广东省河源市和平县部分学校2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题
1．（2024高二上·广东期中）已知，，则（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】A
【知识点】空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，所以.
故答案为：A.
【分析】根据空间向量数量积的坐标运算求解即可.
2．（2024高二上·广东期中）已知直线：，：，且，则（ ）
A．1 B．-2 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：因为直线，所以，解得.
故答案为：C.
【分析】根据直线平行的判定定理列式求解即可.
3．（2024高二上·广东期中）经过，两点的直线的一个方向向量为，则（ ）
A． B．1 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】斜率的计算公式；直线的方向向量
【解析】【解答】解：因为直线经过，，所以直线的斜率为，
又因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为，
则，解得3.
故答案为：C.
【分析】根据方向向量与斜率的关系求解即可．
4．（2024高二上·广东期中）已知A，，三点不共线，点不在平面内，（，），若A，，，四点共面，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为A，，，四点共面，所以，
则，又因为，所以，当且仅当时等号成立，
即的最大值为.
故答案为：B.
【分析】先利用已知条件求得，再利用基本不等式求的最大值即可.
5．（2024高二上·广东期中）已知集合，，则集合的非空真子集个数为（ ）
A．32 B．62 C．64 D．30
【答案】B
【知识点】集合的表示方法；子集与真子集
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
故，
故集合的非空真子集个数为.
故答案为：B.
【分析】由题意，先求集合，再求得集合，最后根据非空真子集的个数求解即可.
6．（2024高二上·广东期中）直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，为线段的中点，为棱上靠近点的三等分点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
则，，故，
因为轴平面，则可取平面的一个法向量为，
则，即直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：C.
【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求线面角即可.
7．（2024高二上·广东期中）设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】解：因为函数是实数集上的增函数，在区间上单调递增，
所以函数在区间上也是单调递增，
因为二次函数的对称轴为，所以，解得.
故答案为：B.
【分析】根据复数函数单调性，结合对称轴可得，求解即可．
8．（2024高二上·广东期中）棱长为2的正方体中，其内部和表面上存在一点满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】棱柱的结构特征；空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系，如图所示：
则、、，
设，、、，设中点为，中点为，由得，则，
即，
又，同理可得，
即，即，
即，故有，
且，，，
，
故，
由可得，
故，故.
故答案为：B.
【分析】建立如图所示空间直角坐标系，设，设中点为，中点为，由得，确定点的轨迹，由数量积的定义计算向量夹角的余弦值，结合参数范围得余弦值范围，从而角的范围．
9．（2024高二上·广东期中）已知函数（）的最小正周期为，则的零点可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：函数，
因为函数的最小正周期为，所以，即，
令（），解得（），
当时，；
当时，；
当时，.
故答案为：ABD.
【分析】先利用辅助角公式化简求得函数的解析式，再求函数的所有零点判断即可.
10．（2024高二上·广东期中）已知复数，则（ ）
A．的虚部为
B．
C．在复平面内的对应点位于直线上
D．为方程的一个根
【答案】B,C,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；方程的解与虚数根
【解析】【解答】解：A、复数，则，其虚部为，故A错误；
B、，故B正确；
C、由复数的几何意义可知在复平面内的对应点位于直线上，故C正确；
D、易得，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据复数的除法运算化简，再根据复数的定义即可判断A；根据复数模的定义即可判断B；根据复数的几何意义即可判断C；代入计算即可判断D．
11．（2024高二上·广东期中）三棱锥中，，，，，平面与平面的夹角为，则的长度可以为（ ）
A．5 B． C． D．6
【答案】B,C
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：三棱锥中，由可得，，
则是二面角的平面角，如图所示：
，
而，，，
，
因为平面与平面的夹角为，
则当时，，
当时，，
所以的长度可以为，.
故答案为：BC.
【分析】以向量为基底表示向量，再利用空间向量数量积运算求的长度即可.
12．（2024高二上·广东期中）写出一个过和的直线的两点式方程 .
【答案】（答案不唯一，四种形式写出一种即可）.
【知识点】直线的两点式方程
【解析】【解答】解：经过点和点直线两点式方程是：.
故答案为：（答案不唯一，四种形式写出一种即可）.
【分析】由题意，根据两点式方程的定义写答案即可.
13．（2024高二上·广东期中）已知平面的一个法向量为，，，，则点到平面的距离为 .
【答案】
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：由题可知平面的一个法向量为，
又，故点到平面的距离为.
故答案为：.
【分析】根据空间向量法，结合点面距公式求解即可.
14．（2024高二上·广东期中）中，角A，，所对的边分别为，，，记的面积为，若，则的最大值为 .
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；余弦定理；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由，可得，
即，，
，
故，
令，，则，，
，
，
所以，等号成立条件为.
故答案为：.
【分析】由题意，利用余弦定理的推论，，之间的关系，再用，，去表示，利用二次函数最值求的最大值即可.
15．（2024高二上·广东期中）（1）已知点，，求线段垂直平分线的斜截式方程；
（2）已知倾斜角为的直线经过点，求的截距式方程.
【答案】解：（1）由题意可得，，
则线段的中点为，，即直线的垂直平分线的斜率为，
则线段垂直平分线的方程为，
故斜截式方程为；
（2）设直线的截距式方程为，
则①，②.
由①②解得，，，
故直线的截距式方程为.
【知识点】斜率的计算公式；直线的斜截式方程；直线的截距式方程
【解析】【分析】（1）先求点中点的坐标，再根据斜率公式求得求得线段垂直平分线的斜率，从而得到线段垂直平分线的斜截式方程；
（2）先设出的截距式方程，列出关于的方程组，解之即可求得的截距式方程.
16．（2024高二上·广东期中）已知，.
（1）求在方向上投影向量的坐标；
（2）求以，为邻边的平行四边形的面积.
【答案】（1）解：因为，，
所以，，
所以在方向上投影向量为.
故在方向上投影向量的坐标为；
（2）解：因为，，，
所以，
又，所以，
故以，为邻边的平行四边形的面积为。
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量的投影向量
【解析】【分析】（1）利用投影向量的定义求解即可；
（2）由题意，利用空间向量数量积即可求得以，为邻边的平行四边形的面积.
（1）因为，，
所以，，
所以在方向上投影向量为.
故在方向上投影向量的坐标为；
（2）因为，，，
所以，
又，所以，
故以，为邻边的平行四边形的面积为
17．（2024高二上·广东期中）如图，在棱长均为2的正四棱柱中，，，，，用空间向量法解决下列三个问题：
（1）证明：；
（2）求异面直线与夹角的余弦值；
（3）求的长度.
【答案】（1）证明：以为坐标原点，、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则由题意得，，，，
，，
因为，，
所以，
所以，所以；
（2）解：由（1）可得，，
所以，
故异面直线与夹角的余弦值为；
（3）解：由（1）可得，
故.
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）以为坐标原点，、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法证明线线垂直即可；
（2）利用空间向量的方法求异面直线夹角余弦值即可；
（3）利用空间向量的方法求向量模长即可.
（1）以为坐标原点，、、所在直线为、、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则由题意得，，，，
，，
因为，，
所以，
所以，所以.
（2）由（1）可得，，
所以
.
故异面直线与夹角的余弦值为.
（3）由（1）可得，
故.
18．（2024高二上·广东期中）现定义：在平面直角坐标系中，在坐标轴正半轴上的点称为“正直点”，横纵坐标均为整数的点称为“整数点”，已知，均为“正直点”.
（1）求的取值范围；
（2）求的面积取得最小值时对应的周长；
（3）若A，也为“整数点”，求直线的一般式方程.
【答案】（1）解：由题意可得，解得，
故的取值范围为{a|}；
（2）解：由（1）可得，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
此时，，
的周长为；
（3）解：由题意可知，均为整数，所以均为整数，
又，则，，，
所以，即.
所以，，0或2，
当时，，，直线的一般式方程为；
当时，，，直线的一般式方程为；
当时，，，直线的一般式方程为；
当时，，，直线的一般式方程为，
所以直线的一般式方程为或或或.
【知识点】其他不等式的解法；基本不等式；直线的一般式方程
【解析】【分析】（1）由题意，列出关于的不等式组，求解的取值范围即可；
（2）利用均值定理即可求得的面积的最小值，进而求得对应的周长即可；
（3）先求得A，为“整数点”时的值，再确定出A，两点的坐标，求得直线的一般式方程即可.
（1）由题意可得，解得.
故的取值范围为；
（2）由（1），，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
此时，，
的周长为.
（3）由题意可知，均为整数，
所以均为整数，
又，则，，.
所以，即.
所以，，0或2，
当时，，，直线的一般式方程为；
当时，，，直线的一般式方程为；
当时，，，直线的一般式方程为；
当时，，，直线的一般式方程为，
所以直线的一般式方程为
或或或.
19．（2024高二上·广东期中）在空间立体几何中，球面往往是重要的研究对象，同时，它与平面几何中的圆息息相关.而对于几何体的研究中，几何重心的选取显得尤为重要.古希腊著名数学家巴普斯（Pappus）在研究过程中发现了一个性质：平面内任一面积为的区域沿着垂直于该区域的平面运动得到体积为的立体，若记为此区域的几何重心运动的轨迹长度，则有.
（1）已知半圆面的几何重心在其对称轴上，求半径为3的半圆面的几何重心到圆心的距离（试着考虑绕直径旋转一周得到球体）；
（2）建立空间直角坐标系，取球心为，且半径为1的球体，点为其表面上一点.若、，，球体在点处的切面截坐标系的三轴组成平面三角形，求面积的最小值.
提示：①球面方程：，其中点为球心坐标，为球的半径；
②平面方程的点法式：，其中平面过点，其法向量.
【答案】（1）解：球体体积，半圆面积，
设几何重心到圆心的距离为，
由于几何重心在对称轴上，则几何重心运动的轨迹长度为，
运用巴普斯定理有：，解得，
代入即；
（2）解：球心为，球面方程为，
又，在球面上，故.
切面的法向量为，
则切面方程为：：
，
代入得到：，
于是，
设点到平面的距离为，
因为，所以
运用等体积法：设的面积为，
因为，
所以
，
当且仅当同时，即时等号成立，
故面积的最小值为.
【知识点】基本不等式；球的表面积与体积公式及应用；平面的法向量；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由题意，利用球的体积公式和求解即可；
（2）根据已知条件写出球面方程和切面方程，分别求出，，三点坐标，利用空间向量求出点到平面的距离，利用等体积法求出面积的表达式，最后利用基本不等式求最小值即可.
（1）球体体积，半圆面积，
设几何重心到圆心的距离为，
由于几何重心在对称轴上，则几何重心运动的轨迹长度为，
运用巴普斯定理有：，解得，
代入即；
（2）球心为，
球面方程为，
又，在球面上，故.
切面的法向量为，
则切面方程为：
：
，
代入得到：，
于是，
设点到平面的距离为，
，
运用等体积法：设的面积为，
，
，
（当且仅当同时，即取等），
所以面积的最小值为.
1 / 1广东省河源市和平县部分学校2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题
1．（2024高二上·广东期中）已知，，则（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
2．（2024高二上·广东期中）已知直线：，：，且，则（ ）
A．1 B．-2 C．2 D．3
3．（2024高二上·广东期中）经过，两点的直线的一个方向向量为，则（ ）
A． B．1 C．3 D．4
4．（2024高二上·广东期中）已知A，，三点不共线，点不在平面内，（，），若A，，，四点共面，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
5．（2024高二上·广东期中）已知集合，，则集合的非空真子集个数为（ ）
A．32 B．62 C．64 D．30
6．（2024高二上·广东期中）直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，为线段的中点，为棱上靠近点的三等分点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二上·广东期中）设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二上·广东期中）棱长为2的正方体中，其内部和表面上存在一点满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二上·广东期中）已知函数（）的最小正周期为，则的零点可以为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高二上·广东期中）已知复数，则（ ）
A．的虚部为
B．
C．在复平面内的对应点位于直线上
D．为方程的一个根
11．（2024高二上·广东期中）三棱锥中，，，，，平面与平面的夹角为，则的长度可以为（ ）
A．5 B． C． D．6
12．（2024高二上·广东期中）写出一个过和的直线的两点式方程 .
13．（2024高二上·广东期中）已知平面的一个法向量为，，，，则点到平面的距离为 .
14．（2024高二上·广东期中）中，角A，，所对的边分别为，，，记的面积为，若，则的最大值为 .
15．（2024高二上·广东期中）（1）已知点，，求线段垂直平分线的斜截式方程；
（2）已知倾斜角为的直线经过点，求的截距式方程.
16．（2024高二上·广东期中）已知，.
（1）求在方向上投影向量的坐标；
（2）求以，为邻边的平行四边形的面积.
17．（2024高二上·广东期中）如图，在棱长均为2的正四棱柱中，，，，，用空间向量法解决下列三个问题：
（1）证明：；
（2）求异面直线与夹角的余弦值；
（3）求的长度.
18．（2024高二上·广东期中）现定义：在平面直角坐标系中，在坐标轴正半轴上的点称为“正直点”，横纵坐标均为整数的点称为“整数点”，已知，均为“正直点”.
（1）求的取值范围；
（2）求的面积取得最小值时对应的周长；
（3）若A，也为“整数点”，求直线的一般式方程.
19．（2024高二上·广东期中）在空间立体几何中，球面往往是重要的研究对象，同时，它与平面几何中的圆息息相关.而对于几何体的研究中，几何重心的选取显得尤为重要.古希腊著名数学家巴普斯（Pappus）在研究过程中发现了一个性质：平面内任一面积为的区域沿着垂直于该区域的平面运动得到体积为的立体，若记为此区域的几何重心运动的轨迹长度，则有.
（1）已知半圆面的几何重心在其对称轴上，求半径为3的半圆面的几何重心到圆心的距离（试着考虑绕直径旋转一周得到球体）；
（2）建立空间直角坐标系，取球心为，且半径为1的球体，点为其表面上一点.若、，，球体在点处的切面截坐标系的三轴组成平面三角形，求面积的最小值.
提示：①球面方程：，其中点为球心坐标，为球的半径；
②平面方程的点法式：，其中平面过点，其法向量.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，所以.
故答案为：A.
【分析】根据空间向量数量积的坐标运算求解即可.
2．【答案】C
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：因为直线，所以，解得.
故答案为：C.
【分析】根据直线平行的判定定理列式求解即可.
3．【答案】C
【知识点】斜率的计算公式；直线的方向向量
【解析】【解答】解：因为直线经过，，所以直线的斜率为，
又因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为，
则，解得3.
故答案为：C.
【分析】根据方向向量与斜率的关系求解即可．
4．【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为A，，，四点共面，所以，
则，又因为，所以，当且仅当时等号成立，
即的最大值为.
故答案为：B.
【分析】先利用已知条件求得，再利用基本不等式求的最大值即可.
5．【答案】B
【知识点】集合的表示方法；子集与真子集
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
故，
故集合的非空真子集个数为.
故答案为：B.
【分析】由题意，先求集合，再求得集合，最后根据非空真子集的个数求解即可.
6．【答案】C
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
则，，故，
因为轴平面，则可取平面的一个法向量为，
则，即直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：C.
【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求线面角即可.
7．【答案】B
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】解：因为函数是实数集上的增函数，在区间上单调递增，
所以函数在区间上也是单调递增，
因为二次函数的对称轴为，所以，解得.
故答案为：B.
【分析】根据复数函数单调性，结合对称轴可得，求解即可．
8．【答案】B
【知识点】棱柱的结构特征；空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系，如图所示：
则、、，
设，、、，设中点为，中点为，由得，则，
即，
又，同理可得，
即，即，
即，故有，
且，，，
，
故，
由可得，
故，故.
故答案为：B.
【分析】建立如图所示空间直角坐标系，设，设中点为，中点为，由得，确定点的轨迹，由数量积的定义计算向量夹角的余弦值，结合参数范围得余弦值范围，从而角的范围．
9．【答案】A,B,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：函数，
因为函数的最小正周期为，所以，即，
令（），解得（），
当时，；
当时，；
当时，.
故答案为：ABD.
【分析】先利用辅助角公式化简求得函数的解析式，再求函数的所有零点判断即可.
10．【答案】B,C,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；方程的解与虚数根
【解析】【解答】解：A、复数，则，其虚部为，故A错误；
B、，故B正确；
C、由复数的几何意义可知在复平面内的对应点位于直线上，故C正确；
D、易得，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据复数的除法运算化简，再根据复数的定义即可判断A；根据复数模的定义即可判断B；根据复数的几何意义即可判断C；代入计算即可判断D．
11．【答案】B,C
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：三棱锥中，由可得，，
则是二面角的平面角，如图所示：
，
而，，，
，
因为平面与平面的夹角为，
则当时，，
当时，，
所以的长度可以为，.
故答案为：BC.
【分析】以向量为基底表示向量，再利用空间向量数量积运算求的长度即可.
12．【答案】（答案不唯一，四种形式写出一种即可）.
【知识点】直线的两点式方程
【解析】【解答】解：经过点和点直线两点式方程是：.
故答案为：（答案不唯一，四种形式写出一种即可）.
【分析】由题意，根据两点式方程的定义写答案即可.
13．【答案】
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：由题可知平面的一个法向量为，
又，故点到平面的距离为.
故答案为：.
【分析】根据空间向量法，结合点面距公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；余弦定理；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由，可得，
即，，
，
故，
令，，则，，
，
，
所以，等号成立条件为.
故答案为：.
【分析】由题意，利用余弦定理的推论，，之间的关系，再用，，去表示，利用二次函数最值求的最大值即可.
15．【答案】解：（1）由题意可得，，
则线段的中点为，，即直线的垂直平分线的斜率为，
则线段垂直平分线的方程为，
故斜截式方程为；
（2）设直线的截距式方程为，
则①，②.
由①②解得，，，
故直线的截距式方程为.
【知识点】斜率的计算公式；直线的斜截式方程；直线的截距式方程
【解析】【分析】（1）先求点中点的坐标，再根据斜率公式求得求得线段垂直平分线的斜率，从而得到线段垂直平分线的斜截式方程；
（2）先设出的截距式方程，列出关于的方程组，解之即可求得的截距式方程.
16．【答案】（1）解：因为，，
所以，，
所以在方向上投影向量为.
故在方向上投影向量的坐标为；
（2）解：因为，，，
所以，
又，所以，
故以，为邻边的平行四边形的面积为。
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量的投影向量
【解析】【分析】（1）利用投影向量的定义求解即可；
（2）由题意，利用空间向量数量积即可求得以，为邻边的平行四边形的面积.
（1）因为，，
所以，，
所以在方向上投影向量为.
故在方向上投影向量的坐标为；
（2）因为，，，
所以，
又，所以，
故以，为邻边的平行四边形的面积为
17．【答案】（1）证明：以为坐标原点，、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则由题意得，，，，
，，
因为，，
所以，
所以，所以；
（2）解：由（1）可得，，
所以，
故异面直线与夹角的余弦值为；
（3）解：由（1）可得，
故.
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）以为坐标原点，、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法证明线线垂直即可；
（2）利用空间向量的方法求异面直线夹角余弦值即可；
（3）利用空间向量的方法求向量模长即可.
（1）以为坐标原点，、、所在直线为、、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则由题意得，，，，
，，
因为，，
所以，
所以，所以.
（2）由（1）可得，，
所以
.
故异面直线与夹角的余弦值为.
（3）由（1）可得，
故.
18．【答案】（1）解：由题意可得，解得，
故的取值范围为{a|}；
（2）解：由（1）可得，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
此时，，
的周长为；
（3）解：由题意可知，均为整数，所以均为整数，
又，则，，，
所以，即.
所以，，0或2，
当时，，，直线的一般式方程为；
当时，，，直线的一般式方程为；
当时，，，直线的一般式方程为；
当时，，，直线的一般式方程为，
所以直线的一般式方程为或或或.
【知识点】其他不等式的解法；基本不等式；直线的一般式方程
【解析】【分析】（1）由题意，列出关于的不等式组，求解的取值范围即可；
（2）利用均值定理即可求得的面积的最小值，进而求得对应的周长即可；
（3）先求得A，为“整数点”时的值，再确定出A，两点的坐标，求得直线的一般式方程即可.
（1）由题意可得，解得.
故的取值范围为；
（2）由（1），，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
此时，，
的周长为.
（3）由题意可知，均为整数，
所以均为整数，
又，则，，.
所以，即.
所以，，0或2，
当时，，，直线的一般式方程为；
当时，，，直线的一般式方程为；
当时，，，直线的一般式方程为；
当时，，，直线的一般式方程为，
所以直线的一般式方程为
或或或.
19．【答案】（1）解：球体体积，半圆面积，
设几何重心到圆心的距离为，
由于几何重心在对称轴上，则几何重心运动的轨迹长度为，
运用巴普斯定理有：，解得，
代入即；
（2）解：球心为，球面方程为，
又，在球面上，故.
切面的法向量为，
则切面方程为：：
，
代入得到：，
于是，
设点到平面的距离为，
因为，所以
运用等体积法：设的面积为，
因为，
所以
，
当且仅当同时，即时等号成立，
故面积的最小值为.
【知识点】基本不等式；球的表面积与体积公式及应用；平面的法向量；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由题意，利用球的体积公式和求解即可；
（2）根据已知条件写出球面方程和切面方程，分别求出，，三点坐标，利用空间向量求出点到平面的距离，利用等体积法求出面积的表达式，最后利用基本不等式求最小值即可.
（1）球体体积，半圆面积，
设几何重心到圆心的距离为，
由于几何重心在对称轴上，则几何重心运动的轨迹长度为，
运用巴普斯定理有：，解得，
代入即；
（2）球心为，
球面方程为，
又，在球面上，故.
切面的法向量为，
则切面方程为：
：
，
代入得到：，
于是，
设点到平面的距离为，
，
运用等体积法：设的面积为，
，
，
（当且仅当同时，即取等），
所以面积的最小值为.
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