广东省湛江市2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题
1．（2024高三上·湛江期中）已知向量，，若，则（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2024高三上·湛江期中）已知集合，则中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024高三上·湛江期中）（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三上·湛江期中）将某学校一次物理测试学生的成绩统计如下图所示，则估计本次物理测试学生成绩的平均分为（同一组数据用该组区间的中点值作代表）（ ）
A．68 B．70 C．72 D．74
5．（2024高三上·湛江期中）已知均为锐角，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高三上·湛江期中）中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪，约比西方晚900年，但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早2000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇铸成一个底面积为的圆锥，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三上·湛江期中）已知某条线路上有两辆相邻班次的（快速公交车），若准点到站的概率为，在B准点到站的前提下准点到站的概率为，在准点到站的前提下B不准点到站的概率为，则B准点到站的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三上·湛江期中）已知，若关于的方程有两个不同的正根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高三上·湛江期中）已知直线是三条不同的直线，为两个不同的平面，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．（2024高三上·湛江期中）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．为的图象的一个对称中心
C．在上单调递增
D．将的图象的横坐标伸长为原来的3倍后得到的图象，则曲线与直线有4个交点
11．（2024高三上·湛江期中）已知为坐标原点，抛物线的焦点为为上第一象限的点，且，过点的直线与交于两点，圆，则（ ）
A．
B．若，则直线倾斜角的正弦值为
C．若的面积为6，则直线的斜率为
D．过点作圆的两条切线，则两切点连线的方程为
12．（2024高三上·湛江期中）已知随机变量服从正态分布，若，则 .
13．（2024高三上·湛江期中）若函数存在最小值，则实数的取值范围为 .
14．（2024高三上·湛江期中）已知双曲线的焦距为，直线与的交点为，若点到的左焦点的距离不小于点到的右焦点的距离的5倍，则C的离心率最大值为 .
15．（2024高三上·湛江期中）如图，四棱锥的底面四边形为矩形，平面，为等腰直角三角形，为棱的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
16．（2024高三上·湛江期中）已知函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）若既有极大值，又有极小值，求实数的取值范围.
17．（2024高三上·湛江期中）已知椭圆过点.
（1）求的方程；
（2）已知过点的直线与交于两点，若，求直线的方程.
18．（2024高三上·湛江期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且，.
（1）求的大小；
（2）若，求的最大值；
（3）若，且，求的面积.
19．（2024高三上·湛江期中）若数列满足：①；②当为奇数时，；③当为偶数时，，则称数列具有“收缩性质”.已知数列具有“收缩性质”.
（1）若，求的值构成的集合；
（2）若，使得，证明：为整数；
（3）若，求的值构成的集合.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解： 向量，，
因为，所以，则，解得.
故答案为：A.
【分析】根据平面向量垂直，数量积为0列式求解即可.
2．【答案】B
【知识点】交集及其运算；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：由，解得，则集合，
因为集合，所以，则中有2个元素.
故答案为：B.
【分析】先解指数函数不等式求得集合，再根据集合的交集的定义求解即可.
3．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】根据复数的乘法运算化简求值即可.
4．【答案】C
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：由题意，，解得，
则平均分为.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据小矩形面积和为1解得的值，再根据频率分布直方图计算平均数即可.
5．【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由题意，，解得，
又因为，所以，
故.
故答案为：C.
【分析】由已知依次求出，，再由两角和的余弦公式求解即可.
6．【答案】D
【知识点】柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆柱的底面半径为，母线长为，圆锥的底面半径为，高为，
则圆柱的侧面积为，解得，故，
又，则，而，得，
故所求正切值为.
故答案为：D.
【分析】根据浇铸前后体积不变列方程，求得圆锥的底面半径和高，求圆锥的母线与底面所成角的正切值即可.
7．【答案】B
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：设事件为“准点到站”，事件为“准点到站”，
由题意，，
而，解得，
而，
则，而，解得.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件以及条件概率列方程，求准点到站的概率即可.
8．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：依题意，，，则，
令，显然在上单调递减，
故有两个不同的正根，
令，则，故当时，，
当时，，则，
又时，时，，
故，解得.
故答案为：C
【分析】化简方程，利用换元法、构造函数法，结合导数求的取值范围即可.
9．【答案】B,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、，可能有，故A错误；
B、若，则，而，则，故B正确；
C、若，可能，则未必有，故C错误；
D、若，则，而，则，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识逐项判断即可.
10．【答案】A,B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【解答】解：A、函数，最小正周期，故A正确；
B、，则为的图象的一个对称中心，故B正确；
C、时，，易知在上先减后增，
故在上先减后增，故C错误；
D、，
在同一直角坐标系中分别作出与的大致图象，如图所示：
观察可知，它们有3个交点，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】由题意，根据三角函数的周期性、对称性、单调性、图象变换等逐项判断即可.
11．【答案】A,C,D
【知识点】圆的切线方程；抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：已知如图所示：
A、设，则，则，
故，故A正确；
B、设直线，联立消元整理可得，
设，则，
故，
解得，则直线倾斜角的正弦值为，故B错误；
C、，解得，
则直线的斜率为，故C正确；
D、由上述分析可知，，
圆可化为，圆心，半径，
易知为其中一条切线，切点为，且两切点连线与垂直，
，两切点连线的斜率为，故两切点连线为，
即，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据抛物线的定义、弦长、面积、圆的切线等知识逐项判断即可.
12．【答案】0.3
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】根据正态分布的对称性求解即可.
13．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：当时，，
显然，故只需，解得.
故答案为：.
【分析】根据一次函数、二次函数、分段函数的性质求的取值范围即可.
14．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质；双曲线的应用；余弦定理
【解析】【解答】解：记的左焦点和右焦点分别为，，因为直线过点，所以①，
②，联立①②，解得
，，故，
解得，则的离心率的最大值为.
故答案为：.
【分析】由题意，根据双曲线的定义以及几何性质，列出不等式，求解离心率的最大值即可.
15．【答案】（1）证明：因为平面平面，所以，
因为平面平面，所以平面；
因为平面，所以；
而为等腰直角三角形，且为棱的中点，故，
而平面平面，所以平面，
而平面，故平面平面；
（2）解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
设平面的法向量为，
所以
令，得，故平面的一个法向量为.
设直线与平面的夹角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由题意，根据线面垂直的判定定理证明平面，即可证明平面平面；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求直线与平面所成角的正弦值即可.
（1）因为平面平面，所以，
因为平面平面，
所以平面.
因为平面，所以；
而为等腰直角三角形，且为棱的中点，故.
而平面平面，所以平面.
而平面，故平面平面.
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，
设平面的法向量为，
所以
令，得，故平面的一个法向量为.
设直线与平面的夹角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
16．【答案】（1）解：当时，函数，
求导可得，
令，解得（负值舍去），
故当时，单调递减；
当时，单调递增，
故的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）解：依题意，，
令，则问题转化为有两个不同的正根，
故解得，
故实数的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）将代入，求函数的定义域，再求导利用导数判断函数的单调性，求单调区间即可；
（2）先求得，再根据既有极大值，又有极小值，结合一元二次方程根的分布列不等式，由此求实数的取值范围即可.
（1）时，，
，
令，解得（负值舍去），
故当时，单调递减，
当时，单调递增，
故的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）依题意，，
令，则问题转化为有两个不同的正根，
故解得，
故实数的取值范围为.
17．【答案】（1）解：依题意，
解得，故的方程为；
（2）解：已知如图所示：
当直线的斜率不存在时，，
代入椭圆方程得，
此时，不合题意舍去；
当的斜率存在时，设直线的方程为，
由得，
则，
，
，
则，
解得，故直线的方程为或.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由椭圆过点，代入椭圆方程求得，即可得椭圆的方程；
（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线斜率不存在时，通过两点的坐标来进行判断，当直线斜率存在时，设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根于系数，求得，结合求直线的方程即可.
（1）依题意，
解得，故的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，，
代入椭圆方程得，
此时，不合题意舍去；
当的斜率存在时，设直线的方程为，
由得，
则，
，
，
则，
解得，故直线的方程为或.
18．【答案】（1）解：，
而，故，
则，则，
由正弦定理，，
而，则，
因为，故，则；
（2）解：由正弦定理可得，
故，，
则
，其中，
故的最大值为；
（3）解：依题意，，由正弦定理，，
设，，
由余弦定理，，得，
而，得，故，，
则.
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系，正弦定理，两角和的正弦公式化简求角即可；
（2）利用正弦定理边化角，结合三角函数的性质求解即可；
（3）利用正弦定理角化边，结合余弦定理，三角形面积公式求解即可.
（1）依题意，，
而，故，
则，则，
由正弦定理，，
而，则，
因为，故，则.
（2）由正弦定理，，
故，，
则
，其中，
故的最大值为.
（3）依题意，，由正弦定理，，
设，，
由余弦定理，，得，
而，得，故，，
则.
19．【答案】（1）解：当为奇数时，为偶数；，
当为偶数时，，
因为，则为偶数，则，
若为奇数，则，不符合题意，
所以为偶数，则.
若为奇数，则；
若为偶数，则；
所以的值构成的集合为；
（2）解：依题意，为3的倍数（），
当为奇数时，；
当为偶数时，则为偶数，，
故是3的倍数，
以此类推，，都是3的倍数；
另一方面，当时，由于
当为3的倍数时，可知也是3的倍数，
以此类推，，都是3的倍数，
综上所述，为整数；
（3）解：因为，故数列具有周期性，
由条件（1）可知，数列一定有最小值，设为，下证或3，
当为偶数时，设，则，与是最小值矛盾，所以是奇数；
不妨设，则是偶数，，
假设，则，与是最小值矛盾，
综上，只能是小于5的正奇数，即1或3；
当数列中出现1时，后面的项为循环；
当数列中出现3时，后面的项为循环；
所以数列具有周期性时，只能为中某一个数.
经检验，当时，.
【知识点】数列的函数特性；数列的应用；数列与函数的综合
【解析】【分析】（1）由题意，根据“收缩性质”逐步求的值即可；
（2）根据“收缩性质”，先判断出，都是3的倍数，
再判断，都是3的倍数，从而得到为整数；
（3）先判断出数列具有周期性，判断出数列有最小值，判断出数列的最小值为或，由此进一步确定的值构成的集合.
（1）当为奇数时，为偶数；，
当为偶数时，，
因为，则为偶数，则，
若为奇数，则，不符合题意，
所以为偶数，则.
若为奇数，则；
若为偶数，则；
所以的值构成的集合为
（2）依题意，为3的倍数（），
当为奇数时，；
当为偶数时，则为偶数，，
故是3的倍数，
以此类推，，都是3的倍数；
另一方面，当时，由于
当为3的倍数时，可知也是3的倍数，
以此类推，，都是3的倍数，
综上所述，为整数.
（3）因为，故数列具有周期性，
由条件（1）可知，数列一定有最小值，设为，下证或3.
当为偶数时，设，则，与是最小值矛盾，所以是奇数；
不妨设，则是偶数，，
假设，则，与是最小值矛盾，
综上，只能是小于5的正奇数，即1或3；
当数列中出现1时，后面的项为循环；
当数列中出现3时，后面的项为循环；
所以数列具有周期性时，只能为中某一个数.
经检验，当时，.
1 / 1广东省湛江市2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题
1．（2024高三上·湛江期中）已知向量，，若，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解： 向量，，
因为，所以，则，解得.
故答案为：A.
【分析】根据平面向量垂直，数量积为0列式求解即可.
2．（2024高三上·湛江期中）已知集合，则中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】交集及其运算；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：由，解得，则集合，
因为集合，所以，则中有2个元素.
故答案为：B.
【分析】先解指数函数不等式求得集合，再根据集合的交集的定义求解即可.
3．（2024高三上·湛江期中）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】根据复数的乘法运算化简求值即可.
4．（2024高三上·湛江期中）将某学校一次物理测试学生的成绩统计如下图所示，则估计本次物理测试学生成绩的平均分为（同一组数据用该组区间的中点值作代表）（ ）
A．68 B．70 C．72 D．74
【答案】C
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：由题意，，解得，
则平均分为.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据小矩形面积和为1解得的值，再根据频率分布直方图计算平均数即可.
5．（2024高三上·湛江期中）已知均为锐角，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由题意，，解得，
又因为，所以，
故.
故答案为：C.
【分析】由已知依次求出，，再由两角和的余弦公式求解即可.
6．（2024高三上·湛江期中）中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪，约比西方晚900年，但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早2000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇铸成一个底面积为的圆锥，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆柱的底面半径为，母线长为，圆锥的底面半径为，高为，
则圆柱的侧面积为，解得，故，
又，则，而，得，
故所求正切值为.
故答案为：D.
【分析】根据浇铸前后体积不变列方程，求得圆锥的底面半径和高，求圆锥的母线与底面所成角的正切值即可.
7．（2024高三上·湛江期中）已知某条线路上有两辆相邻班次的（快速公交车），若准点到站的概率为，在B准点到站的前提下准点到站的概率为，在准点到站的前提下B不准点到站的概率为，则B准点到站的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：设事件为“准点到站”，事件为“准点到站”，
由题意，，
而，解得，
而，
则，而，解得.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件以及条件概率列方程，求准点到站的概率即可.
8．（2024高三上·湛江期中）已知，若关于的方程有两个不同的正根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：依题意，，，则，
令，显然在上单调递减，
故有两个不同的正根，
令，则，故当时，，
当时，，则，
又时，时，，
故，解得.
故答案为：C
【分析】化简方程，利用换元法、构造函数法，结合导数求的取值范围即可.
9．（2024高三上·湛江期中）已知直线是三条不同的直线，为两个不同的平面，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】B,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、，可能有，故A错误；
B、若，则，而，则，故B正确；
C、若，可能，则未必有，故C错误；
D、若，则，而，则，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识逐项判断即可.
10．（2024高三上·湛江期中）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．为的图象的一个对称中心
C．在上单调递增
D．将的图象的横坐标伸长为原来的3倍后得到的图象，则曲线与直线有4个交点
【答案】A,B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【解答】解：A、函数，最小正周期，故A正确；
B、，则为的图象的一个对称中心，故B正确；
C、时，，易知在上先减后增，
故在上先减后增，故C错误；
D、，
在同一直角坐标系中分别作出与的大致图象，如图所示：
观察可知，它们有3个交点，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】由题意，根据三角函数的周期性、对称性、单调性、图象变换等逐项判断即可.
11．（2024高三上·湛江期中）已知为坐标原点，抛物线的焦点为为上第一象限的点，且，过点的直线与交于两点，圆，则（ ）
A．
B．若，则直线倾斜角的正弦值为
C．若的面积为6，则直线的斜率为
D．过点作圆的两条切线，则两切点连线的方程为
【答案】A,C,D
【知识点】圆的切线方程；抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：已知如图所示：
A、设，则，则，
故，故A正确；
B、设直线，联立消元整理可得，
设，则，
故，
解得，则直线倾斜角的正弦值为，故B错误；
C、，解得，
则直线的斜率为，故C正确；
D、由上述分析可知，，
圆可化为，圆心，半径，
易知为其中一条切线，切点为，且两切点连线与垂直，
，两切点连线的斜率为，故两切点连线为，
即，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据抛物线的定义、弦长、面积、圆的切线等知识逐项判断即可.
12．（2024高三上·湛江期中）已知随机变量服从正态分布，若，则 .
【答案】0.3
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】根据正态分布的对称性求解即可.
13．（2024高三上·湛江期中）若函数存在最小值，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：当时，，
显然，故只需，解得.
故答案为：.
【分析】根据一次函数、二次函数、分段函数的性质求的取值范围即可.
14．（2024高三上·湛江期中）已知双曲线的焦距为，直线与的交点为，若点到的左焦点的距离不小于点到的右焦点的距离的5倍，则C的离心率最大值为 .
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质；双曲线的应用；余弦定理
【解析】【解答】解：记的左焦点和右焦点分别为，，因为直线过点，所以①，
②，联立①②，解得
，，故，
解得，则的离心率的最大值为.
故答案为：.
【分析】由题意，根据双曲线的定义以及几何性质，列出不等式，求解离心率的最大值即可.
15．（2024高三上·湛江期中）如图，四棱锥的底面四边形为矩形，平面，为等腰直角三角形，为棱的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：因为平面平面，所以，
因为平面平面，所以平面；
因为平面，所以；
而为等腰直角三角形，且为棱的中点，故，
而平面平面，所以平面，
而平面，故平面平面；
（2）解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
设平面的法向量为，
所以
令，得，故平面的一个法向量为.
设直线与平面的夹角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由题意，根据线面垂直的判定定理证明平面，即可证明平面平面；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求直线与平面所成角的正弦值即可.
（1）因为平面平面，所以，
因为平面平面，
所以平面.
因为平面，所以；
而为等腰直角三角形，且为棱的中点，故.
而平面平面，所以平面.
而平面，故平面平面.
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，
设平面的法向量为，
所以
令，得，故平面的一个法向量为.
设直线与平面的夹角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
16．（2024高三上·湛江期中）已知函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）若既有极大值，又有极小值，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，函数，
求导可得，
令，解得（负值舍去），
故当时，单调递减；
当时，单调递增，
故的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）解：依题意，，
令，则问题转化为有两个不同的正根，
故解得，
故实数的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）将代入，求函数的定义域，再求导利用导数判断函数的单调性，求单调区间即可；
（2）先求得，再根据既有极大值，又有极小值，结合一元二次方程根的分布列不等式，由此求实数的取值范围即可.
（1）时，，
，
令，解得（负值舍去），
故当时，单调递减，
当时，单调递增，
故的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）依题意，，
令，则问题转化为有两个不同的正根，
故解得，
故实数的取值范围为.
17．（2024高三上·湛江期中）已知椭圆过点.
（1）求的方程；
（2）已知过点的直线与交于两点，若，求直线的方程.
【答案】（1）解：依题意，
解得，故的方程为；
（2）解：已知如图所示：
当直线的斜率不存在时，，
代入椭圆方程得，
此时，不合题意舍去；
当的斜率存在时，设直线的方程为，
由得，
则，
，
，
则，
解得，故直线的方程为或.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由椭圆过点，代入椭圆方程求得，即可得椭圆的方程；
（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线斜率不存在时，通过两点的坐标来进行判断，当直线斜率存在时，设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根于系数，求得，结合求直线的方程即可.
（1）依题意，
解得，故的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，，
代入椭圆方程得，
此时，不合题意舍去；
当的斜率存在时，设直线的方程为，
由得，
则，
，
，
则，
解得，故直线的方程为或.
18．（2024高三上·湛江期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且，.
（1）求的大小；
（2）若，求的最大值；
（3）若，且，求的面积.
【答案】（1）解：，
而，故，
则，则，
由正弦定理，，
而，则，
因为，故，则；
（2）解：由正弦定理可得，
故，，
则
，其中，
故的最大值为；
（3）解：依题意，，由正弦定理，，
设，，
由余弦定理，，得，
而，得，故，，
则.
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系，正弦定理，两角和的正弦公式化简求角即可；
（2）利用正弦定理边化角，结合三角函数的性质求解即可；
（3）利用正弦定理角化边，结合余弦定理，三角形面积公式求解即可.
（1）依题意，，
而，故，
则，则，
由正弦定理，，
而，则，
因为，故，则.
（2）由正弦定理，，
故，，
则
，其中，
故的最大值为.
（3）依题意，，由正弦定理，，
设，，
由余弦定理，，得，
而，得，故，，
则.
19．（2024高三上·湛江期中）若数列满足：①；②当为奇数时，；③当为偶数时，，则称数列具有“收缩性质”.已知数列具有“收缩性质”.
（1）若，求的值构成的集合；
（2）若，使得，证明：为整数；
（3）若，求的值构成的集合.
【答案】（1）解：当为奇数时，为偶数；，
当为偶数时，，
因为，则为偶数，则，
若为奇数，则，不符合题意，
所以为偶数，则.
若为奇数，则；
若为偶数，则；
所以的值构成的集合为；
（2）解：依题意，为3的倍数（），
当为奇数时，；
当为偶数时，则为偶数，，
故是3的倍数，
以此类推，，都是3的倍数；
另一方面，当时，由于
当为3的倍数时，可知也是3的倍数，
以此类推，，都是3的倍数，
综上所述，为整数；
（3）解：因为，故数列具有周期性，
由条件（1）可知，数列一定有最小值，设为，下证或3，
当为偶数时，设，则，与是最小值矛盾，所以是奇数；
不妨设，则是偶数，，
假设，则，与是最小值矛盾，
综上，只能是小于5的正奇数，即1或3；
当数列中出现1时，后面的项为循环；
当数列中出现3时，后面的项为循环；
所以数列具有周期性时，只能为中某一个数.
经检验，当时，.
【知识点】数列的函数特性；数列的应用；数列与函数的综合
【解析】【分析】（1）由题意，根据“收缩性质”逐步求的值即可；
（2）根据“收缩性质”，先判断出，都是3的倍数，
再判断，都是3的倍数，从而得到为整数；
（3）先判断出数列具有周期性，判断出数列有最小值，判断出数列的最小值为或，由此进一步确定的值构成的集合.
（1）当为奇数时，为偶数；，
当为偶数时，，
因为，则为偶数，则，
若为奇数，则，不符合题意，
所以为偶数，则.
若为奇数，则；
若为偶数，则；
所以的值构成的集合为
（2）依题意，为3的倍数（），
当为奇数时，；
当为偶数时，则为偶数，，
故是3的倍数，
以此类推，，都是3的倍数；
另一方面，当时，由于
当为3的倍数时，可知也是3的倍数，
以此类推，，都是3的倍数，
综上所述，为整数.
（3）因为，故数列具有周期性，
由条件（1）可知，数列一定有最小值，设为，下证或3.
当为偶数时，设，则，与是最小值矛盾，所以是奇数；
不妨设，则是偶数，，
假设，则，与是最小值矛盾，
综上，只能是小于5的正奇数，即1或3；
当数列中出现1时，后面的项为循环；
当数列中出现3时，后面的项为循环；
所以数列具有周期性时，只能为中某一个数.
经检验，当时，.
1 / 1
