2024-2025学年山西省太原市常青藤中学高一（上）月考数学试卷（PDF版，含答案）

2024-2025 学年山西省太原市常青藤中学高一（上）月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列不等式一定成立的是( )
A. 2
1
+ 1 > 2 ( > 0) B. + ≥ 2( ≠ , ∈ )

1 1
C. 2 ≥ 1( ∈ ) D. + ≥ 2( > 0) +1
2.已知函数 ( ) = 2 + 1( > 0, ≠ 1)的图像恒过一点 ，且点 在直线 + 1 = 0( > 0)的图像
1 1
上，则 + 的最小值为( )

A. 4 B. 6 C. 7 D. 8
3.若2
1 1
= 5 = 10，则 + =( )

A. 1 B. 7 C. 1 D. log710
1
4.下列各式中，值为 的是( )
2
1 22.5°
A. ( 15° 15°) B.
2 1 tan2
22.5

C. cos2 sin2 D. 15° 15°
12 12
( )
5.如果函数 = ( )在区间 上是减函数，且函数 = 在区间 上是增函数，那么称函数 = ( )是区间 上

的“可变函数”，区间 叫作“可变区间”.若函数 ( ) = 2 4 + 2是区间 上的“可变函数”，则“可变
区间” 为( )
A. [√ 2, 2] B. ( ∞, √ 2]和[√ 2, 2]
C. (0, √ 2] D. [1, √ 3]
3 + ≥ 1
6.已知函数 ( ) = { 2 2 ，若 ( ) = 1，则不等式 (
2 8) < (2 )的解集为( )
3 + < 1
3
A. ( 2,4) B. ( 2,+∞) C. ( 4,2) D. ( 1,4)
1 2
7.已知 = 2，则cos2 的值为( ) 2 tan( + )
4
1 4 3 1
A. B. C. D.
30 5 10 30
8.设函数 ( )的定义域为 ， ( + 1)为奇函数， ( + 2)为偶函数，当 ∈ [1,2]时， ( ) = 2 + .若 (0) +
9
(3) = 6，则 ( ) =( )
2
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9 3 7 5
A. B. C. D.
4 2 4 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设 为△ 的外心， = 2， = 4，∠ 的角平分线 交 于点 ，则( )
A.
2 1 1 2
= + B. = +
3 3 3 3
C. = 2 D. = 6
10.已知复数 1， 2，下列说法正确的有( )

A. 若 1 = 2，则 1 = 2 B. 若 1 + 2 ∈ ，则 1 = 2

C. 1 + 2 = 1 + 2 D. 若| 1| = | 2|，则 1 = ± 2
11.如图，在棱长为2的正方体 1 1 1 1中， ， 分别是棱 ， 的
中点，则( )
A. 三棱锥 1 的外接球的表面积为12
B. 三棱锥 1 的外接球的体积为4√ 3
1
C. 点 到平面 1 的距离为 3
D. 已知点 是底面 (不含边界)内一动点，且 1 //平面 1 1，则线段
3√ 2
1 的长度的取值范围是[ , √ 5) 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. ( ) = 5 + 100 3 + + 1，若 ( ) = 2，则 ( ) = ______．
2 5 413.当 ， ∈ (0,+∞)时， + 2 4 + 的最小值为______．
4
2
14.在△ 中， = 2 = 2， ⊥ ，点 满足∠ = ∠ = ，则 + + = ______．
3
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数 = ( )，其中 ( ) = √ 4 2 ．
(1)求 = ( )的定义域；
(2)若2 ( ) = (log23)，求2
+2的值．
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16.(本小题15分)
已知向量 ， ．
(1)若 = (1,1)， = (1,2)，求( 2 ) ( + )；
√ 3
(2)若 ， 为单位向量，对任意实数 ，| + | ≥ 恒成立，求向量 ， 的夹角的取值范围．
2
17.(本小题15分)

在△ 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 = √ 3 ．
2
(1)求角 的大小；
7√ 3
(2)若 = 6，且△ 的面积为 ，求 边上的中线长．
2
18.(本小题17分)
2023年上海书展于8月16日至22日在上海展览中心举办.展会上随机抽取了50名观众，调查他们每个月用在
阅读上的时长，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)求 的值，并估计这50名观众每个月阅读时长的平均数；
(2)用分层抽样的方法从[20,40)，[80,100)这两组观众中随机抽取6名观众，再若从这6名观众中随机抽取2人
参加抽奖活动，求所抽取的2人恰好都在[80,100)这组的概率．
19.(本小题17分)
如图，在三棱锥 中，平面 ⊥平面 ， = ， 为 的中点．
(1)证明： ⊥ ；
(2)若△ 是边长为1的等边三角形，点 在棱 上， = 2 ，且二面角 的大小为45°，求
三棱锥 的体积．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】4
13.【答案】0
14.【答案】√ 7
15.【答案】解：(1)函数 = ( )有意义，则有4 2 ≥ 0，得 ≤ 2，
所以函数 = ( )的定义域为( ∞,2]．
(2)因为 ( 23) = √ 4 2 23 = √ 4 3 = 1，
1
所以2 ( ) = 1，即 ( ) = ，
2
1 15
所以4 2 = ，即2 = ，
4 4
故2 +2 = 4 × 2 = 15．
16.【答案】解：(1)因为 = (1,1)， = (1,2)，
所以 2 = ( 1, 3)， + = (2,3)，
所以( 2 ) ( + ) = 1 × 2 3 × 3 = 11；
(2)因为 , 是单位向量，设 , 的夹角为 ，
√ 3 3
由| + | ≥ 得：( + )2 ≥ ，
2 4
所以 2 + 2 + 2 2
3
≥ ，
4
即 2
1
+ 2 + ≥ 0对任意的实数 恒成立，
4
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1 1
则 = (2 )2 1 ≤ 0，解得： ≤ ≤ ，
2 2
又因为0 ≤ ≤ ，函数 = 在[0, ]上单调递减，
2
所以 ≤ ≤ ，
3 3
2
所以向量 , 的夹角的取值范围是[ , ]．
3 3

17.【答案】解：(1) = √ 3 ，由正弦定理得： = √ 3 ，
2 2
因为 ∈ (0, )，所以 ≠ 0，

故 = √ 3sin ，即2 cos = √ 3sin ，
2 2 2 2
√ 3
因为 ∈ (0, )，所以sin ≠ 0，故cos = ，
2 2 2 2 2

所以 = ，所以 = ．
2 6 3
(2)在△ 中，由余弦定理 2 = 2 + 2 2 ，得36 = 2 + 2 ，
1 1 √ 3 7√ 3
因为 △ = = × = ，所以 = 14， 2 2 2 2
所以 2 + 2 = 50，
设 的中点为 ，则2 = + ，
2 2 2
两边同时平方得：4 = ( + )2 = + + 2 = 2 + 2 + = 64，
所以| | = 4，
即 边上的中线长为4．
18.【答案】解：(1)由频率分布直方图得：(0.004 + + 0.02 + 0.008 + 0.002) × 20 = 1，解得 = 0.016，
阅读时长在区间[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)，[100,120]内的频率分别为0.08，0.32，0.40，0.16，
0.04，

所以阅读时长的平均数 = 0.08 × 30 + 0.32 × 50 + 0.40 × 70 + 0.16 × 90 + 0.04 × 110 = 65.2．
(2)由频率分布直方图，得数据在[20,40)，[80,100)两组内的频率比为0.004：0.008 = 1：2，
则在[20,40)内抽取2人，记为 1， 2，在[80,100)内抽取4人，记为 1， 2， 3， 4，
从这6名志愿者中随机抽取2人的不同结果如下：
( 1, 2)，( 1, 1)，( 1, 2)，( 1, 3)，( 1, 4)，( 2, 1)，( 2, 2)，( 2, 3)，( 2, 4)，
( 1, 2)，( 1, 3)，( 1, 4)，( 2, 3)，( 2, 4)，( 3, 4)，共15个，
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其中抽取的2人都在[80,100)内的有( 1, 2)，( 1, 3)，( 1, 4)，( 2, 3)，( 2, 4)，( 3, 4)，共6个，
6 2
所以所抽取2人都在[80,100)内的概率 = = ．
15 5
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19.【答案】解：(1)证明：因为 = ， 为 的中点，所以 ⊥
，
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面
，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ；
(2)方法一：
取 的中点 ，因为△ 为正三角形，所以 ⊥ ，
过 作 // 与 交于点 ，则 ⊥ ，
所以 ， ， 两两垂直，
以点 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系如图所示，
则 (0, 1,0)， √ 3 1 ( , , 0)， (0,1,0)，
2 2
1 2
设 (0,0, )( > 0)，则 (0, , )，
3 3
因为 ⊥平面 ，故平面 的一个法向量为 = (0,0, )，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
又 √ 3 3 4 2 = ( , , 0), = (0, , )，
2 2 3 3
√ 3 3
+ = 0
所以由{ = 0，得{ 2 2 ，
= 0 4 2 + = 0
3 3
2 2
令 = √ 3，则 = 1， = ，故 = (√ 3, 1, )，
因为二面角 的大小为45°，
|
| 2 √ 2
所以|cos < , > | = = =| || | 4 2 ， √ 4+
2
解得 = 1，所以 = 1，
又 1 √ 3 √ 3，所以 √ 3 △ = × 1 × 1 × = △ = ， 2 2 4 2
故 1 1 √ 3 √ 3 = △ = × × 1 = ． 3 3 2 6
方法二：
过 作 ⊥ ，交 于点 ，过 作 ⊥ 于点 ，连结 ，
由题意可知， // ，又 ⊥平面
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所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ，又 ⊥ ， ∩ = ， 、 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ，
则∠ 为二面角 的平面角，即∠ = 45°，
又 = = = = 1，
所以∠ = 120°，则∠ = ∠ = 30°，
故∠ = 90°，
所以 // ，
2
因为 = = = ，
3
3 1 2
则 = , = , = ，
2 3 3
1
所以 = ，则
1+
3 2，
= =2 3
2 3
所以 = = ，则 = = 1，
3 2
所以 1 1 1 √ 3 = △ = × × √ 3 × 1 × 1 = ． 3 3 2 6
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