浙江省金华十校2023-2024学年高二上学期1月期末调研考试数学试题
1．（2024高二上·金华期末）直线：与直线：互相平行，则（ ）
A．1 B．4 C． D．
2．（2024高二上·金华期末）已知等差数列中，，则（ ）
A．24 B．36 C．48 D．54
3．（2024高二上·金华期末）如果函数在处的导数为1，那么（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2024高二上·金华期末）过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二上·金华期末）圆C：与圆的位置关系不可能（ ）
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
6．（2024高二上·金华期末）已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高二上·金华期末）法国天文学家乔凡尼·多美尼卡·卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称为卡西尼卵形线（CassiniOval）小张同学受到启发，提出类似疑问，若平面内动点与两定点所成向量的数量积为定值，则动点的轨迹是什么呢？设定点和，动点为，若，则动点的轨迹为（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线
8．（2024高二上·金华期末）已知直线与双曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点，则当运动时，点到两点距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二上·金华期末）下列导数运算正确的（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高二上·金华期末）已知等差数列的公差为，若，，则首项的值可能是（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
11．（2024高二上·金华期末）已知抛物线的准线方程为，焦点为，点是抛物线上的两点，抛物线在两点的切线交于点，则下列结论一定正确的（ ）
A．抛物线的方程为：
B．
C．当直线过焦点时，三角形面积的最小值为1
D．若，则的最大值为
12．（2024高二上·金华期末）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，是一个八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，某玩具厂商制作一个这种形状棱长为，重量为的实心玩具，则下列说法正确的是（ ）
A．将玩具放到一个正方体包装盒内，包装盒棱长最小为.
B．将玩具放到一个球形包装盒内，包装盒的半径最小为.
C．将玩具以正三角形所在面为底面放置，该玩具的高度为.
D．将玩具放至水中，其会飘浮在水面上.
13．（2024高二上·金华期末）曲线在点处的切线斜率为 ．
14．（2024高二上·金华期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程），数列满足冰雹猜想，其递推关系为：（m为正整数），若，则所有可能的取值为 ．
15．（2024高二上·金华期末）如图，在四面体中，分别是上的点，且是和的交点，以为基底表示，则 ．
16．（2024高二上·金华期末）已知椭圆的离心率为为椭圆的一个焦点，若关于直线的对称点恰好在椭圆上，则斜率的取值构成的集合为 ．
17．（2024高二上·金华期末）在一次招聘会上，两家公司开出的工资标准分别为：公司A：第一年月工资3000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元：公司B：第一年月工资3720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增，设某人年初想从这两家公司中选择一家去工作．
（1）若此人选择在一家公司连续工作年，第年的月工资是分别为多少？
（2）若此人选择在一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多？（）．
18．（2024高二上·金华期末）如图，已知圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于的动点，圆柱的两条母线．
（1）求证：平面平面；
（2）求四棱锥体积的最大值．
19．（2024高二上·金华期末）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点斜率为的直线与圆相交于两点，
（1）求圆的方程；
（2）当时，求直线的方程．
20．（2024高二上·金华期末）如图，已知四棱锥的底面是菱形，，对角线交于点平面，平面是过直线的一个平面，与棱交于点，且．
（1）求证：；
（2）若平面交于点，求的值；
（3）若二面角的大小为，求的长．
21．（2024高二上·金华期末）已知正项数列的前项和为，且．
（1）求数列通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）若数列满足，求证：
22．（2024高二上·金华期末）已知为拋物线的焦点，为坐标原点，为的准线上一点，直线的斜率为的面积为．已知，设过点的动直线与抛物线交于两点，直线与的另一交点分别为．
（1）求拋物线的方程；
（2）当直线与的斜率均存在时，讨论直线是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：因为两直线平行，
则有，
解得，经验证此时两直线不重合.
故答案为：C.
【分析】根据两直线平行斜率相等，纵截距不相等，从而得到关于a的方程，进而解方程结合验证法得出实数a的值.
2．【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，.
故答案为：D.
【分析】由等差数列性质和等差数列前n项和公式，从而得出的值.
3．【答案】A
【知识点】极限及其运算
【解析】【解答】解：因为函数在处的导数为1，
根据导数的定义可知.
故答案为：A.
【分析】根据导数的定义和函数求极限的关系，从而得出的值.
4．【答案】C
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：由题意，设直线方程为：，
因为该直线过点，
所以，解得，
所以，所求直线方程为：.
故答案为：C.
【分析】由题意，设直线方程为：，将点代入得出m的值，从而得出过点且与直线垂直的直线方程.
5．【答案】D
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：由题意可得，圆C： ，
则其圆心，半径为；
圆，则其圆心为，半径为，
则两圆圆心距为，
故两圆可能内含，内切，相交，不可能外切，外离.
故答案为：D.
【分析】由题意可得两圆半径和圆心坐标，再由圆心距与两圆半径间关系，从而判断出两圆的位置关系.
6．【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：由题意可得，
或.
故答案为：B.
【分析】由直线方向向量与平面法向量的位置关系，从而判断出直线与平面的位置关系、两平面的位置关系，则判断出各选项，进而找出正确的选项.
7．【答案】B
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：设，以线段的中点为平面直角坐标系原点，为轴，
建立如图所示平面直角坐标系，
则，
设，则，
即，所以的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件，建立平面直角坐标系，再根据数量积的坐标表示，从而求得点的轨迹方程，再由圆的定义，从而得到动点的轨迹.
8．【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由已知条件，联立，化简并整理得，
由题意得出，化简得，
解得，
所以，过点且与垂直的直线方程为，
在该直线方程中分别令，依次解得，
所以，
即点在双曲线上面运动，双曲线的图象如图所示：
若在右支上面，可以发现点为的右焦点，
不妨设其左焦点为，
所以，
等号成立当且仅当点与点重合，其中点为线段与双曲线右支的焦点，
若在左支上面，如图所示：
所以，
当且仅当点与点重合等号成立，其中点为线段与双曲线左支的焦点，
综上所述，点到两点距离之和的最小值为.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件，联立两直线方程得出交点M的坐标，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出过点且与垂直的直线方程，进而得出直线与x轴、y轴的交点坐标，则得出点在双曲线上运动，画出双曲线的图形结合双曲线定义以及三角形三边关系，从而分类讨论得出当运动时，点到两点距离之和的最小值.
9．【答案】A,C,D
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C 正确；
对于D，，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据导数的运算法则、复合函数求导公式、基本初等函数求导公式，从而判断各选项，进而找出导数运算正确的选项.
10．【答案】B,C
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由题意，得，所以.
故答案为：BC.
【分析】根据等差数列的通项公式，建立不等式组，从而解不等式组得出首项的取值范围，进而得出首项可能的值.
11．【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A，抛物线的准线方程为，所以，解得，
所以抛物线的方程为：，故A正确；
对于B，因为点在抛物线上，所以由抛物线定义可知，故B正确；
对于C，由题意可知，抛物线焦点坐标为，显然过焦点的直线斜率存在，如图所示：
不妨取直线的方程为，且，
联立抛物线方程，得，
所以，
所以，，
点到直线的距离为，
所以三角形面积为，当且仅当等号成立，
即三角形面积的最小值为2，故C错误；
对于D，显然直线斜率存在，不妨取直线的方程为，且，如图所示：
联立抛物线方程，得，
所以，
所以，
，
因为，
所以，
解得或，
即或，
因为
，
当且仅当等号成立，解得，
此时或，且此时满足，
即，所以的最大值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由抛物线的准线，从而列方程求出参数，进而得出抛物线方程，即可判断选项A；由抛物线定义，即可判断选项B；设出直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理求弦长，再结合点到直线距离公式得出三角形的面积表达式，进一步由基本不等式求最值，即可判断选项C；设出直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理求弦长，再结合已知条件得出或，再根据余弦定理和基本不等式求最值的方法，从而可得，由此得出的最大值，即可判断选项D，进而找出结论一定正确的选项.
12．【答案】A,D
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；球内接多面体
【解析】【解答】解：将该几何体放置在如图所示的正方体中，
对于A，将玩具放到一个正方体包装盒内，包装盒棱长最小为图中正方体的棱长，
由题意，该几何的棱长为，所以正方体的棱长为，所以A正确；
对于B，将玩具放到一个球形包装盒内，包装盒的半径最小为该几何体外接球的半径，
根据正方体和多面体的对称性知，该几何体外接球直径为正方体面对角线，
即，解得，
所以包装盒的半径最小为，所以B错误；
对于C，将玩具以正三角形所在面为底面放置，该玩具的高度为两平行平面与平面的距离，证明求解过程如下：如图所示，
不妨记正方体为，，，
故四边形是平行四边形，所以，
又因为，分别为，的中点，
所以，同理，
所以，又平面，平面，
所以平面，同理平面，
又因为，，平面，
所以平面平面，
设对角线分别交平面和平面于点，，
因为平面，平面，所以，
连接，因为分别为的中点，
故，又，平面，，
所以平面，
又因为平面，所以，同理，
又因为，，平面，所以平面，
又因为平面平面，所以平面，
故即为平面与平面的距离，
则，
由正方体棱长为，得，
由题意得，为等边三角形，
故，
根据，得，
解得，根据对称性知，
所以，
则平面与平面的距离为，即该玩具的高度为，所以C错误；
对于D，该几何体的体积为，
因为玩具的密度为，小于水的密度，
所以将玩具放至水中，其会飘浮在水面上，所以D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用已知条件结合补体法，从而求得正方体棱长，即可判断选项A；利用对称性得出球的直径，即可判断x下B；利用已知条件求解出两平行平面的距离，即可判断选项C；先求出几何体的体积，再通过与水密度的大小比较，即可判断D，从而找出说法正确的选项.
13．【答案】4
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则.
故答案为：4.
【分析】利用导数的几何意义得出切线的斜率.
14．【答案】1和8
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为且，
所以或（舍去）；
或（舍去）；
或.
故答案为：1和8.
【分析】根据且，再利用递推公式得出首项可能的取值，从而得出m所有可能的取值.
15．【答案】
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：因为，所以，
同理，所以四边形为平行四边形，
所以
.
故答案为：.
【分析】由题意结合对应边成比例两直线平行和比例关系以及平行四边形的定义，从而得出四边形为平行四边形，再结合空间向量基本定理，从而以为基底表示.
16．【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：过点且与直线垂直的直线为，
由两直线的交点，从而得出点，
因为点在椭圆上，则，
，即，则，
则，所以，则或.
故答案为：.
【分析】利用已知条件，求出点关于直线的对称点的坐标，再代入到椭圆的标准方程中，则由椭圆的离心率公式建立直线斜率的方程，从而解方程得出直线斜率的取值，即得出斜率的取值构成的集合.
17．【答案】（1）解：选择在公司连续工作年，第一年月工资元，
以后每年的月工资比上一年的月工资增加元，
则他第年的月工资是：（元）
选择在公司连续工作年，第一年月工资元，
以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增，
则他第年的月工资（元）．
（2）解：若此人选择在一家公司连续工作10年，
则分别为：
公司A：
（元）；
公司B：
（元），
因为，故从公司得到的报酬较多.
【知识点】数列的求和
【解析】【分析】（1）根据已知条件，再利用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，从而分别求出在公司、第年的月工资.
（2）分别利用等差数列求和公式、等比数列求和公式，从而分别求出在公司、公司得到的报酬，再结合比较法判断出从公司得到的报酬较多.
（1）选择在公司连续工作年，第一年月工资元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加元，
则他第年的月工资是：（元）；
选择在公司连续工作年，第一年月工资元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增．
则他第年的月工资（元）．
（2）若此人选择在一家公司连续工作10年，则在公司、公司得到的报酬分别为：
公司A：
（元）．
公司B：（元），
因为，故从公司得到的报酬较多.
18．【答案】（1）证明：如图所示，
为圆柱的母线，平面，
又因为平面①，
是下底面圆的直径，②，
①②和平面 ，平面，
平面，
又因为平面平面平面．
（2）解：在中，
设，则，，
当且仅当时，不等式取“=”号，
故的最大值为18．
【知识点】平面与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据圆柱的结构特征得出线面垂直，再由线面垂直的定义证出线线垂直，再根据圆的直径对应的圆周角为直角的性质证出线线垂直，则由线线垂直证出线面垂直，从而根据线面垂直证出面面垂直，即证出平面平面.
（2）利用已知条件和勾股定理以及四棱锥的体积公式，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出四棱锥体积的最大值．
（1）为圆柱的母线，平面，
又平面．①
是下底面圆的直径，．②
①②及平面 ，平面，
平面，又平面平面平面．
（2）在中，设，则，
．
当且仅当时，不等式取“=”号．
故的最大值为18．
19．【答案】（1）解：设圆的半径为，
圆与直线相切，
，
所以，圆的标准方程为．
（2）解：设直线的方程为，即，
设点是的中点，连接，
则，
则，
由，得，
解得或，
所以，直线的方程为或．
【知识点】直线的一般式方程；圆的标准方程；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）利用直线与圆相切，得出圆心到直线的距离等于半径，从而得出所求圆A的标准方程.
（2）设点是的中点，连接，则，再利用勾股定理求得的值，再根据圆心到直线的距离，建立关于直线斜率的方程，从而解方程得出直线的斜率，进而得出直线的方程．
（1）设圆的半径为，
圆与直线相切，
，
所以圆的方程为．
（2）设直线的方程为，即，
设点是的中点，连接，则，
则，
又由，得，
解得或
所以直线的方程为或．
20．【答案】（1）证明：因为四棱锥的底面是菱形，，
又因为平面，平面，
则平面，
因为平面平面，平面，
所以.
（2）解：因为平面，平面，得平面平面，
又因为，平面，则平面，
又因为平面，则，即三点共线，
由平面，平面，则，
如图所示，在中，过点作的垂线，垂足为，
则，设，
由，得，，，
则，
所以，即．
（3）解：过点作于点，连接，
由平面，平面，
则，又因为平面，
则平面，而平面，于是，
则为二面角的平面角，即，
在菱形中，由，得，则，
由（2）得，所以.
【知识点】直线与平面平行的性质；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）根据菱形的结构特征得出线线平行，利用线线平行证出线面平行，再根据线面平行的性质定理证出线线平行，从而证出.
（2）利用平面的基本事实证出三点共线，作于，再利用两直线平行对应边成比例，从而推理计算得出的值.
（3）过点作于点，连接，利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而作出二面角的平面角，再结合菱形的结构特征和（2）中的值，从而可得的长.
（1）四棱锥的底面是菱形，，又平面，平面，则平面，
而平面平面，平面，
所以.
（2）由平面，平面，得平面平面，
而，平面，于是平面，又平面，
则，即三点共线，由平面，平面，则，
如图，在中，过点作的垂线，垂足为，于是，
设，由，得，，，
从而，所以，即．
（3） 过点作于点，连接，
由平面，平面，则，而平面，
则平面，而平面，于是，
则有为二面角的平面角，即，
在菱形中，由，得，则，
由（2）得，所以.
21．【答案】（1）解：当时，．①，
②，
①-②得：，
当时，也符合上式，
所以.
（2）解：，
，
．
（3）证明：，③
，④
③-④得：，
，
，
，
，
故.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）由结合的关系式，再利用分类讨论的方法和检验法，从而得出数列的通项公式.
（2）利用（1）中数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合裂项相消的方法，从而得出数列的前项和.
（3）利用已知条件和（1）中数列的通项公式得出，从而得出，联立两式作差得出，再利用分组求和法和基本不等式求最值的方法，从而证出不等式成立.
（1）当时，．①，
②，
①-②得：，
当时，也符合上式，
所以；
（2），
，
，
．
（3），③
，④
③-④得：，
，
，
，
．
故.
22．【答案】（1）解：设准线与轴的交点为，如图所示：
因为直线的斜率为，所以，又因为，
所以，解得，
则抛物线的方程为：；
（2）解：设，过点的直线方程为：，
则联立，消元整理可得，满足，
由韦达定理可得：，
设，则直线斜率为，
则直线方程为，即的直线方程为：，
由三点共线可得：，即，
所以，
所以，因为，所以化简可得：，
同理，由三点共线可得：，
可得，
，
综上可得的直线方程为：，
变形可得：，所以直线过定点．
【知识点】三点共线；恒过定点的直线；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意得，，结合的面积为列方程求解即可；
（2）设，，联立直线与抛物线方程，消元整理，由韦达定理可得，设，则，结合三点共线得，同理，得出关于的表达式求解即可.
（1）
设准线与轴的交点为，
直线的斜率为，又，
．
故抛物线的方程为：．
（2）设，过点的直线方程为：．
则联立，整理得：，
由韦达定理可得：．
又设，
所以直线斜率为，
直线方程为，即的直线方程为：，
由三点共线可得：，即，
所以，
所以，因为，所以化简可得：，
同理，由三点共线可得：，
可得，
，
综上可得的直线方程为：，
变形可得：，所以直线过定点．
1 / 1浙江省金华十校2023-2024学年高二上学期1月期末调研考试数学试题
1．（2024高二上·金华期末）直线：与直线：互相平行，则（ ）
A．1 B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：因为两直线平行，
则有，
解得，经验证此时两直线不重合.
故答案为：C.
【分析】根据两直线平行斜率相等，纵截距不相等，从而得到关于a的方程，进而解方程结合验证法得出实数a的值.
2．（2024高二上·金华期末）已知等差数列中，，则（ ）
A．24 B．36 C．48 D．54
【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，.
故答案为：D.
【分析】由等差数列性质和等差数列前n项和公式，从而得出的值.
3．（2024高二上·金华期末）如果函数在处的导数为1，那么（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【知识点】极限及其运算
【解析】【解答】解：因为函数在处的导数为1，
根据导数的定义可知.
故答案为：A.
【分析】根据导数的定义和函数求极限的关系，从而得出的值.
4．（2024高二上·金华期末）过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：由题意，设直线方程为：，
因为该直线过点，
所以，解得，
所以，所求直线方程为：.
故答案为：C.
【分析】由题意，设直线方程为：，将点代入得出m的值，从而得出过点且与直线垂直的直线方程.
5．（2024高二上·金华期末）圆C：与圆的位置关系不可能（ ）
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
【答案】D
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：由题意可得，圆C： ，
则其圆心，半径为；
圆，则其圆心为，半径为，
则两圆圆心距为，
故两圆可能内含，内切，相交，不可能外切，外离.
故答案为：D.
【分析】由题意可得两圆半径和圆心坐标，再由圆心距与两圆半径间关系，从而判断出两圆的位置关系.
6．（2024高二上·金华期末）已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：由题意可得，
或.
故答案为：B.
【分析】由直线方向向量与平面法向量的位置关系，从而判断出直线与平面的位置关系、两平面的位置关系，则判断出各选项，进而找出正确的选项.
7．（2024高二上·金华期末）法国天文学家乔凡尼·多美尼卡·卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称为卡西尼卵形线（CassiniOval）小张同学受到启发，提出类似疑问，若平面内动点与两定点所成向量的数量积为定值，则动点的轨迹是什么呢？设定点和，动点为，若，则动点的轨迹为（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线
【答案】B
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：设，以线段的中点为平面直角坐标系原点，为轴，
建立如图所示平面直角坐标系，
则，
设，则，
即，所以的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件，建立平面直角坐标系，再根据数量积的坐标表示，从而求得点的轨迹方程，再由圆的定义，从而得到动点的轨迹.
8．（2024高二上·金华期末）已知直线与双曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点，则当运动时，点到两点距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由已知条件，联立，化简并整理得，
由题意得出，化简得，
解得，
所以，过点且与垂直的直线方程为，
在该直线方程中分别令，依次解得，
所以，
即点在双曲线上面运动，双曲线的图象如图所示：
若在右支上面，可以发现点为的右焦点，
不妨设其左焦点为，
所以，
等号成立当且仅当点与点重合，其中点为线段与双曲线右支的焦点，
若在左支上面，如图所示：
所以，
当且仅当点与点重合等号成立，其中点为线段与双曲线左支的焦点，
综上所述，点到两点距离之和的最小值为.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件，联立两直线方程得出交点M的坐标，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出过点且与垂直的直线方程，进而得出直线与x轴、y轴的交点坐标，则得出点在双曲线上运动，画出双曲线的图形结合双曲线定义以及三角形三边关系，从而分类讨论得出当运动时，点到两点距离之和的最小值.
9．（2024高二上·金华期末）下列导数运算正确的（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C 正确；
对于D，，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据导数的运算法则、复合函数求导公式、基本初等函数求导公式，从而判断各选项，进而找出导数运算正确的选项.
10．（2024高二上·金华期末）已知等差数列的公差为，若，，则首项的值可能是（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】B,C
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由题意，得，所以.
故答案为：BC.
【分析】根据等差数列的通项公式，建立不等式组，从而解不等式组得出首项的取值范围，进而得出首项可能的值.
11．（2024高二上·金华期末）已知抛物线的准线方程为，焦点为，点是抛物线上的两点，抛物线在两点的切线交于点，则下列结论一定正确的（ ）
A．抛物线的方程为：
B．
C．当直线过焦点时，三角形面积的最小值为1
D．若，则的最大值为
【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A，抛物线的准线方程为，所以，解得，
所以抛物线的方程为：，故A正确；
对于B，因为点在抛物线上，所以由抛物线定义可知，故B正确；
对于C，由题意可知，抛物线焦点坐标为，显然过焦点的直线斜率存在，如图所示：
不妨取直线的方程为，且，
联立抛物线方程，得，
所以，
所以，，
点到直线的距离为，
所以三角形面积为，当且仅当等号成立，
即三角形面积的最小值为2，故C错误；
对于D，显然直线斜率存在，不妨取直线的方程为，且，如图所示：
联立抛物线方程，得，
所以，
所以，
，
因为，
所以，
解得或，
即或，
因为
，
当且仅当等号成立，解得，
此时或，且此时满足，
即，所以的最大值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由抛物线的准线，从而列方程求出参数，进而得出抛物线方程，即可判断选项A；由抛物线定义，即可判断选项B；设出直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理求弦长，再结合点到直线距离公式得出三角形的面积表达式，进一步由基本不等式求最值，即可判断选项C；设出直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理求弦长，再结合已知条件得出或，再根据余弦定理和基本不等式求最值的方法，从而可得，由此得出的最大值，即可判断选项D，进而找出结论一定正确的选项.
12．（2024高二上·金华期末）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，是一个八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，某玩具厂商制作一个这种形状棱长为，重量为的实心玩具，则下列说法正确的是（ ）
A．将玩具放到一个正方体包装盒内，包装盒棱长最小为.
B．将玩具放到一个球形包装盒内，包装盒的半径最小为.
C．将玩具以正三角形所在面为底面放置，该玩具的高度为.
D．将玩具放至水中，其会飘浮在水面上.
【答案】A,D
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；球内接多面体
【解析】【解答】解：将该几何体放置在如图所示的正方体中，
对于A，将玩具放到一个正方体包装盒内，包装盒棱长最小为图中正方体的棱长，
由题意，该几何的棱长为，所以正方体的棱长为，所以A正确；
对于B，将玩具放到一个球形包装盒内，包装盒的半径最小为该几何体外接球的半径，
根据正方体和多面体的对称性知，该几何体外接球直径为正方体面对角线，
即，解得，
所以包装盒的半径最小为，所以B错误；
对于C，将玩具以正三角形所在面为底面放置，该玩具的高度为两平行平面与平面的距离，证明求解过程如下：如图所示，
不妨记正方体为，，，
故四边形是平行四边形，所以，
又因为，分别为，的中点，
所以，同理，
所以，又平面，平面，
所以平面，同理平面，
又因为，，平面，
所以平面平面，
设对角线分别交平面和平面于点，，
因为平面，平面，所以，
连接，因为分别为的中点，
故，又，平面，，
所以平面，
又因为平面，所以，同理，
又因为，，平面，所以平面，
又因为平面平面，所以平面，
故即为平面与平面的距离，
则，
由正方体棱长为，得，
由题意得，为等边三角形，
故，
根据，得，
解得，根据对称性知，
所以，
则平面与平面的距离为，即该玩具的高度为，所以C错误；
对于D，该几何体的体积为，
因为玩具的密度为，小于水的密度，
所以将玩具放至水中，其会飘浮在水面上，所以D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用已知条件结合补体法，从而求得正方体棱长，即可判断选项A；利用对称性得出球的直径，即可判断x下B；利用已知条件求解出两平行平面的距离，即可判断选项C；先求出几何体的体积，再通过与水密度的大小比较，即可判断D，从而找出说法正确的选项.
13．（2024高二上·金华期末）曲线在点处的切线斜率为 ．
【答案】4
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则.
故答案为：4.
【分析】利用导数的几何意义得出切线的斜率.
14．（2024高二上·金华期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程），数列满足冰雹猜想，其递推关系为：（m为正整数），若，则所有可能的取值为 ．
【答案】1和8
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为且，
所以或（舍去）；
或（舍去）；
或.
故答案为：1和8.
【分析】根据且，再利用递推公式得出首项可能的取值，从而得出m所有可能的取值.
15．（2024高二上·金华期末）如图，在四面体中，分别是上的点，且是和的交点，以为基底表示，则 ．
【答案】
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：因为，所以，
同理，所以四边形为平行四边形，
所以
.
故答案为：.
【分析】由题意结合对应边成比例两直线平行和比例关系以及平行四边形的定义，从而得出四边形为平行四边形，再结合空间向量基本定理，从而以为基底表示.
16．（2024高二上·金华期末）已知椭圆的离心率为为椭圆的一个焦点，若关于直线的对称点恰好在椭圆上，则斜率的取值构成的集合为 ．
【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：过点且与直线垂直的直线为，
由两直线的交点，从而得出点，
因为点在椭圆上，则，
，即，则，
则，所以，则或.
故答案为：.
【分析】利用已知条件，求出点关于直线的对称点的坐标，再代入到椭圆的标准方程中，则由椭圆的离心率公式建立直线斜率的方程，从而解方程得出直线斜率的取值，即得出斜率的取值构成的集合.
17．（2024高二上·金华期末）在一次招聘会上，两家公司开出的工资标准分别为：公司A：第一年月工资3000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元：公司B：第一年月工资3720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增，设某人年初想从这两家公司中选择一家去工作．
（1）若此人选择在一家公司连续工作年，第年的月工资是分别为多少？
（2）若此人选择在一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多？（）．
【答案】（1）解：选择在公司连续工作年，第一年月工资元，
以后每年的月工资比上一年的月工资增加元，
则他第年的月工资是：（元）
选择在公司连续工作年，第一年月工资元，
以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增，
则他第年的月工资（元）．
（2）解：若此人选择在一家公司连续工作10年，
则分别为：
公司A：
（元）；
公司B：
（元），
因为，故从公司得到的报酬较多.
【知识点】数列的求和
【解析】【分析】（1）根据已知条件，再利用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，从而分别求出在公司、第年的月工资.
（2）分别利用等差数列求和公式、等比数列求和公式，从而分别求出在公司、公司得到的报酬，再结合比较法判断出从公司得到的报酬较多.
（1）选择在公司连续工作年，第一年月工资元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加元，
则他第年的月工资是：（元）；
选择在公司连续工作年，第一年月工资元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增．
则他第年的月工资（元）．
（2）若此人选择在一家公司连续工作10年，则在公司、公司得到的报酬分别为：
公司A：
（元）．
公司B：（元），
因为，故从公司得到的报酬较多.
18．（2024高二上·金华期末）如图，已知圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于的动点，圆柱的两条母线．
（1）求证：平面平面；
（2）求四棱锥体积的最大值．
【答案】（1）证明：如图所示，
为圆柱的母线，平面，
又因为平面①，
是下底面圆的直径，②，
①②和平面 ，平面，
平面，
又因为平面平面平面．
（2）解：在中，
设，则，，
当且仅当时，不等式取“=”号，
故的最大值为18．
【知识点】平面与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据圆柱的结构特征得出线面垂直，再由线面垂直的定义证出线线垂直，再根据圆的直径对应的圆周角为直角的性质证出线线垂直，则由线线垂直证出线面垂直，从而根据线面垂直证出面面垂直，即证出平面平面.
（2）利用已知条件和勾股定理以及四棱锥的体积公式，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出四棱锥体积的最大值．
（1）为圆柱的母线，平面，
又平面．①
是下底面圆的直径，．②
①②及平面 ，平面，
平面，又平面平面平面．
（2）在中，设，则，
．
当且仅当时，不等式取“=”号．
故的最大值为18．
19．（2024高二上·金华期末）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点斜率为的直线与圆相交于两点，
（1）求圆的方程；
（2）当时，求直线的方程．
【答案】（1）解：设圆的半径为，
圆与直线相切，
，
所以，圆的标准方程为．
（2）解：设直线的方程为，即，
设点是的中点，连接，
则，
则，
由，得，
解得或，
所以，直线的方程为或．
【知识点】直线的一般式方程；圆的标准方程；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）利用直线与圆相切，得出圆心到直线的距离等于半径，从而得出所求圆A的标准方程.
（2）设点是的中点，连接，则，再利用勾股定理求得的值，再根据圆心到直线的距离，建立关于直线斜率的方程，从而解方程得出直线的斜率，进而得出直线的方程．
（1）设圆的半径为，
圆与直线相切，
，
所以圆的方程为．
（2）设直线的方程为，即，
设点是的中点，连接，则，
则，
又由，得，
解得或
所以直线的方程为或．
20．（2024高二上·金华期末）如图，已知四棱锥的底面是菱形，，对角线交于点平面，平面是过直线的一个平面，与棱交于点，且．
（1）求证：；
（2）若平面交于点，求的值；
（3）若二面角的大小为，求的长．
【答案】（1）证明：因为四棱锥的底面是菱形，，
又因为平面，平面，
则平面，
因为平面平面，平面，
所以.
（2）解：因为平面，平面，得平面平面，
又因为，平面，则平面，
又因为平面，则，即三点共线，
由平面，平面，则，
如图所示，在中，过点作的垂线，垂足为，
则，设，
由，得，，，
则，
所以，即．
（3）解：过点作于点，连接，
由平面，平面，
则，又因为平面，
则平面，而平面，于是，
则为二面角的平面角，即，
在菱形中，由，得，则，
由（2）得，所以.
【知识点】直线与平面平行的性质；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）根据菱形的结构特征得出线线平行，利用线线平行证出线面平行，再根据线面平行的性质定理证出线线平行，从而证出.
（2）利用平面的基本事实证出三点共线，作于，再利用两直线平行对应边成比例，从而推理计算得出的值.
（3）过点作于点，连接，利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而作出二面角的平面角，再结合菱形的结构特征和（2）中的值，从而可得的长.
（1）四棱锥的底面是菱形，，又平面，平面，则平面，
而平面平面，平面，
所以.
（2）由平面，平面，得平面平面，
而，平面，于是平面，又平面，
则，即三点共线，由平面，平面，则，
如图，在中，过点作的垂线，垂足为，于是，
设，由，得，，，
从而，所以，即．
（3） 过点作于点，连接，
由平面，平面，则，而平面，
则平面，而平面，于是，
则有为二面角的平面角，即，
在菱形中，由，得，则，
由（2）得，所以.
21．（2024高二上·金华期末）已知正项数列的前项和为，且．
（1）求数列通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）若数列满足，求证：
【答案】（1）解：当时，．①，
②，
①-②得：，
当时，也符合上式，
所以.
（2）解：，
，
．
（3）证明：，③
，④
③-④得：，
，
，
，
，
故.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）由结合的关系式，再利用分类讨论的方法和检验法，从而得出数列的通项公式.
（2）利用（1）中数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合裂项相消的方法，从而得出数列的前项和.
（3）利用已知条件和（1）中数列的通项公式得出，从而得出，联立两式作差得出，再利用分组求和法和基本不等式求最值的方法，从而证出不等式成立.
（1）当时，．①，
②，
①-②得：，
当时，也符合上式，
所以；
（2），
，
，
．
（3），③
，④
③-④得：，
，
，
，
．
故.
22．（2024高二上·金华期末）已知为拋物线的焦点，为坐标原点，为的准线上一点，直线的斜率为的面积为．已知，设过点的动直线与抛物线交于两点，直线与的另一交点分别为．
（1）求拋物线的方程；
（2）当直线与的斜率均存在时，讨论直线是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：设准线与轴的交点为，如图所示：
因为直线的斜率为，所以，又因为，
所以，解得，
则抛物线的方程为：；
（2）解：设，过点的直线方程为：，
则联立，消元整理可得，满足，
由韦达定理可得：，
设，则直线斜率为，
则直线方程为，即的直线方程为：，
由三点共线可得：，即，
所以，
所以，因为，所以化简可得：，
同理，由三点共线可得：，
可得，
，
综上可得的直线方程为：，
变形可得：，所以直线过定点．
【知识点】三点共线；恒过定点的直线；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意得，，结合的面积为列方程求解即可；
（2）设，，联立直线与抛物线方程，消元整理，由韦达定理可得，设，则，结合三点共线得，同理，得出关于的表达式求解即可.
（1）
设准线与轴的交点为，
直线的斜率为，又，
．
故抛物线的方程为：．
（2）设，过点的直线方程为：．
则联立，整理得：，
由韦达定理可得：．
又设，
所以直线斜率为，
直线方程为，即的直线方程为：，
由三点共线可得：，即，
所以，
所以，因为，所以化简可得：，
同理，由三点共线可得：，
可得，
，
综上可得的直线方程为：，
变形可得：，所以直线过定点．
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