方程组，进而解方程组得出首项和公比的值，再由等比数列的通项公式和等比数列前n项和公式，从而得出数列的前n项和.
(2)利用数列满足，数列的前n项和等于，再由（1）中等比数列的通项公式，从而得出，进而求出，结合常数列的定义，从而构造出数列为常数列，再结合常数列的通项公式得出数列的通项公式．
（1）由已知①，
又，即②
由①②得，
所以，
所以；
（2）因为数列的前n项和等于，
所以当时，，
所以，
又，即，符合，
所以当时，，
即，
所以数列为常数数列，
所以，
则.
22．（2024高二上·湖州期末）设双曲线C：（，）的右焦点为F，点O为坐标原点，过点F的直线与C的右支相交于A，B两点．
（1）当直线与x轴垂直，且两点的距离等于双曲线C的实轴长时，求双曲线C的离心率；
（2）若双曲线C的焦距为4，且恒成立，求双曲线C的实轴长的取值范围．
【答案】（1）解：当直线l与x轴垂直时，
令，得，解得，
所以两点的距离为，
根据题意，可得，
所以，
整理得.
（2）解：因为双曲线C的焦距为4，则，
即，，
由于直线的斜率不为零，设其方程为，
联立，
消去得，
设，
则，，
由于两点均在双曲线的右支上，
所以，
所以，即，
所以
，
由恒成立，
得当时，均有，并且不可能同向，
即，
由于，因为不等式左边是关于的增函数，
所以只需时，成立即可，
解得，
又因为，所以，
所以，双曲线C的实轴长的取值范围为.
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件和赋值法结合通径公式得出A，B两点的距离，由两点的距离等于双曲线C的实轴长，再由双曲线中a，b，c三者的关系式和双曲线的离心率公式，从而得出双曲线C的离心率.
（2）设直线的方程为，再将直线与双曲线联立，利用韦达定理和数量积的坐标表示以及恒成立，从而由函数的单调性和转化法以及一元二次不等式求解方法，则得出a的取值范围，进而得出双曲线C的实轴长的取值范围．
（1）当直线l与x轴垂直时，令得，解得，
所以两点的距离为为，
根据题意可得，
所以，
整理得；
（2）双曲线C的焦距为4，则，即，
由于直线的斜率不为零，设其方程为，
联立，消去得，
设，
则，，
由于两点均在双曲线的右支上，
所以，
所以，即
所以
，
由恒成立，得时，均有，并且不可能同向，
即，由于，
因为不等式左边是关于的增函数，
所以只需时，成立即可，
解得，又，
所以，
所以双曲线C的实轴长的取值范围为.
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