浙江省金华市第一中学2023-2024学年高二上学期期末数学试题
1．（2024高二上·金华期末）空间直角坐标系中，点是点在坐标平面内的射影，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】解：由点是点在坐标平面内的射影可得，
则.
故答案为：A.
【分析】由射影的定义求出点B坐标，再利用向量求模公式得出的值.
2．（2024高二上·金华期末）椭圆：的左焦点为，椭圆上的点与关于坐标原点对称，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】解：令椭圆C的右焦点，依题意，线段与互相平分，
于是得四边形为平行四边形，
因此，而椭圆：的长半轴长，
所以.
故答案为：D.
【分析】令椭圆C的右焦点，由已知条件和平行四边形的定义，从而判断出四边形为平行四边形，再利用椭圆的标准方程得出长半轴长，则根据椭圆的得出的值.
3．（2024高二上·金华期末）等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B．8 C．1或 D．或
【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，
因为，所以，
即，解得或，
所以或.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和等比数列的前项和公式以及等比数列通项公式，从而建立公比的方程，解方程得出公比的值，再根据等比数列的性质得出的值.
4．（2024高二上·金华期末）攒（cuán）尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁或园林式建筑．下图是一顶圆形攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥轴的截面）是底边长为，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的面积约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：轴截面如图，其中，，
所以，
所以，
所以，圆锥的侧面积，
所以，该屋顶的面积约为.
故答案为：B.
【分析】由轴截面三角形和已知条件，从而可得圆锥底面半径，由余弦函数的定义得出母线长，再根据圆锥的侧面积公式得出该屋顶的面积.
5．（2024高二上·金华期末）已知圆：，点，则点到圆上点的最小距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由圆：，
得出圆，半径为，
所以
，
所以，点到圆上点的最小距离为.
故答案为：C.
【分析】利用圆的标准方程得出圆的圆心坐标和半径长，结合两点距离公式和二次函数的图象求最值的方法，从而求出的最小值，再结合圆外一点到圆上点的距离最小值的方法，进而得出点到圆上点的最小距离.
6．（2024高二上·金华期末）直线与曲线相切，且与圆相切，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】设直线在曲线上的切点为，
则，解得，故切点坐标为，
将代入直线中，解得，
所以直线方程为，即，
又与圆相切，
则，
故答案为：B
【分析】 设切点为，利用导数的几何意义列式求出切点坐标，进而求出直线方程，然后由点到直线的距离等于半径，列式求解即可得答案.
7．（2024高二上·金华期末）在数列中，，若，，则n的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由，得，
所以，
所以，又因为，
所以，
又因为满足，所以，
由，解得.
故答案为：B.
【分析】根据题意和递推公式变形，可得，再利用累加法和检验法可得数列的通项公式，结合求出n的值.
8．（2024高二上·金华期末）已知，是双曲线的左、右焦点，点A是的左顶点，为坐标原点，以为直径的圆交的一条渐近线于、两点，以为直径的圆与轴交于两点，且平分，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由圆的性质可知，，，所以，
因为，所以
又因为平分，所以，
由，得，
所以，即
所以
故答案为：B
【分析】由圆的性质得出，，再由平分，得到，求得，进而得到，结合双曲线的离心率的定义，即可求解.
9．（2024高二上·金华期末）已知点椭圆上一点，椭圆的焦点是，则下列说法中正确的是（ ）
A．椭圆的长轴长是9
B．椭圆焦距是
C．存在使得
D．三角形的面积的最大值是
【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的简单性质；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，
所以.
对于A：因为，所以长轴为，所以A错误；
对于B：因为，所以焦距为，所以B正确；
对于C：当取到上顶点时此时取到最大值，
此时，，
所以，
所以此时为钝角，
所以存在使得，所以C正确；
对于D：当取到上顶点时此时三角形的面积取到最大值，
此时，所以D正确，
故答案为：BCD.
【分析】将椭圆方程化为标准方程，从而得出a，b的值，再由椭圆长轴长定义，从而判断出选项A；利用椭圆中a，b，c三者的关系式得出c的值，从而得出椭圆的焦距，则判断出选项B；当取到上顶点时此时取到最大值，再结合焦距的定义，从而得出此时，的长，再根据余弦定理和三角函数值在各象限的符号，则存在使得，从而判断出选项C；当取到上顶点时此时三角形的面积取到最大值，再结合三角形的面积公式得出此时的三角形的面积的最大值，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
10．（2024高二上·金华期末）等差数列的前项和为，，，则（ ）
A．数列是递减数列 B．
C．是中最小项 D．
【答案】B,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
由，得，
解得，因为，所以.
对于A：由，得等差数列为递增数列，故A错误；
对于B：因为，故B正确；
对于C：因为，
又因为，由二次函数的性质可知：
当或时，取到最小值，即为中最小项，故C正确；
对于D：因为，，
由，得，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据已知条件和等差数列的前n项求和公式可得，，再结合公差的正负和函数的单调性，从而判断出数列的单调性，则判断出选项A；利用等差数列的通项公式判断出选项B；利用等差数列前n项和公式和，再结合二次函数的图象的对称性和开口方向，则得出的最小项，则判断出选项C；利用等差数列前n项和公式和公差的正负，则比较出的大小，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
11．（2024高二上·金华期末）如图，正方体的棱长为2，分别为的中点．则下列结论正确的是（ ）
A．直线与平面垂直 B．直线与平面平行
C．三棱锥的体积为 D．点到平面的距离为
【答案】B,C,D
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图所示，以D点为坐标原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以为z轴，
建立空间直角坐标系，
则 .
对于A， ，
设平面AEF的法向量为 ，则 ，可取 ，
又因为与不平行，故直线与平面不垂直，故A错；
对于B，因为 ， 平面AEF的法向量为，
所以，不在平面内，
故直线与平面平行，故B正确；
对于C，因为 ，故C正确；
对于D，因为 ， 平面AEF的法向量为，
故点到平面的距离为 ，故D正确，
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件，建立空间直角坐标系，从而求出相关各点坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再利用数量积的坐标表示求出平面的法向量，再根据与不平行，故直线与平面不垂直，则判断出选项A；利用 和平面AEF的法向量以及两向量垂直数量积为0的等价关系，所以直线与平面平行，则判断出选项B；利用等体积法和三棱锥的体积公式，则判断出选项C；利用 和平面AEF的法向量，再结合数量积求出点到平面的距离，则判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
12．（2024高二上·金华期末）已知抛物线，点，，过点的直线交抛物线与两点，设，，下列说法正确的有（ ）
A． B．的最小值为
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设直线的方程为，
由，消去整理，得，
因为直线交抛物线与两点，设，，
所以，，故A正确；
因为
，当m=0时等号成立，故B正确；
，
同理，可得，
则
，故C不正确；
因为
，即，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】设直线的方程为，再将直线方程与抛物线方程联立，则消去，得出， 设，， 再由韦达定理判断出选项A；利用弦长公式和韦达定理以及二次函数的图象求最值的方法，则判断出选项B；利用两点距离公式，从而化简判断出选项C；利用两点求斜率公式和直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，则判断出直线的倾斜角之间的关系，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
13．（2024高二上·金华期末）直线的倾斜角的是 ．
【答案】
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】设直线的倾斜角为，
因为直线的斜率，即，
因为，所以，
故答案为：.
【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可求解.
14．（2024高二上·金华期末）已知函数，则 .
【答案】
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：由于，
所以，解得，
所以，则，
所以.
故答案为：.
【分析】利用导数的运算法则得出函数的导函数，再利用赋值法求出的值，即可得函数的解析式，再利用代入法，从而求得的值.
15．（2024高二上·金华期末）九连环是我国古代流传至今的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环，移动圆环的次数决定解开圆环的个数.在某种玩法中，推广到m连环，用表示解下个圆环所需的最少移动次数，若数列满足：，且，则解下n（n为偶数）个圆环所需的最少移动次数 .（用含n的式子表示）
【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为当n为偶数时，
则当时，，即，
又因为，
所以数列是以为首项，4为公比的等比数列，
故，
所以.
故答案为：.
【分析】根据数列的通项公式得到递推公式，即，再由递推公式变形和等比数列的定义，则判断出数列是以为首项，4为公比的等比数列，再结合等比数列的通项公式得出解下n（n为偶数）个圆环所需的最少移动次数.
16．（2024高二上·金华期末）已知在平面直角坐标系xOy中，，动点P满足则P点的轨迹Γ为圆 ，过点A的直线交圆Γ于两点C，D，且，则 .
【答案】；
【知识点】平面内中点坐标公式；平面内两点间的距离公式；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：设，则，整理得到，
即；
因为，故点为的中点，
过圆心作的垂线，垂足为，
则为的中点，则，
故，
解得.
故答案为：，.
【分析】设，再根据和两点距离公式，从而可得圆的标准方程；利用中点的性质和垂线的性质，再由垂径定理得出的值.
17．（2024高二上·金华期末）已知数列中，，且
（1）求证：数列是等差数列，并求出；
（2）数列前项和为，求．
【答案】（1）证明：因为，
是以为首项，为公差的等差数列，
，
.
（2）解：因为，
所以，
，
.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件和递推关系变形，结合等差数列的定义证出数列是等差数列，再利用等差数列的通项公式得出.
（2）利用已知条件和错位相减法，从而可求出.
（1）因为，
是以为首项，为公差的等差数列，
，.
（2），
，
，
.
18．（2024高二上·金华期末）如图，直三棱柱中，，，是棱的中点，
（1）求异面直线所成角的余弦值；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）解：以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
所以，
所以，直线所成角的余弦值为.
（2）解：设为平面的一个法向量，
则 ，
，
同理，
则，
可取平面的一个法向量为，
则，
由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为 .
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)利用已知条件，建立空间直角坐标系，从而求出相关各点的坐标，则求出的坐标，再利用数量积求向量的夹角公式，则得出直线所成角的余弦值.
(2)利用已知条件和两向量垂直数量积为0的等价关系，利用数量积的坐标表示求出平面和平面的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式和二面角为锐角，从而得出二面角的余弦值.
（1）以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
所以，
所以直线所成角的余弦值为；
（2）设为平面的一个法向量， ，
则 ，
，
同理，
则，
可取平面的一个法向量为，
则，
由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为 .
19．（2024高二上·金华期末）已知椭圆经过点，．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线的倾斜角为锐角，与圆相切，与椭圆交于、两点，且的面积为，求直线的方程．
【答案】（1）解：椭圆经过点，．
则，
解得，
所以，椭圆C的方程为：.
（2）解：设直线l的方程为：，
与圆相切，
，
设点，联立直线与椭圆方程，即，
，
则，
，
，
，
，
又因为，，，
，，
故，
所以，直线的方程为：.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)将点M、N的坐标代入椭圆方程，从而建立a，b的方程组，再解方程组得出a，b的值，从而得出椭圆C的方程.
(2)设直线l的方程为：，，根据直线与圆的位置关系可得，再将直线方程和椭圆方程联立并消去y，利用韦达定理表示出，再根据三角形的面积公式得出，由弦长公式表示出，进而列出关于k的方程，解方程得出直线的斜率，从而得出m的值，进而得出直线l的方程.
（1）椭圆经过点，．
则，解得，
（2）设l的方程为：
与圆相切
设点，
，
则，
，
，
，
，
，，
，，，
故，
20．（2024高二上·金华期末）如图，在四棱锥S ABCD中，底面ABCD为矩形，，AB=2，，平面，，，E是SA的中点．
（1）求直线EF与平面SCD所成角的正弦值；
（2）在直线SC上是否存在点M，使得平面MEF平面SCD？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解： 分别取AB，BC中点M，N，则，
又因为平面则两两互相垂直，
以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
所以，
设平面SCD的一个法向量为，
，
，
，
则，
，
所以，直线EF与平面SBC所成角的正弦值为.
（2）解：假设存在点M，使得平面MEF平面SCD，
， ，
设平面MEF的一个法向量，
，
令，则，
平面MEF平面SCD，
，
，
存在点，此时M与S重合.
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）分别取AB，BC中点M，N，易证两两互相垂直，以为正交基底，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示得出平面SCD的一个法向量，由数量积求向量公式和两角互余的关系以及诱导公式，从而求出直线EF与平面SBC所成角的正弦值.
（2）假设存在点M，使得平面MEF平面SCD，利用向量共线的坐标表示和三角形法则以及向量加法的运算法则，从而表示出，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求得平面MEF的一个法向量，结合面面垂直得出线线垂直，再根据两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出直线SC上存在点M，使得平面MEF平面SCD.
（1）解：分别取AB，BC中点M，N，则，
又平面则两两互相垂直，
以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
所以，
设平面SCD的一个法向量为，
，，
则，
，
直线EF与平面SBC所成角的正弦值为.
（2）假设存在点M，使得平面MEF平面SCD，
，
，
设平面MEF的一个法向量，
，
令，则，
平面MEF平面SCD，
，
，
存在点，此时M与S重合.
21．（2024高二上·金华期末）已知数列的前项和为，且.
（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求使得的最小正整数.
【答案】（1）证明：因为，所以①
当时，，所以；
当时，②
由①-②得，即，
则，因为，
所以数列构成以1为首项，3为公比的等比数列，
则，所以.
（2）解：因为，，
所以，数列的前项和为：，
所以，数列的前项和为：
，
，
所以，数列单调递增，
，
所以，使得最小正整数为4.
【知识点】函数单调性的性质；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件和与的关系式，从而得出，再由递推公式变形和等比数列的定义，从而证出数列是等比数列，再由等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）利用（1）中数列的通项公式得出数列的通项公式，结合分组求和可得，再判断出数列的单调性，则由数列的单调性得出满足的最小正整数的值.
（1）因为，所以①
当时，，所以；
当时，②
①-②得，即，
则，而，
所以数列构成以1为首项，3为公比的等比数列，
则，所以.
（2），，
的前项和
的前项和
单调递增且，
所以使得最小正整数为4.
22．（2024高二上·金华期末）已知双曲线过点，且的渐近线方程为．
（1）求的方程；
（2）如图，过原点作互相垂直的直线，分别交双曲线于，两点和，两点，，在轴同侧．
①求四边形面积的取值范围；
②设直线与两渐近线分别交于，两点，是否存在直线使，为线段的三等分点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解： 由题意得，则，
将点代入双曲线方程得，
联立解得，
故的方程为.
（2）解：①由已知可知直线，的斜率均存在且不为，
设，
再设的方程为，则的方程为，
联立，消整理得，
因为直线与双曲线交于两点，故且，则
则，
则，
联立，消整理得，
因为直线与双曲线交于两点，
故且，解得，
则，
则，
根据对称性可知四边形为菱形，
则四边形ACBD面积
，
，
∴，
∴，
∴，
.
②假设满足题意的直线存在，易知直线斜率存在，
设直线的方程为，，
联立，整理得，
则且，
解得且，
由韦达定理有，
则
，
不妨设点为直线与渐近线的交点，
联立，解得，
，
同理可得点的坐标为，
则，
因为，为线段的三等分点，所以，
即，
整理得，①
，，
则，即，
则
，
整理得，②
联立①②得，无解，
故没有满足条件的直线．
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意结合双曲线的渐近线方程得出a，b的一个方程，再由代入法得出a，b的另一个方程，再联立两方程得出的值，从而得出双曲线的标准方程.
（2）①易知直线，的斜率均存在且不为， 设，直线的方程为，则设出直线的方程为，联立，消元，再利用和韦达定理求得，再根据弦长公式可求得，同理可求得的取值范围和，再根据对称性可知四边形为菱形，由菱形的面积公式和的取值范围以及不等式的性质，从而得出四边形面积的取值范围.
②假设满足题意的直线存在，易知直线斜率存在，设直线的方程为，，联立，消元，再根据，从而求得的关系，再利用韦达定理求得，再根据弦长公式求得，由两直线方程联立易求得的坐标，再由两点距离公式可求出，再根据，为线段的三等分点，可得，再结合，可得，再根据两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示以及韦达定理，从而得出没有满足条件的直线.
（1）解：由题意有，则，
将点代入双曲线方程得，
联立解得，
故的方程为；
（2）解：①，易知直线，的斜率均存在且不为，
设，
的方程为，则的方程为，
联立，消整理得，
直线与双曲线交于两点，
故且，则，
则，
则，
联立，消整理得，
直线与双曲线交于两点，
故且，解得，
则，
则，
根据对称性可知四边形为菱形，
其面积
，
，∴，∴，
∴，
；
②，假设满足题意的直线存在，
易知直线斜率存在，设直线的方程为，
，
联立，整理得，
则且，
解得且，
由韦达定理有，
则
，
不妨设为直线与渐近线的交点，
联立，解得，
，
同理可得点的坐标为，
则，
因为，为线段的三等分点，，
即，
整理得，①
，，
则，即，
，
整理得，②
联立①②得，无解，
故没有满足条件的直线．
1 / 1浙江省金华市第一中学2023-2024学年高二上学期期末数学试题
1．（2024高二上·金华期末）空间直角坐标系中，点是点在坐标平面内的射影，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·金华期末）椭圆：的左焦点为，椭圆上的点与关于坐标原点对称，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
3．（2024高二上·金华期末）等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B．8 C．1或 D．或
4．（2024高二上·金华期末）攒（cuán）尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁或园林式建筑．下图是一顶圆形攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥轴的截面）是底边长为，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的面积约为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二上·金华期末）已知圆：，点，则点到圆上点的最小距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．（2024高二上·金华期末）直线与曲线相切，且与圆相切，则（ ）
A． B． C．3 D．
7．（2024高二上·金华期末）在数列中，，若，，则n的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
8．（2024高二上·金华期末）已知，是双曲线的左、右焦点，点A是的左顶点，为坐标原点，以为直径的圆交的一条渐近线于、两点，以为直径的圆与轴交于两点，且平分，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
9．（2024高二上·金华期末）已知点椭圆上一点，椭圆的焦点是，则下列说法中正确的是（ ）
A．椭圆的长轴长是9
B．椭圆焦距是
C．存在使得
D．三角形的面积的最大值是
10．（2024高二上·金华期末）等差数列的前项和为，，，则（ ）
A．数列是递减数列 B．
C．是中最小项 D．
11．（2024高二上·金华期末）如图，正方体的棱长为2，分别为的中点．则下列结论正确的是（ ）
A．直线与平面垂直 B．直线与平面平行
C．三棱锥的体积为 D．点到平面的距离为
12．（2024高二上·金华期末）已知抛物线，点，，过点的直线交抛物线与两点，设，，下列说法正确的有（ ）
A． B．的最小值为
C． D．
13．（2024高二上·金华期末）直线的倾斜角的是 ．
14．（2024高二上·金华期末）已知函数，则 .
15．（2024高二上·金华期末）九连环是我国古代流传至今的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环，移动圆环的次数决定解开圆环的个数.在某种玩法中，推广到m连环，用表示解下个圆环所需的最少移动次数，若数列满足：，且，则解下n（n为偶数）个圆环所需的最少移动次数 .（用含n的式子表示）
16．（2024高二上·金华期末）已知在平面直角坐标系xOy中，，动点P满足则P点的轨迹Γ为圆 ，过点A的直线交圆Γ于两点C，D，且，则 .
17．（2024高二上·金华期末）已知数列中，，且
（1）求证：数列是等差数列，并求出；
（2）数列前项和为，求．
18．（2024高二上·金华期末）如图，直三棱柱中，，，是棱的中点，
（1）求异面直线所成角的余弦值；
（2）求二面角的余弦值．
19．（2024高二上·金华期末）已知椭圆经过点，．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线的倾斜角为锐角，与圆相切，与椭圆交于、两点，且的面积为，求直线的方程．
20．（2024高二上·金华期末）如图，在四棱锥S ABCD中，底面ABCD为矩形，，AB=2，，平面，，，E是SA的中点．
（1）求直线EF与平面SCD所成角的正弦值；
（2）在直线SC上是否存在点M，使得平面MEF平面SCD？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由．
21．（2024高二上·金华期末）已知数列的前项和为，且.
（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求使得的最小正整数.
22．（2024高二上·金华期末）已知双曲线过点，且的渐近线方程为．
（1）求的方程；
（2）如图，过原点作互相垂直的直线，分别交双曲线于，两点和，两点，，在轴同侧．
①求四边形面积的取值范围；
②设直线与两渐近线分别交于，两点，是否存在直线使，为线段的三等分点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】解：由点是点在坐标平面内的射影可得，
则.
故答案为：A.
【分析】由射影的定义求出点B坐标，再利用向量求模公式得出的值.
2．【答案】D
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】解：令椭圆C的右焦点，依题意，线段与互相平分，
于是得四边形为平行四边形，
因此，而椭圆：的长半轴长，
所以.
故答案为：D.
【分析】令椭圆C的右焦点，由已知条件和平行四边形的定义，从而判断出四边形为平行四边形，再利用椭圆的标准方程得出长半轴长，则根据椭圆的得出的值.
3．【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，
因为，所以，
即，解得或，
所以或.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和等比数列的前项和公式以及等比数列通项公式，从而建立公比的方程，解方程得出公比的值，再根据等比数列的性质得出的值.
4．【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：轴截面如图，其中，，
所以，
所以，
所以，圆锥的侧面积，
所以，该屋顶的面积约为.
故答案为：B.
【分析】由轴截面三角形和已知条件，从而可得圆锥底面半径，由余弦函数的定义得出母线长，再根据圆锥的侧面积公式得出该屋顶的面积.
5．【答案】C
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由圆：，
得出圆，半径为，
所以
，
所以，点到圆上点的最小距离为.
故答案为：C.
【分析】利用圆的标准方程得出圆的圆心坐标和半径长，结合两点距离公式和二次函数的图象求最值的方法，从而求出的最小值，再结合圆外一点到圆上点的距离最小值的方法，进而得出点到圆上点的最小距离.
6．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】设直线在曲线上的切点为，
则，解得，故切点坐标为，
将代入直线中，解得，
所以直线方程为，即，
又与圆相切，
则，
故答案为：B
【分析】 设切点为，利用导数的几何意义列式求出切点坐标，进而求出直线方程，然后由点到直线的距离等于半径，列式求解即可得答案.
7．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由，得，
所以，
所以，又因为，
所以，
又因为满足，所以，
由，解得.
故答案为：B.
【分析】根据题意和递推公式变形，可得，再利用累加法和检验法可得数列的通项公式，结合求出n的值.
8．【答案】B
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由圆的性质可知，，，所以，
因为，所以
又因为平分，所以，
由，得，
所以，即
所以
故答案为：B
【分析】由圆的性质得出，，再由平分，得到，求得，进而得到，结合双曲线的离心率的定义，即可求解.
9．【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的简单性质；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，
所以.
对于A：因为，所以长轴为，所以A错误；
对于B：因为，所以焦距为，所以B正确；
对于C：当取到上顶点时此时取到最大值，
此时，，
所以，
所以此时为钝角，
所以存在使得，所以C正确；
对于D：当取到上顶点时此时三角形的面积取到最大值，
此时，所以D正确，
故答案为：BCD.
【分析】将椭圆方程化为标准方程，从而得出a，b的值，再由椭圆长轴长定义，从而判断出选项A；利用椭圆中a，b，c三者的关系式得出c的值，从而得出椭圆的焦距，则判断出选项B；当取到上顶点时此时取到最大值，再结合焦距的定义，从而得出此时，的长，再根据余弦定理和三角函数值在各象限的符号，则存在使得，从而判断出选项C；当取到上顶点时此时三角形的面积取到最大值，再结合三角形的面积公式得出此时的三角形的面积的最大值，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
10．【答案】B,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
由，得，
解得，因为，所以.
对于A：由，得等差数列为递增数列，故A错误；
对于B：因为，故B正确；
对于C：因为，
又因为，由二次函数的性质可知：
当或时，取到最小值，即为中最小项，故C正确；
对于D：因为，，
由，得，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据已知条件和等差数列的前n项求和公式可得，，再结合公差的正负和函数的单调性，从而判断出数列的单调性，则判断出选项A；利用等差数列的通项公式判断出选项B；利用等差数列前n项和公式和，再结合二次函数的图象的对称性和开口方向，则得出的最小项，则判断出选项C；利用等差数列前n项和公式和公差的正负，则比较出的大小，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图所示，以D点为坐标原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以为z轴，
建立空间直角坐标系，
则 .
对于A， ，
设平面AEF的法向量为 ，则 ，可取 ，
又因为与不平行，故直线与平面不垂直，故A错；
对于B，因为 ， 平面AEF的法向量为，
所以，不在平面内，
故直线与平面平行，故B正确；
对于C，因为 ，故C正确；
对于D，因为 ， 平面AEF的法向量为，
故点到平面的距离为 ，故D正确，
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件，建立空间直角坐标系，从而求出相关各点坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再利用数量积的坐标表示求出平面的法向量，再根据与不平行，故直线与平面不垂直，则判断出选项A；利用 和平面AEF的法向量以及两向量垂直数量积为0的等价关系，所以直线与平面平行，则判断出选项B；利用等体积法和三棱锥的体积公式，则判断出选项C；利用 和平面AEF的法向量，再结合数量积求出点到平面的距离，则判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
12．【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设直线的方程为，
由，消去整理，得，
因为直线交抛物线与两点，设，，
所以，，故A正确；
因为
，当m=0时等号成立，故B正确；
，
同理，可得，
则
，故C不正确；
因为
，即，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】设直线的方程为，再将直线方程与抛物线方程联立，则消去，得出， 设，， 再由韦达定理判断出选项A；利用弦长公式和韦达定理以及二次函数的图象求最值的方法，则判断出选项B；利用两点距离公式，从而化简判断出选项C；利用两点求斜率公式和直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，则判断出直线的倾斜角之间的关系，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
13．【答案】
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】设直线的倾斜角为，
因为直线的斜率，即，
因为，所以，
故答案为：.
【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可求解.
14．【答案】
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：由于，
所以，解得，
所以，则，
所以.
故答案为：.
【分析】利用导数的运算法则得出函数的导函数，再利用赋值法求出的值，即可得函数的解析式，再利用代入法，从而求得的值.
15．【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为当n为偶数时，
则当时，，即，
又因为，
所以数列是以为首项，4为公比的等比数列，
故，
所以.
故答案为：.
【分析】根据数列的通项公式得到递推公式，即，再由递推公式变形和等比数列的定义，则判断出数列是以为首项，4为公比的等比数列，再结合等比数列的通项公式得出解下n（n为偶数）个圆环所需的最少移动次数.
16．【答案】；
【知识点】平面内中点坐标公式；平面内两点间的距离公式；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：设，则，整理得到，
即；
因为，故点为的中点，
过圆心作的垂线，垂足为，
则为的中点，则，
故，
解得.
故答案为：，.
【分析】设，再根据和两点距离公式，从而可得圆的标准方程；利用中点的性质和垂线的性质，再由垂径定理得出的值.
17．【答案】（1）证明：因为，
是以为首项，为公差的等差数列，
，
.
（2）解：因为，
所以，
，
.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件和递推关系变形，结合等差数列的定义证出数列是等差数列，再利用等差数列的通项公式得出.
（2）利用已知条件和错位相减法，从而可求出.
（1）因为，
是以为首项，为公差的等差数列，
，.
（2），
，
，
.
18．【答案】（1）解：以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
所以，
所以，直线所成角的余弦值为.
（2）解：设为平面的一个法向量，
则 ，
，
同理，
则，
可取平面的一个法向量为，
则，
由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为 .
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)利用已知条件，建立空间直角坐标系，从而求出相关各点的坐标，则求出的坐标，再利用数量积求向量的夹角公式，则得出直线所成角的余弦值.
(2)利用已知条件和两向量垂直数量积为0的等价关系，利用数量积的坐标表示求出平面和平面的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式和二面角为锐角，从而得出二面角的余弦值.
（1）以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
所以，
所以直线所成角的余弦值为；
（2）设为平面的一个法向量， ，
则 ，
，
同理，
则，
可取平面的一个法向量为，
则，
由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为 .
19．【答案】（1）解：椭圆经过点，．
则，
解得，
所以，椭圆C的方程为：.
（2）解：设直线l的方程为：，
与圆相切，
，
设点，联立直线与椭圆方程，即，
，
则，
，
，
，
，
又因为，，，
，，
故，
所以，直线的方程为：.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)将点M、N的坐标代入椭圆方程，从而建立a，b的方程组，再解方程组得出a，b的值，从而得出椭圆C的方程.
(2)设直线l的方程为：，，根据直线与圆的位置关系可得，再将直线方程和椭圆方程联立并消去y，利用韦达定理表示出，再根据三角形的面积公式得出，由弦长公式表示出，进而列出关于k的方程，解方程得出直线的斜率，从而得出m的值，进而得出直线l的方程.
（1）椭圆经过点，．
则，解得，
（2）设l的方程为：
与圆相切
设点，
，
则，
，
，
，
，
，，
，，，
故，
20．【答案】（1）解： 分别取AB，BC中点M，N，则，
又因为平面则两两互相垂直，
以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
所以，
设平面SCD的一个法向量为，
，
，
，
则，
，
所以，直线EF与平面SBC所成角的正弦值为.
（2）解：假设存在点M，使得平面MEF平面SCD，
， ，
设平面MEF的一个法向量，
，
令，则，
平面MEF平面SCD，
，
，
存在点，此时M与S重合.
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）分别取AB，BC中点M，N，易证两两互相垂直，以为正交基底，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示得出平面SCD的一个法向量，由数量积求向量公式和两角互余的关系以及诱导公式，从而求出直线EF与平面SBC所成角的正弦值.
（2）假设存在点M，使得平面MEF平面SCD，利用向量共线的坐标表示和三角形法则以及向量加法的运算法则，从而表示出，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求得平面MEF的一个法向量，结合面面垂直得出线线垂直，再根据两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出直线SC上存在点M，使得平面MEF平面SCD.
（1）解：分别取AB，BC中点M，N，则，
又平面则两两互相垂直，
以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
所以，
设平面SCD的一个法向量为，
，，
则，
，
直线EF与平面SBC所成角的正弦值为.
（2）假设存在点M，使得平面MEF平面SCD，
，
，
设平面MEF的一个法向量，
，
令，则，
平面MEF平面SCD，
，
，
存在点，此时M与S重合.
21．【答案】（1）证明：因为，所以①
当时，，所以；
当时，②
由①-②得，即，
则，因为，
所以数列构成以1为首项，3为公比的等比数列，
则，所以.
（2）解：因为，，
所以，数列的前项和为：，
所以，数列的前项和为：
，
，
所以，数列单调递增，
，
所以，使得最小正整数为4.
【知识点】函数单调性的性质；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件和与的关系式，从而得出，再由递推公式变形和等比数列的定义，从而证出数列是等比数列，再由等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）利用（1）中数列的通项公式得出数列的通项公式，结合分组求和可得，再判断出数列的单调性，则由数列的单调性得出满足的最小正整数的值.
（1）因为，所以①
当时，，所以；
当时，②
①-②得，即，
则，而，
所以数列构成以1为首项，3为公比的等比数列，
则，所以.
（2），，
的前项和
的前项和
单调递增且，
所以使得最小正整数为4.
22．【答案】（1）解： 由题意得，则，
将点代入双曲线方程得，
联立解得，
故的方程为.
（2）解：①由已知可知直线，的斜率均存在且不为，
设，
再设的方程为，则的方程为，
联立，消整理得，
因为直线与双曲线交于两点，故且，则
则，
则，
联立，消整理得，
因为直线与双曲线交于两点，
故且，解得，
则，
则，
根据对称性可知四边形为菱形，
则四边形ACBD面积
，
，
∴，
∴，
∴，
.
②假设满足题意的直线存在，易知直线斜率存在，
设直线的方程为，，
联立，整理得，
则且，
解得且，
由韦达定理有，
则
，
不妨设点为直线与渐近线的交点，
联立，解得，
，
同理可得点的坐标为，
则，
因为，为线段的三等分点，所以，
即，
整理得，①
，，
则，即，
则
，
整理得，②
联立①②得，无解，
故没有满足条件的直线．
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意结合双曲线的渐近线方程得出a，b的一个方程，再由代入法得出a，b的另一个方程，再联立两方程得出的值，从而得出双曲线的标准方程.
（2）①易知直线，的斜率均存在且不为， 设，直线的方程为，则设出直线的方程为，联立，消元，再利用和韦达定理求得，再根据弦长公式可求得，同理可求得的取值范围和，再根据对称性可知四边形为菱形，由菱形的面积公式和的取值范围以及不等式的性质，从而得出四边形面积的取值范围.
②假设满足题意的直线存在，易知直线斜率存在，设直线的方程为，，联立，消元，再根据，从而求得的关系，再利用韦达定理求得，再根据弦长公式求得，由两直线方程联立易求得的坐标，再由两点距离公式可求出，再根据，为线段的三等分点，可得，再结合，可得，再根据两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示以及韦达定理，从而得出没有满足条件的直线.
（1）解：由题意有，则，
将点代入双曲线方程得，
联立解得，
故的方程为；
（2）解：①，易知直线，的斜率均存在且不为，
设，
的方程为，则的方程为，
联立，消整理得，
直线与双曲线交于两点，
故且，则，
则，
则，
联立，消整理得，
直线与双曲线交于两点，
故且，解得，
则，
则，
根据对称性可知四边形为菱形，
其面积
，
，∴，∴，
∴，
；
②，假设满足题意的直线存在，
易知直线斜率存在，设直线的方程为，
，
联立，整理得，
则且，
解得且，
由韦达定理有，
则
，
不妨设为直线与渐近线的交点，
联立，解得，
，
同理可得点的坐标为，
则，
因为，为线段的三等分点，，
即，
整理得，①
，，
则，即，
，
整理得，②
联立①②得，无解，
故没有满足条件的直线．
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