2024-2025湖北省“新八校协作体”高二年级12月联考数学试题（PDF版，含答案）

2024-2025 湖北省“新八校协作体”高二年级 12 月联考数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间向量 = (1, , 2)， = ( 2,1,2)，若 与 垂直，则| |等于( )
A. √ 5 B. √ 7 C. 3 D. √ 41
2
2.椭圆 + 2 = 1( > 0)的焦点在 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 的值为( )

1 1
A. B. C. 2 D. 4
4 2
3.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是( )
A. 至少有1名女生与全是女生 B. 至少有1名女生与全是男生
C. 恰有1名女生与恰有2名女生 D. 至少有1名女生与至多有1名男生
4.已知一组数据 1， 2， ， 的平均数和方差分别为80，21，若向这组数据中再添加一个数据80，数据 1，
2 ， ，80的平均数和方差分别为 ，
2，则( )
A. > 80 B. < 80 C. 2 > 21 D. 2 < 21
5.在直三棱柱 1 1 1中，∠ = 90 ， = = 1 = 2， 为 1 1的中点，则 1与 所成角
的余弦值是( )
√ 30 √ 15 1 √ 15
A. B. C. D.
10 15 2 10
2 2
6.过点 (2,1)的直线 与椭圆 + = 1相交于 ， 两点，且 恰为线段 的中点，则直线 的斜率为( )
8 6
2 2 3 3
A. B. C. D.
3 3 2 2
7.已知圆 1: ( + 2)
2 + ( 1)2 = 1，圆 2: ( 2)
2 + ( 3)2 = 4， ， 分别是圆 1， 2上的动点， 为
轴上的动点，则| | + | |的最小值为( )
A. 4√ 2 3 B. 2√ 5 3 C. 4√ 2 D. 5√ 2 4
8.在空间直角坐标系中，已知向量 = ( , , )( ≠ 0)，点 0( 0, 0, 0)，点 ( , , ). (1)若直线 经过点 0，
0 0 且以 为方向向量， 是直线 上的任意一点，则直线 的方程为 = = 0 ; (2)若平面 经过点
0
，且
以 为法向量， 是平面 内的任意一点，则平面 的方程为 ( 0) + ( 0) + ( 0) = 0.利用以上
信息解决下面的问题：已知平面 的方程为 + + 1 = 0，直线 是平面 + 2 2 = 0与平面 + 1 =
0的交线，则直线 与平面 所成角的正弦值为( )
√ 3 √ 7 5√ 3 √ 7
A. B. C. D.
3 5 9 9
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为0.7，乙每次命中概率为0.8，甲和乙是否命中互不影响，
甲、乙各投篮一次，则( )
A. 两人都命中的概率为0.56 B. 恰好有一人命中的概率为0.38
C. 两人都没有命中的概率为0.6 D. 至少有一人命中的概率为0.7
10.设动直线 : + 2 = 0( ∈ )与圆 : ( 3)2 + ( 4)2 = 12交于 ， 两点，则下列说法正确
的有( )
A. 直线 过定点(1,2) B. 当| |最大时， = 1
1
C. 当| |最小时， = 1 D. 当∠ 最小时，其余弦值为
4
11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围
成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，半正多面体的棱长
为2√ 2，棱数为24，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四
面体所得的，下列结论正确的有( )
A. ⊥平面
B. 若 是棱 的中点，则 与平面 平行
C. 若四边形 的边界及其内部有一点 ，| | = 2√ 2，则点 的轨迹长度为
√ 3 √ 6
D. 若 为线段 上的动点，则 与平面 所成角的正弦值的范围为[ , ]
3 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在空间直角坐标系 中，已知点 (0,1,0)， (0,1,1)， (1,0,0)，则点 到直线 的距离为 ．
13.若曲线 = 2 + √ 1 2与直线 = ( 1) + 4有两个交点，则实数 的取值范围是 ．
2 2
14.已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，过 1作一条渐近线的垂线，垂足为 ，
延长 与双曲线的右支相交于点 ，若 = 3 1 1 1 ，则双曲线 的离心率为 ．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆 的圆心在 轴上，且经过点(√ 3, 1)，(2,2)．
(1)求圆 的标准方程;
(2)过点 (1,5)的直线 与圆 交于 、 两点，若| | = 2√ 3，求直线 的方程．
16.(本小题15分)
求满足下列条件的双曲线的标准方程：
2 2
(1)过点( 2,0)，且与双曲线 = 1的离心率相等;
64 16
3
(2)两顶点间的距离为8，渐近线方程为 = ± .
2
17.(本小题15分)
半程马拉松是一项长跑比赛项目，长度为21.0975公里，为全程马拉松距离的一半. 20世纪50年代，一些赛
事组织者设立了半程马拉松，自那时起，半程马拉松的受欢迎程度大幅提升.某调研机构为了了解人们对“半
程马拉松”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“半程马拉松”知识竞赛，将参与知
识竞赛者按年龄分成5组，其中第一组[20,25)，第二组[25,30)，第三组[30,35)，第四组[35,40)，第五组[40,45]，
得到如图所示的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，估计参与知识竞赛者的平均年龄;
(2)现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“半程马拉松”宣传使者.若有
甲(年龄36)，乙(年龄42)两人已确定入选为宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽
取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选为组长的概率;
(3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为
42和2，据此估计年龄在[35,45]内的所有参与知识竞赛者的年龄的平均数和方差．
18.(本小题17分)
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1
如图1，在直角梯形 中，已知 // ， = = = 1，将△ 沿 翻折，使平面 ⊥平
2
面 .如图2， 的中点为 ．
(1)求证： ⊥平面 ;
3√ 14
(2)若 的中点为 ，在线段 上是否存在点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 若存在，
14
求出点 的位置;若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
有一个半径为8的圆形纸片，设纸片上一定点 到纸片圆心 的距离为4√ 3，将纸片折叠，使圆周上某一点
与点 重合，每一次折叠，都留下一条折痕，当 取遍圆上所有点时，所有折痕与 的交点 形成的轨迹记
为曲线 ，以点 ， 所在的直线为 轴，线段 的中点 为原点，建立平面直角坐标系．
(1)求曲线 的方程;
(2)若直线 : = + ( > 0)与曲线 交于 ， 两点．
(ⅰ)当 为何值时，| |2 + | |2为定值，并求出该定值;
(ⅱ)过 ， 两点分别作曲线 的切线，当两条切线斜率均存在时，若其交点 在直线 + 8 = 0上，探究：
此时直线 是否过定点 若过，求出该定点;若不过，请说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
√ 6
12.【答案】
3
3
13.【答案】( , 1]
4
14.【答案】【解答】
2 2
解：双曲线的方程为 2 2 = 1( > 0, > 0)，一条渐近线方程为 = 0，
| |
设 1( , 0)，可得| 1 | = = = ，若 = 3 1 1 ，则| | = 3 ， 1
√ 2 2+
由双曲线的定义可得| 2| = | 1| 2 = 3 2 ，

在直角三角形 1 中，| 1| = ，cos∠ 1 = ，
2 2 2 2 2 2
| | +| | | | (2 ) +(3 ) (3 2 )
在△ 1 2中，cos∠
1 2 1 2
1 2 = = 2×| 1 2|×| 1| 2×(2 )×(3 )

= cos∠ 1 = ，即有4
2 4 2 + 12 = 12 2，

3
即4 2 + 12 = 12 2，即 = ，
2
3 √ 13 √ 13
则 = √ 1 + ( )2 = √ 1 + ( )2 = .故答案为： ．
2 2 2
15.【答案】解：(1)设圆心的坐标为 (0, )，由题意可得√ (√ 3)2 + (1 )2 = √ 22 + (2 )2，
解得 = 2，所以，圆的半径为 = √ 22 + (2 2)2 = 2，
因此，圆 的标准方程为 2 + ( 2)2 = 4．
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| |
(2)当| | = 2√ 3时，圆心 到直线 的距离为 = √ 22 ( )2 = √ 4 3 = 1，
2
当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 = 1，此时，圆心 到直线 的距离为1，符合题意;
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 5 = ( 1)，即 + 5 = 0，
| 2+5 | 4
则 = = 1，解得 = ，此时，直线 的方程为4 3 + 11 = 0．
3
√ 2 +1
综上所述，直线 的方程为 = 1或4 3 + 11 = 0．
16.【答案】解：(1)由题意可知：双曲线的焦点在 轴上，且 = 2，
2 2 16 √ 5
双曲线 = 1的离心率为 = √ 1 + = ，
64 16 64 2
√ 5
则 = = ，得 = √ 5，故 = 1，
2 2
2
所以双曲线的方程为 2 = 1；
4
(2)由题意知 = 4，
3
当双曲线的焦点在 轴上时， = = 得 = 6，
4 2
2 2
所以双曲线的方程为 = 1；
16 36
4 3 8
当双曲线的焦点在 轴上时， = = 得 = ，
2 3
2 2
所以双曲线的方程为
16 64
= 1．
9
2 2 2 2
综上所述，双曲线的方程为 = 1或
16 36 16 64
= 1．
9
17.【答案】解：(1)设参与知识竞赛者的平均年龄为 ，
则 = (22.5 × 0.02 + 27.5 × 0.07 + 32.5 × 0.05 + 37.5 × 0.04 + 42.5 × 0.02) × 5 = 31.75．
(2)由题意得，第四组应抽取0.2 × 20 = 4人，记为 (甲)， ， ， ，
第五组应抽取0.1 × 20 = 2人，记为 (乙)， ，
对应的样本空间为： = {( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )( , )( , )，( , )，
( , )，( , )，( , )，( , )}，
设事件 为“甲、乙两人至少一人被选上”，
则 = {( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )}，
( ) 9 3
所以 ( ) = = = ．
( ) 15 5
(3)设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为 4， 5，方差分别为
2
4，
2
5，
则 4 = 36， 5 = 42，
2 2
4 = 1， 5 = 2，
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设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为 ，方差为 2，
4 4+2 5 4×36+2×42则 = = = 38，
6 6
4 2
2 = [ 2 + ( )2] + [ 2
4 2 28
4 4 5 + ( 5 )
2] = [1 + (36 38)2] + [2 + (42 38)] = ，
6 6 6 6 3
28
据此估计第四组和第五组所有人的年龄的平均数为38，方差为 ．
3
18.【答案】解：(1)证明：因为 = ， 的中点为 ，所以 ⊥ ，
又因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
根据面面垂直的性质可得 ⊥平面 ；
(2)取 的中点为 ，连接 ，则 // ，由图1直角梯形可知， 为正方形，
= = 1， = = √ 2， = 2，∴ ⊥ ， ⊥ ．
由(1) ⊥平面 ，可知 ， ， 两两互相垂直，
以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， √ 2 √ 2 ， √ 2 ， √ 2 √ 2 ( , 0, ) ( , 0,0) ( ,√ 2, 0)， (0,0, )，
4 4 2 2 2
设
√ 2 √ 2 √ 2
= (0 ≤ ≤ 1)，∴ ( , √ 2 , + )
2 2 2
√ 2 √ 2 √ 2 √ 2 = ( ,√ 2 , + )，
3 1
= ( √ 2, 0, √ 2)
2 4 2 4 4 4
设平面 的法向量为 = ( , , )，
3√ 2 √ 2
· = = 04 4
√ 2 √ 2 √ 2 √ 2
· = ( ) + √ 2 + ( + ) = 0
{ 2 4 2 4
1 1
取 = 1，则 = (1, , 3)，即平面 的法向量为 = (1, , 3)，

由 ⊥平面 ，取平面 的法向量 = (0,0,1)，
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设平面 与平面 的夹角为 ，
| | | 3| 3
则cos = |cos < ， > | = = = √ 14| | | |
√ 1 2 2
14
1+( ) +( 3)

1
解得 = 或 = 1(舍)
3
3
所以，线段 上存在点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 √ 14．
14
点 位于线段 靠近 的三等分点处．
19.【答案】解：(1)由题意可知，| | + | | = | | + | | = | | = 8 > | | = 4，
，所以点 的轨迹是以 ， 为焦点，长轴长为8的椭圆，
2 2
所以曲线 的方程，即椭圆方程为 + = 1．
16 4
(2)设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= +
( )由{ 2 2 消元得，(1 + 4 2) 2 + 8 + 4 2 16 = 0，，
+ = 1
16 4
由 = 64 2 2 16(1 + 4 2)( 2 4) > 0，得16 2 2 + 4 > 0．
8 4 2 16
则 1 + 2 = 2， 1 2 = 2 ，
1+4 1+4
2 2
∴ | |2 + | |2 = 2 2 21 + 1 + 2 +
2
2 =
2 1 2 2
1 + 4 + 2 + 4 4 4
3 3
= 8 + ( 21 +
2
2) = 8 + [( + )
2 2 ]
4 4 1 2 1 2
3 8 4 2 16 3 2(32 2 8) + 128 2 +32
= 8 + [( )2 2 ] = 8 + [ ]
4 1+ 4 2 1 + 4 2 4 2(1+ 4 2)
当| |2 + | |2为定值时，即与 2无关，
1
令32 2 8 = 0，得 = ± ，此时| |2 + | |2 = 20恒成立，
2
1
即当 = ± 时，| |2 + | |2为定值，且定值为20．
2
( )设在 点处的切线方程为 = 1( 1) + 1，
= 1( 1) + 1
由{ 2 2 2 2 消去 ，整理得(1 + 4 1) + 8 1( 1 1 1) + 4( 1 1 )
2
1 16 = 0，
+ = 1
16 4
由 = [8 1( 1 1 1)]
2 4(1 + 4 21)[4( 1 1 1)
2 16] = 0，
化简得( 21 16)
2
1 2 1 1 1 +
2
1 4 = 0，因为
2
1 16 ≠ 0，
2 1 1±√ 4
2
1 1 4( 1 16)( 1 4)
所以 1 = 2 =
1 1 = 12 ， 故在 点处的切线方2( 1 16) 4 4 1 1
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程为 = 1 ( 1) + 1，整理可得
1 + 1 = 1， ①
4 1 16 4
2 同理可得，在 点处的切线方程为 + 2 = 1． ②
16 4
(8 ) (8 )
设 ( 0, 8 )，，将其代入 ① ②，得
1 0 + 1 00 = 1，
2 0 + 2 0 = 1，
16 4 16 4
(8 )
所以直线 的方程为 0 + 0 = 1，即( ) 0 + 2 1 = 0， 16 4 16 4

= 0 = 2 1
令{16 4 得{ 1，故直线 过定点，且定点坐标为(2, ).
2 1 = 0 = 22
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