浙江省温州市2023-2024学年高二上学期期末教学质量统一检测数学试题(B卷)
1．（2024高二上·温州期末）已知直线方程，则倾斜角为（ ）
A．45° B．60° C．120° D．135°
【答案】D
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：因为直线方程，则直线的斜率k为-1，
设直线的倾斜角为，，
因为，所以直线方程的倾斜角为135°。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合直线的方程得出直线的斜率，再结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式和直线的倾斜角的取值范围，进而得出直线的倾斜角.
2．（2024高二上·温州期末）抛物线 的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由抛物线 得：焦点在x轴上，开口向右，p=2，
所以其准线方程为 ，
故答案为：B
【分析】 利用抛物线的基本性质，能求出抛物线的准线方程．
3．（2024高二上·温州期末）在空间四边形中，点分别是和的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：如图所示，
因为点G是CD的中点，
所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和中点的性质，再结合平行四边形法则和三角形法则，从而得出答案.
4．（2024高二上·温州期末）已知为数列的前n项和，，则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【知识点】通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：由题意可知，.
故答案为：C.
【分析】由已知条件和，再由代入法得出数列第四项的值.
5．（2024高二上·温州期末）在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：如图所示，
设点到平面的距离为，
由和正方体的棱长为，
可得，所以，三棱锥的体积为，
所以，解得，
所以，点到平面的距离为.
故答案为：D.
【分析】设点到平面的距离为，再根据和三棱锥的体积公式，从而得出h的值，进而得出点到平面的距离.
6．（2024高二上·温州期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数．他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如下图的1，3，6，10称为三角形数，1，4，9，16称为正方形数，则下列各数既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A．55 B．49 C．36 D．28
【答案】C
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】解：由题意，三角形数可看作，，，，，
则第个三角形数为；
正方形数可看作，，，，，则第个正方形数为.
对于A，令，其解不是正整数，所以不是正方形数，故A错误；
对于B，令，解得，令，其解不是正整数，
所以不是三角形数，故B错误；
对于C，令，解得，令，解得，故C正确；
对于D，令，显然其解不是正整数，所以不是正方形数，故D错误.
故答案为：C.
【分析】由题意结合三角形数和正方形数的定义，从而由等差数列前n项和公式和归纳推理的方法得出关于三角形数和正方形数这两数列的通项公式，再分类讨论，从而建立关于n的方程，解方程得出n的值，进而判断出既是三角形数又是正方形数的数.
7．（2024高二上·温州期末）已知圆锥有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱与圆锥的高之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的结构特征
【解析】【解答】解：根据题意，画出轴截面其中四边形DEFG为内接矩形，如下图所示，
设圆柱的高为h，圆柱的底面半径为r，圆锥的高为H，底面半径为R，
则所以，所以，圆柱的侧面积为；
则当时，圆柱的侧面积最大，此时，
所以，当圆柱的侧面积最大时，圆柱与圆锥的高之比为.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合相似三角形对应边成比例和圆柱的侧面积公式，进而得出圆柱的侧面积关于圆柱底面的半径的二次函数，再结合二次函数的图象求最值的方法，进而得出圆柱的侧面积最大时的圆柱的底面半径与圆锥底面半径的关系式，进而得出当圆柱的侧面积最大时的圆柱与圆锥的高之比.
8．（2024高二上·温州期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点P在椭圆C上，直线与直线交于点Q，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：依题意，如图所示：
椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，
不妨设，则，
点P在椭圆C上，直线与直线交于点Q，且，
所以，
又因为是的中点，
所以，
所以是正三角形，
所以，可得，
设，，
所以，即，
所以，解得，
又因为，所以，所以.
故答案为：A.
【分析】不妨设，，再利用椭圆的离心率公式得出c的值，由题意和三角函数的定义得出，再结合椭圆定义列出关于的方程，再由角的取值范围，从而得出角的值，进而得出的值.
9．（2024高二上·温州期末）已知圆和圆外离，则整数m的一个取值可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C,D
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：因为方程可化为，
所以圆的圆心的坐标为，半径为，
因为方程可化为，
由已知条件可知，，且为正整数，
所以圆的圆心的坐标为，半径为，
所以圆心距，
因为圆和圆外离，
所以，
所以，
故的可能取值有.
故答案为：CD.
【分析】利用两圆的一般方程得出圆心坐标和半径长，利用两点距离公式求出圆心距，再根据两圆外离的位置关系，从而列出关于m的不等式，进而解不等式得出m的取值范围，则求出满足要求的整数可能的取值.
10．（2024高二上·温州期末）以下选项中的两个圆锥曲线的离心率相等的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】C,D
【知识点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：对于A，双曲线中所以
因为，，所以，所以，双曲线的离心率，
椭圆中所以
因为，，所以，所以，椭圆的离心率，
所以，双曲线与椭圆的离心率不相等，所以A错；
对于B，双曲线中所以
因为，，所以，所以，双曲线的离心率，
双曲线中所以
因为，，所以，所以，双曲线的离心率，
所以，双曲线与双曲线的离心率不相等，所以B错；
对于C，椭圆中所以
因为，，所以，所以，椭圆的离心率，
椭圆中所以
因为，，所以，所以，椭圆的离心率，
所以，椭圆与椭圆的离心率相等，所以C对；
对于D，抛物线的离心率为e=1，抛物线的离心率为e=1，
所以，抛物线与抛物线的离心率相等，所以D对.
故答案为：CD.
【分析】利用已知条件结合椭圆、双曲线、抛物线离心率求解方法和椭圆中a，b，c三者的关系式、双曲线中a，b，c三者的关系式，再由比较法找出两个圆锥曲线的离心率相等的选项.
11．（2024高二上·温州期末）已知三棱锥如图所示，G为重心，点M，F为中点，点D，E分别在上，，（），以下说法正确的是（ ）
A．若，则平面∥平面
B．
C．
D．若M，D，E，F四点共面，则
【答案】A,B,C
【知识点】平面与平面平行的判定；空间向量基本定理；共面向量定理
【解析】【解答】对于A，若，即分别为的中点，
因为点为的中点，
所以，
又因为面，面，
所以面，同理可证面，
又因为面，
所以平面∥平面，故A正确；
如图所示：
对于B，设中点为，连接，
因为点G为重心，所以点在线段上面，
所以
，故B正确；
对于C，
，故C正确；
对于D，因为，
所以，
若M，D，E，F四点共面，
则，解得，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】由中位线性质得出，结合线线平行证出线面平行，再利用线面平行证出面面平行，则判断出选项A；设中点为，连接，利用点G为重心，则点在线段上面，再利用重心的性质和空间向量基本定理，则判断出选项B和选项C；利用向量共线定理、空间向量基本定理和四点共面的判断方法，从而得出的值，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
12．（2024高二上·温州期末）已知数列的前n项和为，且，，则下列命题正确的是（ ）
A．若为等差数列，则数列为递增数列
B．若为等比数列，则数列为递增数列
C．若为等差数列，则数列为递增数列
D．若为等比数列，则数列为递增数列
【答案】A,C,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列概念与表示；等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：因为数列的前n项和为，且，，所以
对于A，若数列为等差数列，则公差，则数列为递增数列，
所以数列为递增数列，所以A对；
对于B，若数列为等比数列，则公比
当q=-1时，则数列为摆动数列，不具备单调性，所以B错；
对于C，若数列为等差数列，因为，所以
所以数列从第二项开始每一项都为正，且数列为递增数列，所以C对；
对于D，若数列为等比数列，因为，所以
所以数列为摆动数列，且数列为递增数列，所以D对.
故答案为：ACD.
【分析】根据题意可得再结合等差数列、等比数列的通项公式和数列求和公式，逐一分析选项，进而找出真命题的选项.
13．（2024高二上·温州期末）若双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的方程可以是 ．（只需填写满足条件的一个方程）
【答案】（答案不唯一）.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：若双曲线的渐近线方程为，
则该双曲线的方程可设为，
在这里不妨取即可满足题意.
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】利用双曲线的渐近线方程和设出该双曲线方程，再由赋值法和的取值范围，从而得出该双曲线可以的方程.
14．（2024高二上·温州期末）已知正项等比数列的前n项和为，，且，则 ．
【答案】1
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设公比为，
由题意可得，，
所以，又因为，
所以，解得满足题意，
所以.
故答案为：1.
【分析】由等比数列前项和和等比数列的通项公式，结合首项的取值范围，从而建立公比的方程，再利用正项等比数列的条件，从而得出满足要求的公比的值，再结合等比数列的通项公式得出首项的值.
15．（2024高二上·温州期末）已知点P为圆上一动点，，，则点P到直线AB的距离的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：由已知可知，点，在圆外，
又因为直线，即直线，
又因为圆的圆心、半径分别为，
所以圆心到直线的距离为，
设点P到直线AB的距离的为，则，
即点P到直线AB的距离的取值范围是.
故答案为：.
【分析】利用圆的标准方程得出圆心坐标和半径长，将直线AB转化为一般方程，再根据点与圆的位置关系判断方法和点到直线的距离公式，从而得出点P到直线AB的距离的取值范围.
16．（2024高二上·温州期末）两个正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，M和N分别是对角线AC和BF上的动点，则MN的最小值为 ．
【答案】
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：因为平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEF=AB，
平面ABCD，根据面面垂直的性质定理可知平面ABEF，
所以所以BC，AB，BE两两垂直，如图建立空间直角坐标系(如图)，
设
因为所以
所以
，
当时，MN的长最小，且最小值为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件，建立空间直角坐标系，设点的坐标得到线段MN的长度表达式，再利用配方法结合二次函数求最值的方法，进而得出MN的最小值.
17．（2024高二上·温州期末）如图，在平行六面体中，，，，，设，，．
（1）用向量表示；
（2）求．
【答案】（1）解：由题意可得，.
（2）解：由题意可知，，
因为，，，，
所以，
所以.
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】（1）利用已知条件和平行六面体的结构特征，再利用空间向量基本定理，从而用向量表示.
（2）利用已知条件和三角形法则、平行四边形法则，从而得出，再结合数量积的运算法则和数量积的定义，从而得出的值
（1）由题意.
（2）由题意，
因为，，，，
所以，
所以.
18．（2024高二上·温州期末）已知等差数列的前n项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前10项和．
【答案】（1）解：由题意可知，，，
因为，解得，
所以等差数列的公差，
所以数列的通项公式为.
（2）解：由题意可知，，
所以数列的前10项和为：
.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）由已知条件和等差数列前项和公式得出数列第2项的值，结合等差数列的性质得出公差的值，再利用等差数列的性质得出等差数列的通项公式.
（2）利用（1）中等差数列的通项公式和已知条件得出数列的通项公式，再结合分组求和法得出数列的前10项和．
（1）由题意，，因为，解得，
所以等差数列的公差，
所以数列的通项公式为.
（2）由题意，
所以数列的前10项和
.
19．（2024高二上·温州期末）如图，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，平面ABCD，，M为PB的中点．
（1）求证：平面平面PDB；
（2）求CP与平面MAC所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：因为四边形为菱形，
所以，
因为平面，又因为平面，
所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面.
（2）解：连接，交于，
因为四边形为菱形，
所以为的中点，
因为M为PB的中点，
所以为的中位线，所以，
因为平面ABCD，
所以平面，
如图建立空间直角坐标系，
根据题意，则，，
所以，
易知平面的一个法向量为，
设CP与平面MAC所成角为，
则，
所以直线CP与平面MAC所成角的正弦值.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用菱形的结构特征得出线线垂直，结合线面垂直的定义证出线线垂直，再根据线线垂直证出线面垂直，从而由线面垂直证出面面垂直，即证出平面平面PDB.
（2）利用菱形的结构特征和中点作中位线的方法再利用中位线的性质得出线线平行，再根据平面ABCD得出平面，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，利用两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示得出平面的一个法向量，从而由数量积求向量夹角公式和诱导公式得出直线CP与平面MAC所成角的正弦值.
（1）因为四边形为菱形，所以.
因为平面，因为平面，
所以，因为，
平面，所以平面，
因为平面，
所以平面平面.
（2）连接，交于，
因为四边形为菱形，所以为的中点，
因为M为PB的中点，所以为的中位线，
所以，因为平面ABCD，
所以平面，如图建立空间直角坐标系.
根据题意有，，
所以，
易知平面的一个法向量为，设CP与平面MAC所成角为，
则，
所以CP与平面MAC所成角的正弦值.
20．（2024高二上·温州期末）已知圆满足：① 截轴所得弦长为2；②被轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线：的距离为，求该圆的方程．
【答案】解：（法一）设圆P的圆心为P（a，b），半径为r，
则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|，
由题意可知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，
圆P截x轴所得的弦长为，2|b|=，得r2=2b2，
圆P被y轴所截得的弦长为2，
由勾股定理得r2=a2+1，得出2b2- a2=1，
又因为P（a，b）到直线x -2y=0的距离为，
得出，即有a-2b=±1，
综上所述，得，解得，，
于是，
则所求圆的方程是或.
（法二）设圆的方程为，
令x =0，得，
所以，得
再令y=0，可得，
所以，得，
即，从而有2b2- a2=1．
又因为P（a，b）到直线x -2y=0的距离为，
得d=，即有
综上所述，得，解得，，
于是r2= 2b2=2，
则所求圆的方程是或.
【知识点】圆的标准方程
【解析】【分析】利用两种方法求解.
（法一）设圆P的圆心为P（a，b），半径为r，利用点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|，再由题意可知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角，从而得出圆P截x轴所得的弦长，则得r2=2b2，再由圆P被y轴所截得的弦长为2，从而由勾股定理得2b2- a2=1，再利用点P（a，b）到直线x -2y=0的距离为得出a-2b=±1，进而建立方程组得出a，b的值，则得出的值，从而得出所求圆的方程.
（法二）设圆的方程为，令x =0，得，再利用得出，再令y=0，可得，再利用得出，从而得出2b2- a2=1，再结合点P（a，b）到直线x -2y=0的距离为，得出，进而建立方程组得出a，b的值，则得出的值，从而得出所求圆的方程.
21．（2024高二上·温州期末）已知数列满足，．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设数列前n项和为，且对任意的恒成立，求k的取值范围．
【答案】（1）解：，
，
数列为以2为首项1为公差的等差数列.
（2）解：（2）由(1)可知，得，要使得怛成立，只需要，
令，则则
数列为递增数列，所以，，
则实数k的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；数列的函数特性；等差数列概念与表示；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式变形和等差数列的定义，进而证出数列为等差数列；
（2）由等差数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合不等式恒成立问题求解方法，要使得怛成立，只需要，再利用换元法，令，再由递推公式和放缩法和函数的单调性，进而证出数列的单调性，再由数列的单调性求出数列的最小值，从而得出实数k的取值范围.
22．（2024高二上·温州期末）已知点在双曲线C：上，
（1）求C的方程；
（2）如图，若直线l垂直于直线OA，且与C的右支交于P、Q两点，直线AP、AQ与y轴的交点分别为点M、N，记四边形MPQN与三角形APQ的面积分别为与，求的取值范围．
【答案】（1）解：由点在双曲线上，
可得，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）解：依题意，如图所示：
由直线垂直于，可得直线的斜率为，
设直线的方程为，且，
联立方程组，整理得，
因为直线与双曲线的右支交于两点，
则，解得，
可得，
则
，
又由点到直线的距离为，
所以，
直线的方程为，
令，可得，
直线的方程为，
令，可得，则
，
所以，三角形的面积，
又由，
则，
令，
可得函数在上单调递减，且，
所以，所以，
即的取值范围为.
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由点在双曲线上，则由代入法求出的值，从而得出双曲线C的标准方程（2）根据题意，设直线为，联立直线和双曲线的方程，由得出m的取值范围，再利用韦达定理得出，由弦长公式得出，进而由四边形的面积公式得到，利用赋值法和直线的方程、直线的方程，从而得出点M，N的纵坐标，进而得到，再由三角形的面积公式得出三角形的面积为，进而得到，令，再结合函数的单调性和的值，从而得出函数的值域，进而得出的取值范围．
（1）解：由点在双曲线上，可得，
解得，所以双曲线的方程为.
（2）解：由直线垂直于，可得直线的斜率为，
设直线的方程为，且，
联立方程组，整理得，
因为直线与双曲线的右支交于两点，
则，解得，
可得，
则
，
又由点到直线的距离为，
所以，
直线的方程为，令，可得，
直线的方程为，令，可得
则
，
所以的面积，
又由，则，
令，
可得函数在上单调递减，且，所以，
所以，即的取值范围为.
1 / 1浙江省温州市2023-2024学年高二上学期期末教学质量统一检测数学试题(B卷)
1．（2024高二上·温州期末）已知直线方程，则倾斜角为（ ）
A．45° B．60° C．120° D．135°
2．（2024高二上·温州期末）抛物线 的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二上·温州期末）在空间四边形中，点分别是和的中点，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二上·温州期末）已知为数列的前n项和，，则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
5．（2024高二上·温州期末）在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二上·温州期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数．他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如下图的1，3，6，10称为三角形数，1，4，9，16称为正方形数，则下列各数既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A．55 B．49 C．36 D．28
7．（2024高二上·温州期末）已知圆锥有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱与圆锥的高之比为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二上·温州期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点P在椭圆C上，直线与直线交于点Q，且，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二上·温州期末）已知圆和圆外离，则整数m的一个取值可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．（2024高二上·温州期末）以下选项中的两个圆锥曲线的离心率相等的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
11．（2024高二上·温州期末）已知三棱锥如图所示，G为重心，点M，F为中点，点D，E分别在上，，（），以下说法正确的是（ ）
A．若，则平面∥平面
B．
C．
D．若M，D，E，F四点共面，则
12．（2024高二上·温州期末）已知数列的前n项和为，且，，则下列命题正确的是（ ）
A．若为等差数列，则数列为递增数列
B．若为等比数列，则数列为递增数列
C．若为等差数列，则数列为递增数列
D．若为等比数列，则数列为递增数列
13．（2024高二上·温州期末）若双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的方程可以是 ．（只需填写满足条件的一个方程）
14．（2024高二上·温州期末）已知正项等比数列的前n项和为，，且，则 ．
15．（2024高二上·温州期末）已知点P为圆上一动点，，，则点P到直线AB的距离的取值范围是 ．
16．（2024高二上·温州期末）两个正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，M和N分别是对角线AC和BF上的动点，则MN的最小值为 ．
17．（2024高二上·温州期末）如图，在平行六面体中，，，，，设，，．
（1）用向量表示；
（2）求．
18．（2024高二上·温州期末）已知等差数列的前n项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前10项和．
19．（2024高二上·温州期末）如图，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，平面ABCD，，M为PB的中点．
（1）求证：平面平面PDB；
（2）求CP与平面MAC所成角的正弦值．
20．（2024高二上·温州期末）已知圆满足：① 截轴所得弦长为2；②被轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线：的距离为，求该圆的方程．
21．（2024高二上·温州期末）已知数列满足，．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设数列前n项和为，且对任意的恒成立，求k的取值范围．
22．（2024高二上·温州期末）已知点在双曲线C：上，
（1）求C的方程；
（2）如图，若直线l垂直于直线OA，且与C的右支交于P、Q两点，直线AP、AQ与y轴的交点分别为点M、N，记四边形MPQN与三角形APQ的面积分别为与，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：因为直线方程，则直线的斜率k为-1，
设直线的倾斜角为，，
因为，所以直线方程的倾斜角为135°。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合直线的方程得出直线的斜率，再结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式和直线的倾斜角的取值范围，进而得出直线的倾斜角.
2．【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由抛物线 得：焦点在x轴上，开口向右，p=2，
所以其准线方程为 ，
故答案为：B
【分析】 利用抛物线的基本性质，能求出抛物线的准线方程．
3．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：如图所示，
因为点G是CD的中点，
所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和中点的性质，再结合平行四边形法则和三角形法则，从而得出答案.
4．【答案】C
【知识点】通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：由题意可知，.
故答案为：C.
【分析】由已知条件和，再由代入法得出数列第四项的值.
5．【答案】D
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：如图所示，
设点到平面的距离为，
由和正方体的棱长为，
可得，所以，三棱锥的体积为，
所以，解得，
所以，点到平面的距离为.
故答案为：D.
【分析】设点到平面的距离为，再根据和三棱锥的体积公式，从而得出h的值，进而得出点到平面的距离.
6．【答案】C
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】解：由题意，三角形数可看作，，，，，
则第个三角形数为；
正方形数可看作，，，，，则第个正方形数为.
对于A，令，其解不是正整数，所以不是正方形数，故A错误；
对于B，令，解得，令，其解不是正整数，
所以不是三角形数，故B错误；
对于C，令，解得，令，解得，故C正确；
对于D，令，显然其解不是正整数，所以不是正方形数，故D错误.
故答案为：C.
【分析】由题意结合三角形数和正方形数的定义，从而由等差数列前n项和公式和归纳推理的方法得出关于三角形数和正方形数这两数列的通项公式，再分类讨论，从而建立关于n的方程，解方程得出n的值，进而判断出既是三角形数又是正方形数的数.
7．【答案】B
【知识点】简单组合体的结构特征
【解析】【解答】解：根据题意，画出轴截面其中四边形DEFG为内接矩形，如下图所示，
设圆柱的高为h，圆柱的底面半径为r，圆锥的高为H，底面半径为R，
则所以，所以，圆柱的侧面积为；
则当时，圆柱的侧面积最大，此时，
所以，当圆柱的侧面积最大时，圆柱与圆锥的高之比为.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合相似三角形对应边成比例和圆柱的侧面积公式，进而得出圆柱的侧面积关于圆柱底面的半径的二次函数，再结合二次函数的图象求最值的方法，进而得出圆柱的侧面积最大时的圆柱的底面半径与圆锥底面半径的关系式，进而得出当圆柱的侧面积最大时的圆柱与圆锥的高之比.
8．【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：依题意，如图所示：
椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，
不妨设，则，
点P在椭圆C上，直线与直线交于点Q，且，
所以，
又因为是的中点，
所以，
所以是正三角形，
所以，可得，
设，，
所以，即，
所以，解得，
又因为，所以，所以.
故答案为：A.
【分析】不妨设，，再利用椭圆的离心率公式得出c的值，由题意和三角函数的定义得出，再结合椭圆定义列出关于的方程，再由角的取值范围，从而得出角的值，进而得出的值.
9．【答案】C,D
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：因为方程可化为，
所以圆的圆心的坐标为，半径为，
因为方程可化为，
由已知条件可知，，且为正整数，
所以圆的圆心的坐标为，半径为，
所以圆心距，
因为圆和圆外离，
所以，
所以，
故的可能取值有.
故答案为：CD.
【分析】利用两圆的一般方程得出圆心坐标和半径长，利用两点距离公式求出圆心距，再根据两圆外离的位置关系，从而列出关于m的不等式，进而解不等式得出m的取值范围，则求出满足要求的整数可能的取值.
10．【答案】C,D
【知识点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：对于A，双曲线中所以
因为，，所以，所以，双曲线的离心率，
椭圆中所以
因为，，所以，所以，椭圆的离心率，
所以，双曲线与椭圆的离心率不相等，所以A错；
对于B，双曲线中所以
因为，，所以，所以，双曲线的离心率，
双曲线中所以
因为，，所以，所以，双曲线的离心率，
所以，双曲线与双曲线的离心率不相等，所以B错；
对于C，椭圆中所以
因为，，所以，所以，椭圆的离心率，
椭圆中所以
因为，，所以，所以，椭圆的离心率，
所以，椭圆与椭圆的离心率相等，所以C对；
对于D，抛物线的离心率为e=1，抛物线的离心率为e=1，
所以，抛物线与抛物线的离心率相等，所以D对.
故答案为：CD.
【分析】利用已知条件结合椭圆、双曲线、抛物线离心率求解方法和椭圆中a，b，c三者的关系式、双曲线中a，b，c三者的关系式，再由比较法找出两个圆锥曲线的离心率相等的选项.
11．【答案】A,B,C
【知识点】平面与平面平行的判定；空间向量基本定理；共面向量定理
【解析】【解答】对于A，若，即分别为的中点，
因为点为的中点，
所以，
又因为面，面，
所以面，同理可证面，
又因为面，
所以平面∥平面，故A正确；
如图所示：
对于B，设中点为，连接，
因为点G为重心，所以点在线段上面，
所以
，故B正确；
对于C，
，故C正确；
对于D，因为，
所以，
若M，D，E，F四点共面，
则，解得，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】由中位线性质得出，结合线线平行证出线面平行，再利用线面平行证出面面平行，则判断出选项A；设中点为，连接，利用点G为重心，则点在线段上面，再利用重心的性质和空间向量基本定理，则判断出选项B和选项C；利用向量共线定理、空间向量基本定理和四点共面的判断方法，从而得出的值，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
12．【答案】A,C,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列概念与表示；等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：因为数列的前n项和为，且，，所以
对于A，若数列为等差数列，则公差，则数列为递增数列，
所以数列为递增数列，所以A对；
对于B，若数列为等比数列，则公比
当q=-1时，则数列为摆动数列，不具备单调性，所以B错；
对于C，若数列为等差数列，因为，所以
所以数列从第二项开始每一项都为正，且数列为递增数列，所以C对；
对于D，若数列为等比数列，因为，所以
所以数列为摆动数列，且数列为递增数列，所以D对.
故答案为：ACD.
【分析】根据题意可得再结合等差数列、等比数列的通项公式和数列求和公式，逐一分析选项，进而找出真命题的选项.
13．【答案】（答案不唯一）.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：若双曲线的渐近线方程为，
则该双曲线的方程可设为，
在这里不妨取即可满足题意.
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】利用双曲线的渐近线方程和设出该双曲线方程，再由赋值法和的取值范围，从而得出该双曲线可以的方程.
14．【答案】1
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设公比为，
由题意可得，，
所以，又因为，
所以，解得满足题意，
所以.
故答案为：1.
【分析】由等比数列前项和和等比数列的通项公式，结合首项的取值范围，从而建立公比的方程，再利用正项等比数列的条件，从而得出满足要求的公比的值，再结合等比数列的通项公式得出首项的值.
15．【答案】
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：由已知可知，点，在圆外，
又因为直线，即直线，
又因为圆的圆心、半径分别为，
所以圆心到直线的距离为，
设点P到直线AB的距离的为，则，
即点P到直线AB的距离的取值范围是.
故答案为：.
【分析】利用圆的标准方程得出圆心坐标和半径长，将直线AB转化为一般方程，再根据点与圆的位置关系判断方法和点到直线的距离公式，从而得出点P到直线AB的距离的取值范围.
16．【答案】
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：因为平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEF=AB，
平面ABCD，根据面面垂直的性质定理可知平面ABEF，
所以所以BC，AB，BE两两垂直，如图建立空间直角坐标系(如图)，
设
因为所以
所以
，
当时，MN的长最小，且最小值为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件，建立空间直角坐标系，设点的坐标得到线段MN的长度表达式，再利用配方法结合二次函数求最值的方法，进而得出MN的最小值.
17．【答案】（1）解：由题意可得，.
（2）解：由题意可知，，
因为，，，，
所以，
所以.
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】（1）利用已知条件和平行六面体的结构特征，再利用空间向量基本定理，从而用向量表示.
（2）利用已知条件和三角形法则、平行四边形法则，从而得出，再结合数量积的运算法则和数量积的定义，从而得出的值
（1）由题意.
（2）由题意，
因为，，，，
所以，
所以.
18．【答案】（1）解：由题意可知，，，
因为，解得，
所以等差数列的公差，
所以数列的通项公式为.
（2）解：由题意可知，，
所以数列的前10项和为：
.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）由已知条件和等差数列前项和公式得出数列第2项的值，结合等差数列的性质得出公差的值，再利用等差数列的性质得出等差数列的通项公式.
（2）利用（1）中等差数列的通项公式和已知条件得出数列的通项公式，再结合分组求和法得出数列的前10项和．
（1）由题意，，因为，解得，
所以等差数列的公差，
所以数列的通项公式为.
（2）由题意，
所以数列的前10项和
.
19．【答案】（1）证明：因为四边形为菱形，
所以，
因为平面，又因为平面，
所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面.
（2）解：连接，交于，
因为四边形为菱形，
所以为的中点，
因为M为PB的中点，
所以为的中位线，所以，
因为平面ABCD，
所以平面，
如图建立空间直角坐标系，
根据题意，则，，
所以，
易知平面的一个法向量为，
设CP与平面MAC所成角为，
则，
所以直线CP与平面MAC所成角的正弦值.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用菱形的结构特征得出线线垂直，结合线面垂直的定义证出线线垂直，再根据线线垂直证出线面垂直，从而由线面垂直证出面面垂直，即证出平面平面PDB.
（2）利用菱形的结构特征和中点作中位线的方法再利用中位线的性质得出线线平行，再根据平面ABCD得出平面，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，利用两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示得出平面的一个法向量，从而由数量积求向量夹角公式和诱导公式得出直线CP与平面MAC所成角的正弦值.
（1）因为四边形为菱形，所以.
因为平面，因为平面，
所以，因为，
平面，所以平面，
因为平面，
所以平面平面.
（2）连接，交于，
因为四边形为菱形，所以为的中点，
因为M为PB的中点，所以为的中位线，
所以，因为平面ABCD，
所以平面，如图建立空间直角坐标系.
根据题意有，，
所以，
易知平面的一个法向量为，设CP与平面MAC所成角为，
则，
所以CP与平面MAC所成角的正弦值.
20．【答案】解：（法一）设圆P的圆心为P（a，b），半径为r，
则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|，
由题意可知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，
圆P截x轴所得的弦长为，2|b|=，得r2=2b2，
圆P被y轴所截得的弦长为2，
由勾股定理得r2=a2+1，得出2b2- a2=1，
又因为P（a，b）到直线x -2y=0的距离为，
得出，即有a-2b=±1，
综上所述，得，解得，，
于是，
则所求圆的方程是或.
（法二）设圆的方程为，
令x =0，得，
所以，得
再令y=0，可得，
所以，得，
即，从而有2b2- a2=1．
又因为P（a，b）到直线x -2y=0的距离为，
得d=，即有
综上所述，得，解得，，
于是r2= 2b2=2，
则所求圆的方程是或.
【知识点】圆的标准方程
【解析】【分析】利用两种方法求解.
（法一）设圆P的圆心为P（a，b），半径为r，利用点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|，再由题意可知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角，从而得出圆P截x轴所得的弦长，则得r2=2b2，再由圆P被y轴所截得的弦长为2，从而由勾股定理得2b2- a2=1，再利用点P（a，b）到直线x -2y=0的距离为得出a-2b=±1，进而建立方程组得出a，b的值，则得出的值，从而得出所求圆的方程.
（法二）设圆的方程为，令x =0，得，再利用得出，再令y=0，可得，再利用得出，从而得出2b2- a2=1，再结合点P（a，b）到直线x -2y=0的距离为，得出，进而建立方程组得出a，b的值，则得出的值，从而得出所求圆的方程.
21．【答案】（1）解：，
，
数列为以2为首项1为公差的等差数列.
（2）解：（2）由(1)可知，得，要使得怛成立，只需要，
令，则则
数列为递增数列，所以，，
则实数k的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；数列的函数特性；等差数列概念与表示；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式变形和等差数列的定义，进而证出数列为等差数列；
（2）由等差数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合不等式恒成立问题求解方法，要使得怛成立，只需要，再利用换元法，令，再由递推公式和放缩法和函数的单调性，进而证出数列的单调性，再由数列的单调性求出数列的最小值，从而得出实数k的取值范围.
22．【答案】（1）解：由点在双曲线上，
可得，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）解：依题意，如图所示：
由直线垂直于，可得直线的斜率为，
设直线的方程为，且，
联立方程组，整理得，
因为直线与双曲线的右支交于两点，
则，解得，
可得，
则
，
又由点到直线的距离为，
所以，
直线的方程为，
令，可得，
直线的方程为，
令，可得，则
，
所以，三角形的面积，
又由，
则，
令，
可得函数在上单调递减，且，
所以，所以，
即的取值范围为.
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由点在双曲线上，则由代入法求出的值，从而得出双曲线C的标准方程（2）根据题意，设直线为，联立直线和双曲线的方程，由得出m的取值范围，再利用韦达定理得出，由弦长公式得出，进而由四边形的面积公式得到，利用赋值法和直线的方程、直线的方程，从而得出点M，N的纵坐标，进而得到，再由三角形的面积公式得出三角形的面积为，进而得到，令，再结合函数的单调性和的值，从而得出函数的值域，进而得出的取值范围．
（1）解：由点在双曲线上，可得，
解得，所以双曲线的方程为.
（2）解：由直线垂直于，可得直线的斜率为，
设直线的方程为，且，
联立方程组，整理得，
因为直线与双曲线的右支交于两点，
则，解得，
可得，
则
，
又由点到直线的距离为，
所以，
直线的方程为，令，可得，
直线的方程为，令，可得
则
，
所以的面积，
又由，则，
令，
可得函数在上单调递减，且，所以，
所以，即的取值范围为.
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