北京市丰台区2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题
1．（2024高二上·丰台期中）已知，，且，则（ ）
A． B． C．2 D．10
2．（2024高二上·丰台期中）若直线 过两点 和 ，则直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二上·丰台期中）过点 ，且横、纵截距相等的直线方程为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
4．（2024高二上·丰台期中）已知以点为圆心，为半径的圆，则点与圆的位置关系是（ ）
A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法判断
5．（2024高二上·丰台期中）如图，在平行六面体中，，为线段CH的中点，则可表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高二上·丰台期中）在空间直角坐标系中，若点关于轴的对称点为点，点关于平面的对称点为点，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二上·丰台期中）过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
8．（2024高二上·丰台期中）设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二上·丰台期中）在棱长为4的正方体内有一点P，它到该正方体共顶点的三个面的距离分别为2，1，1，记正方体的中心为点O，则OP =（ ）
A． B． C．2 D．
10．（2024高二上·丰台期中）在棱长为2的正四面体ABCD中，点M满足=x+y-(x+y-1)，点N满足=λ+(1-λ)，当AM、BN最短时，·=（ ）
A．- B． C．- D．
11．（2024高二上·丰台期中）圆的圆心坐标为 ；半径为 .
12．（2024高二上·丰台期中）已知直线，且的方向向量为，平面的法向量为，则 .
13．（2024高二上·丰台期中）已知两平行直线，，则与间的距离是 .
14．（2024高二上·丰台期中）已知，，，若四点共面，则实数 .
15．（2024高二上·丰台期中）在平面直角坐标系中，定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作.已知点和直线，则= ；若定点，动点满足，则点所在的曲线所围成图形的面积是 .
16．（2024高二上·丰台期中）已知直线 过点 ，直线 ： ．
（1）若 ，求直线 的方程；
（2）若直线 与 轴和直线 围成的三角形的面积为 ，求直线 的方程．
17．（2024高二上·丰台期中）如图所示，在三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上，且.
（1）用表示向量；
（2）求；
（3）求证：.
18．（2024高二上·丰台期中）已知圆，圆及点.
（1）判断圆和圆的位置关系，并说明理由；
（2）若斜率为的直线经过点且与圆相切，求直线的方程.
19．（2024高二上·丰台期中）如图，在长方体中，，，点在上，且.
（1）求直线与直线所成角的大小；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若点在侧面上，且点到直线和的距离相等，求点P到直线距离的最小值．
20．（2024高二上·丰台期中）如图，在四棱锥中，平面，为等腰三角形，，，，点分别为棱的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求直线到平面的距离；
（3）试判断棱上是否存在一点G，使平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
21．（2024高二上·丰台期中）已知圆M的圆心在y轴上，半径为2，且经过点.
（1）求圆M的标准方程；
（2）设点，过点D作直线，交圆M于P，Q两点（P，Q不在y轴上），过点D作与直线垂直的直线，交圆M于E，F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以存在实数，使得，
即，，解得.
故答案为：C.
【分析】由题意，可得，再根据空间向量平行的到方程组求解即可.
2．【答案】B
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】由题意，设直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，
故 ，
由于 ，故 。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合两点求斜率公式，从而求出直线的斜率，再利用直线的斜率和直线的倾斜角的关系式，从而结合直线的倾斜角的取值范围，进而求出直线的倾斜角。
3．【答案】D
【知识点】直线的截距式方程；直线的一般式方程
【解析】【解答】当直线过原点时，直线的斜率为 ，则直线方程为 ；
当直线不过原点时，设直线方程为 ，则 ，解得 ，
所求的直线方程为 ，
综上可知，所求直线方程为 或 。
故答案为：D.
【分析】利用分类讨论的方法结合已知条件，再利用截距式方程结合代入法，再结合转化的方法求出过点 ，且横、纵截距相等的直线的一般式方程。
4．【答案】A
【知识点】平面内两点间的距离公式；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为，所以点在圆内.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据两点间距离公式求，比较与圆半径的大小即可得结论.
5．【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：由题可得：，
所以.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据空间向量的线性运算化简求解即可.
6．【答案】A
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：易知点关于轴的对称点，
点关于平面的对称点为点，则.
故答案为：A.
【分析】由题意，利用对称性求出点、的坐标，再利用空间向量的坐标运算求向量的坐标即可.
7．【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；平面内点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：易知过原点且倾斜角为的直线为，
圆心到的距离，
则直线被圆所截得的弦长为.
故答案为：B.
【分析】由题意，先求直线的方程，再求圆心到直线的距离，利用垂径定理求解即可.
8．【答案】C
【知识点】直线的两点式方程；直线的一般式方程
【解析】【解答】解：因为点在直线上，且横坐标为2，所以点坐标为，
又因为点为直线与轴交点，所以，
又因为点在轴上，且，所以点是的中点，则，
故直线PB的方程为，即.
故答案为：C.
【分析】由题意，先确定点、的坐标，再利用两点式求直线PB的方程即可.
9．【答案】D
【知识点】空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】解：由题意知在棱长为4的正方体内有一点P，它到该正方体共顶点的三个面的距离分别为2，1，1，不妨设该顶点为D，以D点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，根据正方体的对称性，，故.
故答案为：D.
【分析】以D点为坐标原点，建立空间直角坐标系，确定点O，P的坐标，利用空间两点间的距离公式求解即可.
10．【答案】A
【知识点】空间向量基本定理；共面向量定理；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由共面向量定理和共线向量定理可知，平面，直线，当AM、BN最短时，AM⊥平面BCD，BN⊥AC，所以M为△BCD的中心，N为AC的中点，
此时，2||==，则||=，
因为AM⊥平面BCD，MC 平面BCD，所以AM⊥MC，
所以||=，
又因为=(+)，所以·(·+·)||2 =-43.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据共面向量定理和共线向量定理，结合向量的数量积的运算求解即可.
11．【答案】（1，-3）；1
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】将圆的一般方程化为圆标准方程是，
圆心坐标为，半径为1．
故答案为：（1，-3）；1．
【分析】把圆的一般方程化为圆标准方程，进一步求出圆心和半径.
12．【答案】
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为直线，且的方向向量为，平面的法向量为，
所以，解得.
故答案为：.
【分析】由题意可得直线的方向向量与平面法向量垂直，再利用向量垂直的坐标运算列式计算即可.
13．【答案】
【知识点】两条直线平行的判定；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：因为直线，平行，所以，
解得，则直线，
将化为，则与间的距离为.
故答案为：.
【分析】先利用直线平行求得，再利用平行线间的距离公式求解即可.
14．【答案】3
【知识点】共面向量定理；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为四点共面，所以存在实数，使得，
即，所以，解得.
所以.
故答案为：.
【分析】根据共面向量基本定理，结合向量的坐标运算列式求解即可.
15．【答案】；
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；与直线有关的动点轨迹方程
【解析】【解答】解：设为直线上一点，
则，
由，解得，即，当时，取得最小值；
由，解得或，即，
的范围为，无最小值，
综上，的最小值为，所以；
设轨迹上动点为，则，
等价于或，
所以点的轨迹是以为中心，边长为的正方形，
所以点所在的曲线所围成图形的面积为.
故答案为：
【分析】设点是直线上一点，且，可得，讨论的大小，可得距离，再由函数的性质，求最小值疾控科；运用新定义，求得点的轨迹图形，再计算图形的面积即可.
16．【答案】（1）解：设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为
因为 ，所以
又因为 ，所以
又因为直线 过点
直线 的方程为 ，即 ．
（2）解：若直线 斜率不存在，则直线 ：
此时，直线 与 轴和直线 围成的三角形面积为 ，符合题意．
若直线 斜率存在，设直线 的斜率为
设直线 ： ，与 轴交点为点
令 ，解得
所以点 坐标为
直线 与直线 的交点为点
因为直线 与 轴和直线 围成的三角形面积为
即
即 ，可求得
则直线 的方程为
综上：直线 的方程为 或 ．
【知识点】用斜率判定两直线垂直；直线的一般式方程；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出直线 的斜率，再利用点斜式求出直线 的方程，再转化为直线 的一般式方程。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合三角形的面积公式和两直线求交点的方法，从而求出直线的斜率，进而结合点斜式方程求出直线 的方程，再转化为直线 的一般式方程。
17．【答案】（1）解：；
（2）解：，则；
（3）证明：
，
所以
，
所以，即.
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算，结合空间向量基本定理求解即可；
（2）由（1）的结论，利用向量的数量积的运算律求解模长即可；
（3）先利用向量线性运算得，再利用数量积的运算律及定义求得，证明即可.
（1）；
（2），
则；
（3），
所以
，
所以，即.
18．【答案】（1）解：圆方程化为标准方程可得，则圆心，半径，
由圆方程可知：圆心，半径，
因为，，，
所以，
所以圆和圆相交；
（2）解：当过的直线斜率不存在，
即直线为时，其与圆不相切，
所以可设所求切线方程为：，即，
所以圆心到切线的距离，即，解得：或，
所以切线方程为：或，即或.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【分析】（1）先将圆的一般式化为标准方程，求得两圆的圆心和半径，比较圆心距与半径和、差的关系，即可得两圆的位置关系；
（2）设直线方程的点斜式，利用圆心到直线的距离等于远的半径求，可得圆的切线方程.
（1）圆方程可整理为：，则圆心，半径，
由圆方程可知：圆心，半径，
因为，，，
所以，
所以圆和圆相交.
（2）当过的直线斜率不存在，
即直线为时，其与圆不相切，
所以可设所求切线方程为：，即，
所以圆心到切线的距离，即，解得：或，
所以切线方程为：或，即或.
19．【答案】（1）解：以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
，
，
故直线与直线所成角为；
（2）解：设平面的一个法向量为，
，
因为，所以，即，
令，则，所以，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
（3）解：设，根据题意有，即，
，
则点到的距离
，
当时，取得最小值1，故点到的距离最小值为1.
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求直线与直线的夹角即可；
（2）由（1）的直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量法求解即可；
（3）设出点，可得，利用点到直线距离公式求解即可.
（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
，
则，
，
所以直线与直线所成角为.
（2）设平面的一个法向量为，
，
因为，所以，即，
令，则，所以，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）设，根据题意有，即，
，
则点到的距离
，
当时，取得最小值1.
所以点到的距离最小值为1.
20．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
，
因为点分别为棱的中点，
所以是的中位线，所以，
因为平面，平面，所以平面；
（2）解：由（1）知直线到平面的距离等于点到平面的距离，取中点，连接，
因为，所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，所以平面，
所以，
因为为中点，
所以，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
，
设平面的一个法向量为，
因为，所以，所以，
设，则所以，，
所以直线到平面的距离；
（3）解：棱上存在点，使平面与平面夹角的余弦值为，
设
设平面的一个法向量为
因为，所以，，
设，则，所以，
，解得，故.
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；向量方法证明线、面的位置关系定理；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意，根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）根据已知条件建立空间直角坐标，利用空间向量法求解疾控科可；
（3）假设存在，设，根据面面夹角的余弦值列得等式，求出值即可.
（1）连接，如图所示：
，
因为点分别为棱的中点，
所以是的中位线，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）由（1）知直线到平面的距离等于点到平面的距离，
取中点，连接，
因为，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，所以平面，
所以，
因为为中点，
所以，
，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
，
设平面的一个法向量为，
因为，所以，所以，
设，则所以，，
所以直线到平面的距离；
（3）棱上存在点，使平面与平面夹角的余弦值为
设
设平面的一个法向量为
因为，所以，，
设，则，所以，
，
解得，
所以.
21．【答案】（1）解：因为圆M的圆心在y轴上，可设圆心坐标为，
又因为半径为2，且经过点，
所以，解得：，
所以圆M的标准方程为：；
（2）解：直线的斜率存在，设直线的方程，即，如图所示：
则圆心到直线的距离，
所以，
若，则直线斜率不存在，
则，则，
若，则直线得方程为，即，
则圆心到直线的距离，所以，
则
，
当且仅当，即时取等号，
综上所述，因为，所以S的最大值为7.
【知识点】基本不等式；平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）由题意，设圆心坐标为，根据半径列式求出b求解即可；
（2）讨论直线斜率是否存在，存在时，结合点到直线的距离公式、圆的弦长以及直线的垂直关系求出四边形EPFQ的面积的表达式，利用基本不等式求解即可.
（1）因为圆M的圆心在y轴上，可设圆心坐标为，
又因为半径为2，且经过点，
所以，解得：，
所以圆M的标准方程为：.
（2）直线的斜率存在，设直线的方程，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
若，则直线斜率不存在，
则，则，
若，则直线得方程为，即，
则圆心到直线的距离，所以，
则
，
当且仅当，即时取等号，
综上所述，因为，
所以S的最大值为7.
1 / 1北京市丰台区2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题
1．（2024高二上·丰台期中）已知，，且，则（ ）
A． B． C．2 D．10
【答案】C
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以存在实数，使得，
即，，解得.
故答案为：C.
【分析】由题意，可得，再根据空间向量平行的到方程组求解即可.
2．（2024高二上·丰台期中）若直线 过两点 和 ，则直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】由题意，设直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，
故 ，
由于 ，故 。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合两点求斜率公式，从而求出直线的斜率，再利用直线的斜率和直线的倾斜角的关系式，从而结合直线的倾斜角的取值范围，进而求出直线的倾斜角。
3．（2024高二上·丰台期中）过点 ，且横、纵截距相等的直线方程为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】D
【知识点】直线的截距式方程；直线的一般式方程
【解析】【解答】当直线过原点时，直线的斜率为 ，则直线方程为 ；
当直线不过原点时，设直线方程为 ，则 ，解得 ，
所求的直线方程为 ，
综上可知，所求直线方程为 或 。
故答案为：D.
【分析】利用分类讨论的方法结合已知条件，再利用截距式方程结合代入法，再结合转化的方法求出过点 ，且横、纵截距相等的直线的一般式方程。
4．（2024高二上·丰台期中）已知以点为圆心，为半径的圆，则点与圆的位置关系是（ ）
A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法判断
【答案】A
【知识点】平面内两点间的距离公式；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为，所以点在圆内.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据两点间距离公式求，比较与圆半径的大小即可得结论.
5．（2024高二上·丰台期中）如图，在平行六面体中，，为线段CH的中点，则可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：由题可得：，
所以.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据空间向量的线性运算化简求解即可.
6．（2024高二上·丰台期中）在空间直角坐标系中，若点关于轴的对称点为点，点关于平面的对称点为点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：易知点关于轴的对称点，
点关于平面的对称点为点，则.
故答案为：A.
【分析】由题意，利用对称性求出点、的坐标，再利用空间向量的坐标运算求向量的坐标即可.
7．（2024高二上·丰台期中）过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；平面内点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：易知过原点且倾斜角为的直线为，
圆心到的距离，
则直线被圆所截得的弦长为.
故答案为：B.
【分析】由题意，先求直线的方程，再求圆心到直线的距离，利用垂径定理求解即可.
8．（2024高二上·丰台期中）设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的两点式方程；直线的一般式方程
【解析】【解答】解：因为点在直线上，且横坐标为2，所以点坐标为，
又因为点为直线与轴交点，所以，
又因为点在轴上，且，所以点是的中点，则，
故直线PB的方程为，即.
故答案为：C.
【分析】由题意，先确定点、的坐标，再利用两点式求直线PB的方程即可.
9．（2024高二上·丰台期中）在棱长为4的正方体内有一点P，它到该正方体共顶点的三个面的距离分别为2，1，1，记正方体的中心为点O，则OP =（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】解：由题意知在棱长为4的正方体内有一点P，它到该正方体共顶点的三个面的距离分别为2，1，1，不妨设该顶点为D，以D点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，根据正方体的对称性，，故.
故答案为：D.
【分析】以D点为坐标原点，建立空间直角坐标系，确定点O，P的坐标，利用空间两点间的距离公式求解即可.
10．（2024高二上·丰台期中）在棱长为2的正四面体ABCD中，点M满足=x+y-(x+y-1)，点N满足=λ+(1-λ)，当AM、BN最短时，·=（ ）
A．- B． C．- D．
【答案】A
【知识点】空间向量基本定理；共面向量定理；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由共面向量定理和共线向量定理可知，平面，直线，当AM、BN最短时，AM⊥平面BCD，BN⊥AC，所以M为△BCD的中心，N为AC的中点，
此时，2||==，则||=，
因为AM⊥平面BCD，MC 平面BCD，所以AM⊥MC，
所以||=，
又因为=(+)，所以·(·+·)||2 =-43.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据共面向量定理和共线向量定理，结合向量的数量积的运算求解即可.
11．（2024高二上·丰台期中）圆的圆心坐标为 ；半径为 .
【答案】（1，-3）；1
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】将圆的一般方程化为圆标准方程是，
圆心坐标为，半径为1．
故答案为：（1，-3）；1．
【分析】把圆的一般方程化为圆标准方程，进一步求出圆心和半径.
12．（2024高二上·丰台期中）已知直线，且的方向向量为，平面的法向量为，则 .
【答案】
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为直线，且的方向向量为，平面的法向量为，
所以，解得.
故答案为：.
【分析】由题意可得直线的方向向量与平面法向量垂直，再利用向量垂直的坐标运算列式计算即可.
13．（2024高二上·丰台期中）已知两平行直线，，则与间的距离是 .
【答案】
【知识点】两条直线平行的判定；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：因为直线，平行，所以，
解得，则直线，
将化为，则与间的距离为.
故答案为：.
【分析】先利用直线平行求得，再利用平行线间的距离公式求解即可.
14．（2024高二上·丰台期中）已知，，，若四点共面，则实数 .
【答案】3
【知识点】共面向量定理；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为四点共面，所以存在实数，使得，
即，所以，解得.
所以.
故答案为：.
【分析】根据共面向量基本定理，结合向量的坐标运算列式求解即可.
15．（2024高二上·丰台期中）在平面直角坐标系中，定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作.已知点和直线，则= ；若定点，动点满足，则点所在的曲线所围成图形的面积是 .
【答案】；
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；与直线有关的动点轨迹方程
【解析】【解答】解：设为直线上一点，
则，
由，解得，即，当时，取得最小值；
由，解得或，即，
的范围为，无最小值，
综上，的最小值为，所以；
设轨迹上动点为，则，
等价于或，
所以点的轨迹是以为中心，边长为的正方形，
所以点所在的曲线所围成图形的面积为.
故答案为：
【分析】设点是直线上一点，且，可得，讨论的大小，可得距离，再由函数的性质，求最小值疾控科；运用新定义，求得点的轨迹图形，再计算图形的面积即可.
16．（2024高二上·丰台期中）已知直线 过点 ，直线 ： ．
（1）若 ，求直线 的方程；
（2）若直线 与 轴和直线 围成的三角形的面积为 ，求直线 的方程．
【答案】（1）解：设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为
因为 ，所以
又因为 ，所以
又因为直线 过点
直线 的方程为 ，即 ．
（2）解：若直线 斜率不存在，则直线 ：
此时，直线 与 轴和直线 围成的三角形面积为 ，符合题意．
若直线 斜率存在，设直线 的斜率为
设直线 ： ，与 轴交点为点
令 ，解得
所以点 坐标为
直线 与直线 的交点为点
因为直线 与 轴和直线 围成的三角形面积为
即
即 ，可求得
则直线 的方程为
综上：直线 的方程为 或 ．
【知识点】用斜率判定两直线垂直；直线的一般式方程；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出直线 的斜率，再利用点斜式求出直线 的方程，再转化为直线 的一般式方程。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合三角形的面积公式和两直线求交点的方法，从而求出直线的斜率，进而结合点斜式方程求出直线 的方程，再转化为直线 的一般式方程。
17．（2024高二上·丰台期中）如图所示，在三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上，且.
（1）用表示向量；
（2）求；
（3）求证：.
【答案】（1）解：；
（2）解：，则；
（3）证明：
，
所以
，
所以，即.
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算，结合空间向量基本定理求解即可；
（2）由（1）的结论，利用向量的数量积的运算律求解模长即可；
（3）先利用向量线性运算得，再利用数量积的运算律及定义求得，证明即可.
（1）；
（2），
则；
（3），
所以
，
所以，即.
18．（2024高二上·丰台期中）已知圆，圆及点.
（1）判断圆和圆的位置关系，并说明理由；
（2）若斜率为的直线经过点且与圆相切，求直线的方程.
【答案】（1）解：圆方程化为标准方程可得，则圆心，半径，
由圆方程可知：圆心，半径，
因为，，，
所以，
所以圆和圆相交；
（2）解：当过的直线斜率不存在，
即直线为时，其与圆不相切，
所以可设所求切线方程为：，即，
所以圆心到切线的距离，即，解得：或，
所以切线方程为：或，即或.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【分析】（1）先将圆的一般式化为标准方程，求得两圆的圆心和半径，比较圆心距与半径和、差的关系，即可得两圆的位置关系；
（2）设直线方程的点斜式，利用圆心到直线的距离等于远的半径求，可得圆的切线方程.
（1）圆方程可整理为：，则圆心，半径，
由圆方程可知：圆心，半径，
因为，，，
所以，
所以圆和圆相交.
（2）当过的直线斜率不存在，
即直线为时，其与圆不相切，
所以可设所求切线方程为：，即，
所以圆心到切线的距离，即，解得：或，
所以切线方程为：或，即或.
19．（2024高二上·丰台期中）如图，在长方体中，，，点在上，且.
（1）求直线与直线所成角的大小；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若点在侧面上，且点到直线和的距离相等，求点P到直线距离的最小值．
【答案】（1）解：以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
，
，
故直线与直线所成角为；
（2）解：设平面的一个法向量为，
，
因为，所以，即，
令，则，所以，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
（3）解：设，根据题意有，即，
，
则点到的距离
，
当时，取得最小值1，故点到的距离最小值为1.
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求直线与直线的夹角即可；
（2）由（1）的直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量法求解即可；
（3）设出点，可得，利用点到直线距离公式求解即可.
（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
，
则，
，
所以直线与直线所成角为.
（2）设平面的一个法向量为，
，
因为，所以，即，
令，则，所以，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）设，根据题意有，即，
，
则点到的距离
，
当时，取得最小值1.
所以点到的距离最小值为1.
20．（2024高二上·丰台期中）如图，在四棱锥中，平面，为等腰三角形，，，，点分别为棱的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求直线到平面的距离；
（3）试判断棱上是否存在一点G，使平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明：连接，如图所示：
，
因为点分别为棱的中点，
所以是的中位线，所以，
因为平面，平面，所以平面；
（2）解：由（1）知直线到平面的距离等于点到平面的距离，取中点，连接，
因为，所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，所以平面，
所以，
因为为中点，
所以，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
，
设平面的一个法向量为，
因为，所以，所以，
设，则所以，，
所以直线到平面的距离；
（3）解：棱上存在点，使平面与平面夹角的余弦值为，
设
设平面的一个法向量为
因为，所以，，
设，则，所以，
，解得，故.
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；向量方法证明线、面的位置关系定理；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意，根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）根据已知条件建立空间直角坐标，利用空间向量法求解疾控科可；
（3）假设存在，设，根据面面夹角的余弦值列得等式，求出值即可.
（1）连接，如图所示：
，
因为点分别为棱的中点，
所以是的中位线，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）由（1）知直线到平面的距离等于点到平面的距离，
取中点，连接，
因为，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，所以平面，
所以，
因为为中点，
所以，
，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
，
设平面的一个法向量为，
因为，所以，所以，
设，则所以，，
所以直线到平面的距离；
（3）棱上存在点，使平面与平面夹角的余弦值为
设
设平面的一个法向量为
因为，所以，，
设，则，所以，
，
解得，
所以.
21．（2024高二上·丰台期中）已知圆M的圆心在y轴上，半径为2，且经过点.
（1）求圆M的标准方程；
（2）设点，过点D作直线，交圆M于P，Q两点（P，Q不在y轴上），过点D作与直线垂直的直线，交圆M于E，F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值.
【答案】（1）解：因为圆M的圆心在y轴上，可设圆心坐标为，
又因为半径为2，且经过点，
所以，解得：，
所以圆M的标准方程为：；
（2）解：直线的斜率存在，设直线的方程，即，如图所示：
则圆心到直线的距离，
所以，
若，则直线斜率不存在，
则，则，
若，则直线得方程为，即，
则圆心到直线的距离，所以，
则
，
当且仅当，即时取等号，
综上所述，因为，所以S的最大值为7.
【知识点】基本不等式；平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）由题意，设圆心坐标为，根据半径列式求出b求解即可；
（2）讨论直线斜率是否存在，存在时，结合点到直线的距离公式、圆的弦长以及直线的垂直关系求出四边形EPFQ的面积的表达式，利用基本不等式求解即可.
（1）因为圆M的圆心在y轴上，可设圆心坐标为，
又因为半径为2，且经过点，
所以，解得：，
所以圆M的标准方程为：.
（2）直线的斜率存在，设直线的方程，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
若，则直线斜率不存在，
则，则，
若，则直线得方程为，即，
则圆心到直线的距离，所以，
则
，
当且仅当，即时取等号，
综上所述，因为，
所以S的最大值为7.
1 / 1
