2024北京北师大实验中学高一12月月考数学（扫描版，含答案）

一、选择题（每小题 4分，共 32分)
1 2 3 4 5 6 7 8
A B B C D C A D
二、填空题（每小题 4分，共 24分)
9 10 11
(0,1) (1,2)
1
7 ；16
2
12 13 14
1 1 1
, [2,4] 1 ； 0, (1,+ ) ②③④
4 2 2
三、解答题（共 44分)
15．解：（Ⅰ）记两红球为 a1,a ，两白球为b ,b ，事件 A ：“恰有一个为红球”， 2 1 2
样本空间 ={a1a2 ,a1b1,a1b2 ,a2b1,a2b2 ,b1b2}
其中样本点个数 n( ) = 6
A ={a1b1,a1b2 ,a2b1,a2b2}
其中样本点个数 n(A) = 4
n(A) 2
P(A) = =
n( ) 3
（Ⅱ）记事件 B ：“至少有一个为红球”
B :{b1b2}，其中样本点个数 n(B) =1
n(B) 1 5
P(B) = = ， P(B) =1 P(B) =
n( ) 6 6
1
16. 解：（Ⅰ）由图知： f1 = 0.001 50 = 0.05， f3 = 0.006 50 = 0.3
f2 = 0.5 f1 f3 = 0.5 0.05 0.3 = 0.15
f5 = f2 = 0.15， f7 = f1 = 0.05
f4 + f6 =1 ( f1 + f2 + f3 + f5 + f7 ) =1 (0.5+ 0.15+ 0.05) = 0.3
由于 f ，则4 = 2 f6 f6 = 0.1
（Ⅱ）样本中在[150,300) 内的频率为 f3 + f4 + f5 = 0.3+ 0.2 + 0.15 = 0.65
相应的频数为100 0.65 = 65
（Ⅲ）样本中在[250,400]内的频率为 f5 + f6 + f7 = 0.15+ 0.1+ 0.05 = 0.3
全校学生一周内的校志愿者活动时长不少于 250 分钟的人数估计值为：
2000 0.3 = 600人
17. 解：（Ⅰ）函数 f (x)的定义域 D = ( 2,2) ， x D ， x D
f ( x) = log3(2 x) log3(2 + x) = f (x)
因此 f (x)为奇函数
（Ⅱ） m,m D m ( 2,2)
由于 f (x)为奇函数，则 f (m) f ( m) = 2 f (m) 2 f (m) 1
2 + m 2 + m
即： log3 1，所以 3
2 m 2 m
2 + m 4m 4
3 0 (m 1)(m 2) 0 m 1或m 2
2 m 2 m
结合m ( 2,2) ，有 2 m 1
因此，m 的取值范围是 ( 2,1)
2
18. 解：（Ⅰ） f (x) = 2x+1 22x = 2 2x (2x )2 = (2x 1)2 +1≤1
当且仅当 2x =1，即 x = 0 时，等号成立
所以 f (x)的最大值为1
x2
（Ⅱ）由题“ x (1,+ )， x2 + ax ≤ a ” 即：“ x (1,+ )，均有 a ≤ ”
x 1
x2 (x 1)2 + 2(x 1) +1 1 1
= = (x 1) + + 2≥ 2 (x 1) + 2 = 4
x 1 x 1 x 1 x 1
x2
当且仅当 x = 2时，等号成立，故 a ≤ = 4 ，即 a的最大值为 4
x 1 min
（Ⅲ）令 t ax ， f (x) = ax+1 a2x = t2= + at ，令 g(t) = t2 + at
1 1
① 当 0 a 1时， t = ax a, ， g(t) 在 a, 上单调递减
a a


1 1 1 1
所以， g(t) g , g(a) = 1 ,0 [ 3,1] ，故1 ≥ 3 ≤ a 1
a a
2
a
2 2
1
② 当 a 1时， t = ax ,a
a
a 1 1
1）当1 a ≤ 2 （ ≤ ）时： g(t) 在 ,a 上单调递减 2 a a


1 1
所以， g(t) g(a), g = 0,1 [ 3,1]恒成立，合题 2
a a
1 a 1 a a
2）当 a 2 （ a ）时： g(t) 在
a 2
,
a 2
单调递增，在 ,a2
单调递减

1 1 a a2
g(t)min = min g(a), g = min 0,1 = 0 ， g(t)max = g =
a a
2
2 4
2 a2a
所以， g(t) 0, [ 3,1]，故 ≤1 2 a ≤ 2
4 4
1
综上， a的取值范围是 ,1 (1,2]
2
3
【另解】：令 t ax ， f (x) = ax+1 a2x= = t2 + at ，
3 1
3≤ f (x) ≤1 3 t 2≤ + at ≤1 t ≤ a ≤ t +
t t
3 1
所以， t ≤ a ≤ t +
t max t min
1
① 当 0 a 1时， t = ax a,
a
1 3 1 1
a ≤ t + = 2， a ≥ t = 3a ，解得 a ≥
t min t max a 2
1
故 ≤ a 1
2
1
② 当 a 1时， t = ax ,a
a
1 3 3
a ≤ t + = 2， a ≥ t = a 恒成立
t min t max a
故1 a ≤ 2
1
综上， a的取值范围是 ,1 (1,2]
2
【附加题】
解：（Ⅰ）① f (x)是“W 函数”
② g(x) 不是“W 函数”
（Ⅱ）先证： f (x)在 (0,+ )上单调递增.
任取 x1, x2 (0,+ ) ，且 x1 x 2
① 若 0 x1 x2 ≤1，由于 f (x) 在 (0,1] 上单调递增，则 f (x1) f (x2 )
1 1
② 若1≤ x1 x2 ，则0 ≤1，由于 f (x) 在 (0,1] 上单调递增，
x2 x1
1 1
则 f f ，结合“W 函数”定义，有 f (x1) f (x2 )
x2 x1
即 f (x) 在[1,+ ) 上单调递增
③ 若0 x1 1 x2 ，由①②，则有 f (x1) f (1) = 0 f (x2 )
故 f (x) 在 (0,+ )上单调递增
4
f (3t ) + f (9t 1) 0 f (3t ) f (9t 1) f (3t ) f (91 t )
由于 t 1 tf (x)在 (0,+ )上单调递增，因此3 9 ，
2
即3t 32 2t ， 解得 t
3
2
综上， t 的取值范围是 ,+
3
2
1 a
（Ⅲ）① 当 x (1,+ ) 时： f (x) = f 2 = + (2a 1)x x
x x
2 a
2
= ( x + 2ax) x +
x
x2 + 2ax = (x a)2 + a2 2≤ a ，当且仅当 x = a时，等号成立
a2 a2
x + ≤ 2 x = 2a ，当且仅当 x = a时，等号成立
x x
2
故 f (x) = ( x2
a
+ 2ax) 2 x + ≤ a 2a ，当且仅当 x = a时，等号成立
x
所以， f (x)在 (1,+ )上的最大值为 f (a) = a2 2a
进而， 2f (x)在 (1,+ )上的值域为 ( ,a 2a]
1 1
② 当 x (0,1) 时， (1,+ ) ， f 的取值范围是 ( ,a
2 2a]
x x
1
由“W 函数”的定义， f (x) = f 的取值范围是[2a a
2 ,+ )
x
即 2f (x)在 (0,1)上的值域为[2a a ,+ )
③ 当 x =1时， f (1) + f (1) = 0，即 f (1) = 0
因此， 2 2f (x)在 (0,+ )上的值域为 ( ,a 2a] {0} [2a a ,+ )
若使其为R ，只需 a2 2a≥ 0，而 a 1，解得 a ≥ 2
综上， a的取值范围是[2,+ )
5