广东省佛山市南海区第一中学2024-2025学年高一上学期第一次阶段测试数学试题
1．（2024高一上·南海月考）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·南海月考）不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高一上·南海月考）下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
4．（2024高一上·南海月考）在平面直角坐标系中，集合表示直线上的所有点，从这个角度看，若有集合，则集合、之间有什么关系？（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一上·南海月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一上·南海月考）下列命题的否定是真命题的是（ ）
A．
B．菱形都是平行四边形
C．，一元二次方程没有实数根
D．平面四边形，其内角和等于360°
7．（2024高一上·南海月考）已知不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一上·南海月考）若关于的不等式的解中，恰有3个整数，则实数应满足（ ）
A． B．或
C． D．或
9．（2024高一上·南海月考）下列几个关系中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高一上·南海月考）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高一上·南海月考）已知关于x的不等式的解集是，则（ ）
A．
B．
C．
D．不等式的解集是
12．（2024高一上·南海月考）已知_____________．
13．（2024高一上·南海月考）函数的定义域为 ．
14．（2024高一上·南海月考）已知正数，满足，则的最小值为 .
15．（2024高一上·南海月考）设集合．求：
（1）；
（2）；
（3）
16．（2024高一上·南海月考）已知命题P：，使x2﹣4x+m0为真命题．
（1）求实数m的取值集合B；
（2）设为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
17．（2024高一上·南海月考）已知函数，.
（1）若，且，求的最小值；
（2）若，求关于的不等式的解集.
18．（2024高一上·南海月考）进口博览会是一个展示各国商品和服务的盛会，也是一个促进全球贸易和交流的重要平台.某汽车生产企业想利用2023年上海进口博览会这个平台，计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产（百辆），需投入流动成本（万元），且其中.由市场调研知道，每辆车售价25万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（2）年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
（总利润总销售收入-固定成本-流动成本
19．（2024高一上·南海月考）已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求的值；
（2）判断的单调性，并用定义法证明你的结论；
（3）求使成立的实数a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算；Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：易知集合，由图像可知阴影部分对应的集合为，
则．
故答案为：A.
【分析】先求集合B，再由图可知阴影部分对应的集合为，再根据集合的补集、交集运算求解即可．
2．【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以 。
故答案为：C
【分析】利用一元二次不等式求解集的方法，从而求出不等式 的解集。
3．【答案】A
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：A、函数和的定义域均为R，且即解析式一致，故A符合题意；
B、函数与的定义域均为R，但与解析式不一样，故B不符合题意；
C、函数的定义域为，函数的定义域为R，定义域不同，故C不符合题意；
D、函数的定义域为，函数的定义域为R，定义域不同，故D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据同一函数的定义，逐项判断即可.
4．【答案】B
【知识点】集合间关系的判断
【解析】【解答】解：因为集合，且，所以.
故答案为：B.
【分析】由题意，先求集合，再利用集合的包含关系判断即可.
5．【答案】B
【知识点】集合间关系的判断
【解析】【解答】解：由题意，集合，，则.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件，统一集合的元素属性的结构形式判断即可.
6．【答案】C
【知识点】命题的否定；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解： A、当m=0时，，所以命题 是真命题，所以其否定是假命题，故不选A；
B、 菱形都是平行四边形是真命题，所以其否定是假命题，故不选B；
C、，恒成立，所以，方程有实数解，即命题“，一元二次方程没有实数根。”的否定是真命题，故选C；
D、平行四边形的内角和是360°，该命题是真命题，所以其否定是假命题，故不选D；
故答案为：C.
【分析】命题的否定的真假，可通过判断原命题的真假来判断.
7．【答案】C
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：若不等式对于任意的恒成立，
则对于任意的恒成立，因为当时，，所以，
即实数的取值范围是.
故答案为：C．
【分析】分离参数可得恒成立，求即可得实数的取值范围.
8．【答案】D
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：不等式，化为，由解中恰有3个整数
则当时，，得；
当时，，得，
综上所述，或.
故答案为：D.
【分析】不等式化为，讨论中与1的大小求解集，再判断解集中含3个整数时参数的范围即可.
9．【答案】A,D
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断；集合相等
【解析】【解答】解：元素0是集合的一个元素，故，故A错误，B正确；
空集是所有集合的子集，故，，故C正确，D错误.
故答案为：AD.
【分析】由题意，根据集合的定义逐项判断即可.
10．【答案】C,D
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：A、，，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】根据根式的性质化简集合，再根据集合的交并补定义，结合选项逐项判断即可.
11．【答案】A,B,C
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：A、因为不等式的解集是，所以，故A正确；
B、由于1，2为方程的两根，则，故B正确；
C、抛物线开口向下且与轴的交点为和，则当时，，故C正确；
D、由韦达定理得，所以，，
则不等式为，即，
解得或，故D错误．
故答案为：ABC．
【分析】由题意，根据二次函数，一元二次方程，一元二次不等式的关系求解即可.
12．【答案】
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：令，解得，则，故.
故答案为：.
【分析】令，求出的值，再求的值即可.
13．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，
整理可得，解得，
故函数的定义域为.
故答案为：.
【分析】根据偶次根式有意义，得关于的不等式求解即可.
14．【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为正数，满足， 所以
，当且仅当，即时等号成立，则的最小值为.
故答案为：.
【分析】由题意，利用“1”的灵活运用，结合基本不等式求解即可.
15．【答案】（1）解：由集合交集的定义，
；
（2）解：由集合并集和补集的定义，
，
或；
（3）解：由集合补集和交集的定义，
或，
或，
或.
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【分析】（1） 由集合交集的定义可求出 ；
（2） 由集合并集和补集的定义可求出 ；
（3） 由集合补集和交集的定义可求出 .
16．【答案】（1）解：由题意可得：关于的方程无实数根，
则，解得， 即；
（2）解：因为为非空集合，所以，即，
因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，则且，即，
综上所述，实数a的取值范围为.
【知识点】充分条件；命题的真假判断与应用；一元二次方程的解集
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程判别式与根的情况的关系求解即可；
（2）利用充分不必要条件的定义转化为集合之间的关系求解即可.
（1）由题意得关于的方程无实数根，
所以，解得， 即；
（2）因为为非空集合，所以，即，
因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，则且，
即，
综上所述，实数a的取值范围为.
17．【答案】（1）解：因为，，，
所以，，当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
（2）解：，可得，则，
，则，解不等式可得或.
因此，不等式的解集为.
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合代入法得出a+b的值，再利用均值不等式变形求最值的方法得出 的最小值。
（2）利用已知条件结合代入法得出a，b的关系式，再结合a的取值范围和一元二次不等式求解方法，进而得出不等式的解集。
18．【答案】（1）解：当时，
.
当时，
.
综上
（2）解：当时，
，
当时，万元.
当时，
当且仅当时，万元.
综上，当年产量为25百辆时，企业所获利润最大，最大利润为3250万元.
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】本题主要考查分段函数的实际应用，（1）利用总利润=单件利润数量结合题干中的流动成本分段写出的解析式即可；
（2）当时，利用二次函数配成的顶点式求得利润的最值，当时，利用基本不等式即可求得最值.
19．【答案】（1）解：由题意可知，故，
又因为，所以，解得；所以，
函数定义域关于原点对称，且，
故是定义在上的奇函数，满足题意，
所以；
（2）解：函数在上单调递增，证明如下：
取任意，且，
则；
因为，且，
所以，，所以，
所以，即，
因此在上单调递增；
（3）解：由（1）（2）可知，是在上单调递增的奇函数，
所以由可得，
因此需满足，解得，即；
故实数a的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）由函数是定义在上的奇函数，得以及求值即可；
（2）利用函数单调性定义按步骤证明函数在上单调递增即可；
（3）由函数奇偶性及其单调性解不等式即可得a的取值范围为.
（1）由题意可知，故，
又由可得，解得；
所以，
此时定义域关于原点对称，且，
故是定义在上的奇函数，满足题意，
所以.
（2）在上单调递增，证明如下：
取任意，且，
则；
因为，且，
所以，，
所以，
所以，即，
因此在上单调递增.
（3）由（1）（2）可知，是在上单调递增的奇函数，
所以由可得，
因此需满足，解得，即；
故实数a的取值范围为.
1 / 1广东省佛山市南海区第一中学2024-2025学年高一上学期第一次阶段测试数学试题
1．（2024高一上·南海月考）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算；Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：易知集合，由图像可知阴影部分对应的集合为，
则．
故答案为：A.
【分析】先求集合B，再由图可知阴影部分对应的集合为，再根据集合的补集、交集运算求解即可．
2．（2024高一上·南海月考）不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以 。
故答案为：C
【分析】利用一元二次不等式求解集的方法，从而求出不等式 的解集。
3．（2024高一上·南海月考）下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】A
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：A、函数和的定义域均为R，且即解析式一致，故A符合题意；
B、函数与的定义域均为R，但与解析式不一样，故B不符合题意；
C、函数的定义域为，函数的定义域为R，定义域不同，故C不符合题意；
D、函数的定义域为，函数的定义域为R，定义域不同，故D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据同一函数的定义，逐项判断即可.
4．（2024高一上·南海月考）在平面直角坐标系中，集合表示直线上的所有点，从这个角度看，若有集合，则集合、之间有什么关系？（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】集合间关系的判断
【解析】【解答】解：因为集合，且，所以.
故答案为：B.
【分析】由题意，先求集合，再利用集合的包含关系判断即可.
5．（2024高一上·南海月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】集合间关系的判断
【解析】【解答】解：由题意，集合，，则.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件，统一集合的元素属性的结构形式判断即可.
6．（2024高一上·南海月考）下列命题的否定是真命题的是（ ）
A．
B．菱形都是平行四边形
C．，一元二次方程没有实数根
D．平面四边形，其内角和等于360°
【答案】C
【知识点】命题的否定；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解： A、当m=0时，，所以命题 是真命题，所以其否定是假命题，故不选A；
B、 菱形都是平行四边形是真命题，所以其否定是假命题，故不选B；
C、，恒成立，所以，方程有实数解，即命题“，一元二次方程没有实数根。”的否定是真命题，故选C；
D、平行四边形的内角和是360°，该命题是真命题，所以其否定是假命题，故不选D；
故答案为：C.
【分析】命题的否定的真假，可通过判断原命题的真假来判断.
7．（2024高一上·南海月考）已知不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：若不等式对于任意的恒成立，
则对于任意的恒成立，因为当时，，所以，
即实数的取值范围是.
故答案为：C．
【分析】分离参数可得恒成立，求即可得实数的取值范围.
8．（2024高一上·南海月考）若关于的不等式的解中，恰有3个整数，则实数应满足（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：不等式，化为，由解中恰有3个整数
则当时，，得；
当时，，得，
综上所述，或.
故答案为：D.
【分析】不等式化为，讨论中与1的大小求解集，再判断解集中含3个整数时参数的范围即可.
9．（2024高一上·南海月考）下列几个关系中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断；集合相等
【解析】【解答】解：元素0是集合的一个元素，故，故A错误，B正确；
空集是所有集合的子集，故，，故C正确，D错误.
故答案为：AD.
【分析】由题意，根据集合的定义逐项判断即可.
10．（2024高一上·南海月考）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C,D
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：A、，，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】根据根式的性质化简集合，再根据集合的交并补定义，结合选项逐项判断即可.
11．（2024高一上·南海月考）已知关于x的不等式的解集是，则（ ）
A．
B．
C．
D．不等式的解集是
【答案】A,B,C
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：A、因为不等式的解集是，所以，故A正确；
B、由于1，2为方程的两根，则，故B正确；
C、抛物线开口向下且与轴的交点为和，则当时，，故C正确；
D、由韦达定理得，所以，，
则不等式为，即，
解得或，故D错误．
故答案为：ABC．
【分析】由题意，根据二次函数，一元二次方程，一元二次不等式的关系求解即可.
12．（2024高一上·南海月考）已知_____________．
【答案】
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：令，解得，则，故.
故答案为：.
【分析】令，求出的值，再求的值即可.
13．（2024高一上·南海月考）函数的定义域为 ．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，
整理可得，解得，
故函数的定义域为.
故答案为：.
【分析】根据偶次根式有意义，得关于的不等式求解即可.
14．（2024高一上·南海月考）已知正数，满足，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为正数，满足， 所以
，当且仅当，即时等号成立，则的最小值为.
故答案为：.
【分析】由题意，利用“1”的灵活运用，结合基本不等式求解即可.
15．（2024高一上·南海月考）设集合．求：
（1）；
（2）；
（3）
【答案】（1）解：由集合交集的定义，
；
（2）解：由集合并集和补集的定义，
，
或；
（3）解：由集合补集和交集的定义，
或，
或，
或.
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【分析】（1） 由集合交集的定义可求出 ；
（2） 由集合并集和补集的定义可求出 ；
（3） 由集合补集和交集的定义可求出 .
16．（2024高一上·南海月考）已知命题P：，使x2﹣4x+m0为真命题．
（1）求实数m的取值集合B；
（2）设为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：由题意可得：关于的方程无实数根，
则，解得， 即；
（2）解：因为为非空集合，所以，即，
因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，则且，即，
综上所述，实数a的取值范围为.
【知识点】充分条件；命题的真假判断与应用；一元二次方程的解集
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程判别式与根的情况的关系求解即可；
（2）利用充分不必要条件的定义转化为集合之间的关系求解即可.
（1）由题意得关于的方程无实数根，
所以，解得， 即；
（2）因为为非空集合，所以，即，
因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，则且，
即，
综上所述，实数a的取值范围为.
17．（2024高一上·南海月考）已知函数，.
（1）若，且，求的最小值；
（2）若，求关于的不等式的解集.
【答案】（1）解：因为，，，
所以，，当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
（2）解：，可得，则，
，则，解不等式可得或.
因此，不等式的解集为.
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合代入法得出a+b的值，再利用均值不等式变形求最值的方法得出 的最小值。
（2）利用已知条件结合代入法得出a，b的关系式，再结合a的取值范围和一元二次不等式求解方法，进而得出不等式的解集。
18．（2024高一上·南海月考）进口博览会是一个展示各国商品和服务的盛会，也是一个促进全球贸易和交流的重要平台.某汽车生产企业想利用2023年上海进口博览会这个平台，计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产（百辆），需投入流动成本（万元），且其中.由市场调研知道，每辆车售价25万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（2）年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
（总利润总销售收入-固定成本-流动成本
【答案】（1）解：当时，
.
当时，
.
综上
（2）解：当时，
，
当时，万元.
当时，
当且仅当时，万元.
综上，当年产量为25百辆时，企业所获利润最大，最大利润为3250万元.
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】本题主要考查分段函数的实际应用，（1）利用总利润=单件利润数量结合题干中的流动成本分段写出的解析式即可；
（2）当时，利用二次函数配成的顶点式求得利润的最值，当时，利用基本不等式即可求得最值.
19．（2024高一上·南海月考）已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求的值；
（2）判断的单调性，并用定义法证明你的结论；
（3）求使成立的实数a的取值范围.
【答案】（1）解：由题意可知，故，
又因为，所以，解得；所以，
函数定义域关于原点对称，且，
故是定义在上的奇函数，满足题意，
所以；
（2）解：函数在上单调递增，证明如下：
取任意，且，
则；
因为，且，
所以，，所以，
所以，即，
因此在上单调递增；
（3）解：由（1）（2）可知，是在上单调递增的奇函数，
所以由可得，
因此需满足，解得，即；
故实数a的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）由函数是定义在上的奇函数，得以及求值即可；
（2）利用函数单调性定义按步骤证明函数在上单调递增即可；
（3）由函数奇偶性及其单调性解不等式即可得a的取值范围为.
（1）由题意可知，故，
又由可得，解得；
所以，
此时定义域关于原点对称，且，
故是定义在上的奇函数，满足题意，
所以.
（2）在上单调递增，证明如下：
取任意，且，
则；
因为，且，
所以，，
所以，
所以，即，
因此在上单调递增.
（3）由（1）（2）可知，是在上单调递增的奇函数，
所以由可得，
因此需满足，解得，即；
故实数a的取值范围为.
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