广东省深圳市龙华科技实验高级中学2024-2025学年高一上学期第一次段考数学试卷
1．（2024高一上·龙华月考）已知集合 ，下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·龙华月考）设集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高一上·龙华月考）命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4．（2024高一上·龙华月考）下列四组函数，表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高一上·龙华月考）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．R
6．（2024高一上·龙华月考）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2024高一上·龙华月考）已知 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
8．（2024高一上·龙华月考）某中学高中学生运动会，一班46名学生中有15名学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有16人，参加径赛的有23人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（ ）.
A．7 B．8 C．10 D．12
9．（2024高一上·龙华月考）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高一上·龙华月考）已知集合，若，则实数a的值可以是（ ）．
A． B． C．0 D．
11．（2024高一上·龙华月考）已知函数 ，关于函数 的结论正确的是（ ）
A． 的定义域为R B． 的值域为
C．若 ，则x的值是 D． 的解集为
12．（2024高一上·龙华月考）若函数 ，则 ．
13．（2024高一上·龙华月考）已知函数，当时，则函数的值域为 ，的最小值是 .
14．（2024高一上·龙华月考）已知定义在上的运算“”：，若，则关于的不等式的解集为 .
15．（2024高一上·龙华月考）已知全集．
（1）求；
（2）求．
16．（2024高一上·龙华月考）解关于的不等式.
（1）；
（2）；
（3）.
17．（2024高一上·龙华月考）已知函数是一次函数，且满足.
（1）求的解析式；
（2）若，求的最小值.
18．（2024高一上·龙华月考）已知函数.
（1）求的值；
（2）探索；
（3）利用（2）中结论，求的值.
19．（2024高一上·龙华月考）某服装厂拟在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m万件与年促销费用万元满足．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（此处计算每件产品年平均成本时，产品成本仅包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．
（1）将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数；（利润=收入-成本）；
（2）该服装厂2021年的促销费用投入多少万元时，利润最大.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断
【解析】【解答】因为 ，则 ， ， ， ，A选项正确，BCD选项错误.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系以及集合间的包含关系，从而找出选项正确的选项。
2．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为 ， ,所以 .
故答案为：D.
【分析】利用数轴，求不等式表示的集合的交集。
3．【答案】A
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】因为全称命题的否定是特称命题，需改变量词且否定结论，所以，命题“ ， ”的否定是“ ， ”.
故答案为：A
【分析】利用全称命题的否定是特称命题解答即可.
4．【答案】D
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：A、与对应法则不一致，不是同一函数，故A错误；
B、定义域为，而的定义域为R，定义域不同，故B错误；
C、定义域为，而定义域为，定义域不同，故C错误；
D、，的定义域均为R，对应关系也相同，值域也相同，能表示同一函数，故D正确。
故答案为：D。
【分析】根据函数的三要素，逐项判断即可。
5．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由题意可得，解得且，
所以 函数的定义域是 .
故答案为：C.
【分析】根据根式和分式的性质列式求解即可.
6．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由 得 ，则 ；
若 ， ，则 ，但不能推出 ；
因此“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“ ”是“ ”的充分不必要条件。
7．【答案】B
【知识点】函数的对应法则
【解析】【解答】详解∵ ，∴ ，
故答案为： ．
【分析】利用分段函数的函数值分段求解的原则，根据所给解析式先求f（2），再求f[f（2）]．
8．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：，田赛和径赛都参加的学生人数为。
故答案为：B.
【分析】参加田赛的人与参加径赛的人之和减去参加比赛的人即为所求.
9．【答案】C,D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、由，知，故A错误；
B、令，，故B错误；
C、，即，故C正确；
D、，即，故D正确。
故答案为：CD。
【分析】由不等式性质；特殊值法、作差法逐项判断即可。
10．【答案】B,C,D
【知识点】集合的表示方法；集合间关系的判断
【解析】【解答】解：由，解得或，，
若，则方程无实数解，此时，满足，符合题意；
若，由，得 此时，
要使，可得或，解得或.
综上，的值为或或.
故答案为：BCD.
【分析】求得，再分和，求得，结合，即可得解.
11．【答案】B,C
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】函数 ，定义分 和 两段，定义域是 ，A不符合题意；
时 ，值域为 ， 时， ，值域为 ，故 的值域为 ，B符合题意；
由值的分布情况可知， 在 上无解，故 ，即 ，得到 ，C符合题意；
时令 ，解得 ， 时，令 ，解得 ，故 的解集为 ，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】根据题意分段函数的解析式结合二次函数和一次函数的图象和性质，即可求出分段函数的定义域、值域由此判断出选项A错误、B正确；由已知条件即可得出 在 上无解，从而求出x的取值，由此判断出选项C正确；由不等式的解法求接触不等式的解集，由此即可判断出选项D错误，从而得出答案。
12．【答案】-1
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值
【解析】【解答】令t=2x+1，则x= , 则f（t）= ﹣2 =
∴ , ∴f（3）=﹣1.故填： .
【分析】采用换元法，令t=2x+1，用t表示x，代入 ，即可求出f（x）的表达式，将x=3代入即可.
13．【答案】；
【知识点】函数的值域；函数的最大（小）值；基本不等式
【解析】【解答】解：，，，值域为；
，，
，
当且仅当时，等号称立，
因为，所以的最小值是.
故答案为：；.
【分析】结合二次函数的性质以及基本不等式计算即可得解.
14．【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：，即，
因为，解集为.
故答案为：。
【分析】根据运算定义整理得，结合求解即可。
15．【答案】解：（1）A∩B=[-1，3]∩[-2，2）=[-1，2），A∪B=[-1，3]∪[-2，2]=[-2，3].
（2），.
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【分析】（1）根据交集与并集定义分别求解即可；
（2）再（1）基础上，根据补集定义求解即可.
16．【答案】（1）解：，解集为.
（2）解：，解集为.
（3）解：，即，
当，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
【知识点】一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式解法求解即可；
（2）由分式不等式可得，求解即可；
（3）由题意可得，讨论大小即可得解.
（1），故解集为；
（2），故解集为；
（3），即，
当，解集为；
当，解集为；
当，解集为.
17．【答案】（1）解：因为是一次函数，所以设，
因为，所以，
即，
所以，解得，
所以.
（2）解：，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
的最小值为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；基本不等式
【解析】【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）表示出，利用“1”的妙用即可得解.
（1）因为函数是一次函数，所以可设，
因为，所以，
即，
所以，解得，
所以的解析式为.
（2）由上问可得：，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故的最小值为.
18．【答案】（1）解：因为，
所以，
所以.
（2）解：由，可得，
所以.
（3）解：由得.
由（2）的结论，
得
.
【知识点】函数的值
【解析】【分析】（1）已知，代入求解即可；
（2）直接计算即可得出定值1；
（3）根据（2）的结论，化简求值即可.
（1）因为函数，
所以，
所以.
（2）由函数，可得，
所以.
（3）由函数可得.
根据（2）的结论，
所以
.
19．【答案】解：（1）∵每件产品年平均成本为元，；
（2），
当且仅当，即时等号成立。
综上：该服装厂2021年的促销费用投入3万元时，利润最大.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据利润=收入-成本，列出利润y万元与年促销费用x万元的函数关系即可；
（2）由（1），利用基本不等式即可得解.
1 / 1广东省深圳市龙华科技实验高级中学2024-2025学年高一上学期第一次段考数学试卷
1．（2024高一上·龙华月考）已知集合 ，下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断
【解析】【解答】因为 ，则 ， ， ， ，A选项正确，BCD选项错误.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系以及集合间的包含关系，从而找出选项正确的选项。
2．（2024高一上·龙华月考）设集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为 ， ,所以 .
故答案为：D.
【分析】利用数轴，求不等式表示的集合的交集。
3．（2024高一上·龙华月考）命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】因为全称命题的否定是特称命题，需改变量词且否定结论，所以，命题“ ， ”的否定是“ ， ”.
故答案为：A
【分析】利用全称命题的否定是特称命题解答即可.
4．（2024高一上·龙华月考）下列四组函数，表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：A、与对应法则不一致，不是同一函数，故A错误；
B、定义域为，而的定义域为R，定义域不同，故B错误；
C、定义域为，而定义域为，定义域不同，故C错误；
D、，的定义域均为R，对应关系也相同，值域也相同，能表示同一函数，故D正确。
故答案为：D。
【分析】根据函数的三要素，逐项判断即可。
5．（2024高一上·龙华月考）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．R
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由题意可得，解得且，
所以 函数的定义域是 .
故答案为：C.
【分析】根据根式和分式的性质列式求解即可.
6．（2024高一上·龙华月考）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由 得 ，则 ；
若 ， ，则 ，但不能推出 ；
因此“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“ ”是“ ”的充分不必要条件。
7．（2024高一上·龙华月考）已知 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的对应法则
【解析】【解答】详解∵ ，∴ ，
故答案为： ．
【分析】利用分段函数的函数值分段求解的原则，根据所给解析式先求f（2），再求f[f（2）]．
8．（2024高一上·龙华月考）某中学高中学生运动会，一班46名学生中有15名学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有16人，参加径赛的有23人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（ ）.
A．7 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：，田赛和径赛都参加的学生人数为。
故答案为：B.
【分析】参加田赛的人与参加径赛的人之和减去参加比赛的人即为所求.
9．（2024高一上·龙华月考）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C,D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、由，知，故A错误；
B、令，，故B错误；
C、，即，故C正确；
D、，即，故D正确。
故答案为：CD。
【分析】由不等式性质；特殊值法、作差法逐项判断即可。
10．（2024高一上·龙华月考）已知集合，若，则实数a的值可以是（ ）．
A． B． C．0 D．
【答案】B,C,D
【知识点】集合的表示方法；集合间关系的判断
【解析】【解答】解：由，解得或，，
若，则方程无实数解，此时，满足，符合题意；
若，由，得 此时，
要使，可得或，解得或.
综上，的值为或或.
故答案为：BCD.
【分析】求得，再分和，求得，结合，即可得解.
11．（2024高一上·龙华月考）已知函数 ，关于函数 的结论正确的是（ ）
A． 的定义域为R B． 的值域为
C．若 ，则x的值是 D． 的解集为
【答案】B,C
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】函数 ，定义分 和 两段，定义域是 ，A不符合题意；
时 ，值域为 ， 时， ，值域为 ，故 的值域为 ，B符合题意；
由值的分布情况可知， 在 上无解，故 ，即 ，得到 ，C符合题意；
时令 ，解得 ， 时，令 ，解得 ，故 的解集为 ，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】根据题意分段函数的解析式结合二次函数和一次函数的图象和性质，即可求出分段函数的定义域、值域由此判断出选项A错误、B正确；由已知条件即可得出 在 上无解，从而求出x的取值，由此判断出选项C正确；由不等式的解法求接触不等式的解集，由此即可判断出选项D错误，从而得出答案。
12．（2024高一上·龙华月考）若函数 ，则 ．
【答案】-1
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值
【解析】【解答】令t=2x+1，则x= , 则f（t）= ﹣2 =
∴ , ∴f（3）=﹣1.故填： .
【分析】采用换元法，令t=2x+1，用t表示x，代入 ，即可求出f（x）的表达式，将x=3代入即可.
13．（2024高一上·龙华月考）已知函数，当时，则函数的值域为 ，的最小值是 .
【答案】；
【知识点】函数的值域；函数的最大（小）值；基本不等式
【解析】【解答】解：，，，值域为；
，，
，
当且仅当时，等号称立，
因为，所以的最小值是.
故答案为：；.
【分析】结合二次函数的性质以及基本不等式计算即可得解.
14．（2024高一上·龙华月考）已知定义在上的运算“”：，若，则关于的不等式的解集为 .
【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：，即，
因为，解集为.
故答案为：。
【分析】根据运算定义整理得，结合求解即可。
15．（2024高一上·龙华月考）已知全集．
（1）求；
（2）求．
【答案】解：（1）A∩B=[-1，3]∩[-2，2）=[-1，2），A∪B=[-1，3]∪[-2，2]=[-2，3].
（2），.
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【分析】（1）根据交集与并集定义分别求解即可；
（2）再（1）基础上，根据补集定义求解即可.
16．（2024高一上·龙华月考）解关于的不等式.
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）解：，解集为.
（2）解：，解集为.
（3）解：，即，
当，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
【知识点】一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式解法求解即可；
（2）由分式不等式可得，求解即可；
（3）由题意可得，讨论大小即可得解.
（1），故解集为；
（2），故解集为；
（3），即，
当，解集为；
当，解集为；
当，解集为.
17．（2024高一上·龙华月考）已知函数是一次函数，且满足.
（1）求的解析式；
（2）若，求的最小值.
【答案】（1）解：因为是一次函数，所以设，
因为，所以，
即，
所以，解得，
所以.
（2）解：，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
的最小值为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；基本不等式
【解析】【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）表示出，利用“1”的妙用即可得解.
（1）因为函数是一次函数，所以可设，
因为，所以，
即，
所以，解得，
所以的解析式为.
（2）由上问可得：，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故的最小值为.
18．（2024高一上·龙华月考）已知函数.
（1）求的值；
（2）探索；
（3）利用（2）中结论，求的值.
【答案】（1）解：因为，
所以，
所以.
（2）解：由，可得，
所以.
（3）解：由得.
由（2）的结论，
得
.
【知识点】函数的值
【解析】【分析】（1）已知，代入求解即可；
（2）直接计算即可得出定值1；
（3）根据（2）的结论，化简求值即可.
（1）因为函数，
所以，
所以.
（2）由函数，可得，
所以.
（3）由函数可得.
根据（2）的结论，
所以
.
19．（2024高一上·龙华月考）某服装厂拟在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m万件与年促销费用万元满足．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（此处计算每件产品年平均成本时，产品成本仅包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．
（1）将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数；（利润=收入-成本）；
（2）该服装厂2021年的促销费用投入多少万元时，利润最大.
【答案】解：（1）∵每件产品年平均成本为元，；
（2），
当且仅当，即时等号成立。
综上：该服装厂2021年的促销费用投入3万元时，利润最大.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据利润=收入-成本，列出利润y万元与年促销费用x万元的函数关系即可；
（2）由（1），利用基本不等式即可得解.
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