7.2.2定义与命题（2）课件(共26张PPT)

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第七章平行线的证明
7.2.2定义与命题（2）
北师大版 数学 八年级 上册
学习目标
1．了解真命题的证明，通过实例感受证明的过程与格式．
2．初步感受公理化思想，并了解本套教科书所采用的基本事实．
情景导入
命题 概念 判断一件事情的句子，叫做________ 结构 组成 条件 是________的事项
结论 是由已知事项推断出的________
结论 如果 “如果”引出的部分是________
那么 “那么”引出的部分是________
命题
已知
事项
条件
结论
情景导入
分类 真命题 正确的命题称为________命题
假命题 不正确的命题称为________命题
判断 方法 举反例 要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例
真
假
探索新知
公理与定理
一
古希腊数学家欧几里得 （Euclid，公元前300年前后）编写了一本书，书名叫做《原本》（Elements）. 为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据。
探索新知
数学名词称为原名，公认的真命题公理 (axiom).
除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断.
不需要证明
公理=基本事实
探索新知
演绎推理的过程称为证明
经过证明的真命题称为定理
每个定理都只能用公理（基本事实）、定义和已经证明为真的命题来证明
证明意义
探索新知
（1）两点确定一条直线.
（2）两点之间线段最短.
（3）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
（4）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两
条直线平行 (简述为：同位角相等，两直线平行).
（5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
（6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
（7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
（8）三边分别相等的两个三角形全等.
初中介绍到的9个基本事实，我们已经学了8个：
探索新知
此外，数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据.
例如
1）如果a=b，b=c, 那么a=c,这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换”.
2）如果a>b，b>c，那么a>c,这一性质同样可以作为证明的依据.
总结归纳
探索新知
证实其他命
题的正确性
推 理
演绎推理的过程叫证明
经过证明的真命题叫定理
原名、公理
一些条件
+
探索新知
定义、命题、基本事实(公理)、定理之间的区别与联系：
(1)联系：这四者都是命题．
(2)区别：定义、基本事实、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过基本事实是最原始的依据；而命题不一定是真命题，因而不能作为进一步判断其他命题真假的依据.
探索新知
例1 证明下面的定理：
同角（等角）的补角相等.
同角（等角）的余角相等.
（1）已知：∠B和∠C是∠A的补角,
求证：∠B=∠C
证明：∵ ∠B和∠C是∠A的补角,
∴∠B=180°-∠A，∠C=180°-∠A.
∴∠B=∠C（等量代换）.
∴同角的补角相等.
探索新知
例1 证明下面的定理：
同角（等角）的补角相等.
同角（等角）的余角相等.
（2）已知：∠A=∠B,∠C和∠D分别是∠A、∠B的补角.
求证：∠C=∠D
证明：∵ ∠C和∠D分别是∠A、∠B的补角.
∴∠C=180°-∠A，∠D=180°-∠B.
∵∠A=∠B（已知）.
∴∠C=∠D（等量代换）.
∴等角的补角相等.
探索新知
例1 证明下面的定理：
同角（等角）的补角相等.
同角（等角）的余角相等.
（3）已知：∠B和∠C是∠A的余角,
求证：∠B=∠C
证明：∵ ∠B和∠C是∠A的余角,
∴∠B=90°-∠A，∠C=90°-∠A.
∴∠B=∠C（等量代换）.
∴同角的余角相等.
探索新知
例1 证明下面的定理：
同角（等角）的补角相等.
同角（等角）的余角相等.
（4）已知：∠A=∠B,∠C和∠D分别是∠A、∠B的余角.
求证：∠C=∠D
证明：∵ ∠C和∠D分别是∠A、∠B的余角.
∴∠C=90°-∠A，∠D=90°-∠B.
∵∠A=∠B（已知）.
∴∠C=∠D（等量代换）.
∴等角的余角相等.
探索新知
①根据题意，画出图形；
②根据条件和结论，结合图形写出已知和求证；
③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.
证明的一般步骤：
总结归纳
当堂检测
1.下列命题是公理的是( )
C
A.内错角相等,两直线平行
B.对顶角相等
C.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
D.三角形任意两边之和大于第三边
当堂检测
2.在证明过程中可以作为推理依据的是( )
B
A.命题、定义、公理 B.定理、定义、公理
C.命题 D.真命题
3.“在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线”这个句子是( )
B
A.定理 B.定义
C.公理 D.命题
当堂检测
4.下面关于公理和定理的联系,说法不正确的是( )
B
A.公理和定理都是真命题
B.公理就是定理,定理也是公理
C.公理和定理都可以作为推理论证的依据
D.公理的正确性不需要证明,定理的正确性需要证明
当堂检测
5.“三角形的任意两边之和大于第三边”是______（填“定义”“公理”或
“定理”）.
定理
6.如果 ， ，那么 ，这个推理的依据是
__________________________________.
平行于同一条直线的两条直线平行
当堂检测
7.在下列括号里填上合适的推理根据.
已知：如图， ， ， 三点在一条直线上， .
求证： .
证明： ( )，
( )，
( ).
解：已知
同位角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
当堂检测
8.证明“全等三角形的对应角平分线相等”.
命题证明应有四个步骤:画出图形,写出已知、求证及证明过程.请把下列证明补完整.
图形:如图所示.
当堂检测
已知:如图,△ABC≌△A'B'C',BD,B'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线.
求证:BD=B'D'.
证明:∵△ABC≌△A'B'C',
∴AB=A'B',∠A=∠A',∠ABC=∠A'B'C'.
∵BD,B'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线,
∴∠ABD=∠ABC,∠A'B'D'=∠A'B'C'.
当堂检测
∴∠ABD=∠A'B'D'.
在△ABD和△A'B'D'中,
∴△ABD≌△A'B'D'(ASA).
∴BD=B'D'.
证明的依据
定义、公理
反映大小关系的有关性质
定理
运算和运算法则
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