广东省深圳市龙岗区龙城高级中学、深圳大学附中2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题
1．（2024高二上·龙岗期中）已知函数的定义域为，的定义域为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；函数的定义域及其求法；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由，解得，则集合，
由，解得，则集合，
故.
故答案为：C.
【分析】根据根式、分式以及对数函数有意义，列式求得集合A，B，再根据集合的交集运算求解即可.
2．（2024高二上·龙岗期中）某校学生2000人，其中高三年级学生500人，为了解学生的身体素质情况，现采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取200人的样本，则该样本中高三学生的人数为（ ）
A．60 B．50 C．40 D．30
【答案】B
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：某校学生2000人，其中高三年级学生500人，
从该校学生中抽取200人的样本，
该样本中高三学生的人数为.
故答案为：B.
【分析】根据分层抽样求解即可.
3．（2024高二上·龙岗期中）向量与垂直，则（ ）
A．－1 B．1 C．－4 D．4
【答案】B
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量与垂直，所以，解得.
故答案为：B.
【分析】根据向量垂直的坐标表示公式求解即可.
4．（2024高二上·龙岗期中）四面体中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据空间向量基本定理求解即可.
5．（2024高二上·龙岗期中）已知 为偶函数，它在 上是减函数，若有 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】∵函数 为偶函数，由 ，可得 ，
又因为函数 在 上是减函数， ，则 ，解得 ，因此，所求实数 的取值范围是 。
故答案为：A.
【分析】利用偶函数的定义结合已知条件可得 ，又因为函数 在 上是减函数和对数函数的单调性，从而求出实数x的取值范围。
6．（2024高二上·龙岗期中）在中，已知三个内角为满足，则三角形的形状（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
【答案】A
【知识点】正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：由正弦定理可得：，
不妨设，则，
显然，则，故.
故答案为：A.
【分析】由题意，利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理计算即可.
7．（2024高二上·龙岗期中）在区间内，曲线和交点间的线段长的最大值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【知识点】函数的图象；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：在同一坐标系中，和的图象，如图所示：
令，，解得或，则，
，故在区间交点间的线段长的最大值为.
故答案为：A.
【分析】在同一坐标系中，画出两个函数的图象，数形结合结合两点间距离公式求解即可.
8．（2024高二上·龙岗期中）已知直线 与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆 的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是 的中点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【知识点】函数的最大（小）值；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】设点 ， ，因为PD，PC是圆的切线，所以 ，
所以C，D在以OP为直径的圆上， 其圆的方程为 ，
又C，D在圆 上，则将两个圆的方程作差得直线CD的方程： ，即 ，所以直线CD恒过定点 ，
又因为 ，M，Q，C，D四点共线，所以 ，即M在以OQ为直径的圆 上，其圆心为 ，半径为 ，
所以 ，所以 的最小值为 ，
故答案为：A．
【分析】 根据题意设出点，，根据圆的切线的性质可得C，D在以OP为直径的圆上，求得其圆的方程，再由C，D在圆上，可得直线CD的方程，求得直线CD恒过定点Q(-1，1)，从而得M在以OQ为直径的圆，得出圆的方程可求得的最小值即可.
9．（2024高二上·龙岗期中）若直线 不平行于平面 ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 内存在一条直线与 平行 B． 内不存在与 平行的直线
C． 内所有直线与 异面 D． 内有无数条直线与 相交
【答案】B,D
【知识点】异面直线的判定；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：A，若α内存在一条直线与l平行，则由线面平行的判定定理知l//α，故错误；
B，因为直线l不平行于平面α，且lα，所以直线与平面相交，故α内不存在与l平行的直线，故正确；
C，因为直线l不平行于平面α，且lα，所以直线与平面相交，在α内过交点的直线与l共面，故错误；
D，因为直线l不平行于平面α，且lα，所以直线与平面相交，在α内过交点的直线有无数条与l相交，故正确.
故答案为：BD
【分析】根据线面平行的判定定理可判断A，根据直线与平面的位置关系可判断BD，根据异面直线的概念可判断C.
10．（2024高二上·龙岗期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则△ABC为等腰三角形
C．若，，，则符合条件的三角形有2个
D．若△ABC的面积，则
【答案】A,C,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、在中，由正弦定理得：，
（为的外接圆半径），因为，即，所以，故A正确；
B、因为，即，
展开整理得，又，
所以或，故为直角三角形或等腰三角形，故B错误；
C、因为，，，所以，所以，
所以符合条件的三角形有两个，故C正确；
D、三角形面积且可得，
因为，所以，故，所以，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】利用正弦定理即可判断A；由题意结合两角和差的正弦公式可得或，即可判断B；由即可判断C；由条件及余弦定理，三角形面积公式可得，求出即可判断D．
11．（2024高二上·龙岗期中）已知O为坐标原点，过点的直线l与圆交于A，B两点，M为A，B的中点，下列选项正确的有（ ）
A．直线l的斜率k的取值范围是
B．点M的轨迹为圆的一部分
C．为定值
D．为定值
【答案】A,B,D
【知识点】平面向量的数量积运算；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：A、设，，直线l的方程为．
由得，
所以，
解得，故A正确；
B、由，可得，所以点的轨迹是以为直径的圆的一部分，故B正确；
C、由，可得，
又，故C错误；
D、由，
得，，
，
又，，
所以
，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】由题意，利用直线和圆相交求斜率范围，再利用平面向量的数量积和直线与圆的位置关系判断即可.
12．（2024高二上·龙岗期中）两圆，的公切线有且仅有 条．
【答案】2
【知识点】圆的标准方程；圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解：化成标准方程为，
圆心，半径，
化成标准方程为，
圆心，半径，
两圆圆心距离，，
则两圆相交，因而公切线只有两条．
故答案为：2．
【分析】先将圆一般方程化为标准式，再根据两圆的位置关系判断公切线条数即可.
13．（2024高二上·龙岗期中）已知平面上直线的方向向量，点和在上的射影分别为和，则，其中 .
【答案】
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：因为直线的方向向量为，，，
所以，，
则即为在方向上的投影，即.
故答案为：.
【分析】由题意结合平面向量的坐标运算、模的坐标运算可得、，再根据投影的定义求解即可.
14．（2024高二上·龙岗期中）在棱长为的正方体中，点、分别是梭、的中点，是侧面上的动点，且平面，则点的轨迹长为 ，点到直线的距离的最小值为 .
【答案】；
【知识点】空间中两点间的距离公式；空间向量的夹角与距离求解公式；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则、、、，
因为点是侧面上的动点，设点，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，且，
因为平面，则，即，
可得，分别取线段、的中点、，
所以点的轨迹为线段，故点的轨迹长为，
，由，可得，
，
所以，点到直线的距离为
，
因为函数在上为增函数，
所以当时，取最小值，且.
故答案为：；.
【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设点，利用空间向量法求出点的轨迹方程，再求点的轨迹长度，最后利用空间向量法求点到直线距离的最小值即可.
15．（2024高二上·龙岗期中）在中，分别为三个内角的对边，且
（1）求角A的大小；
（2）若，，求和的值．
【答案】（1）解：由余弦定理可知，
所以，
因为，所以；
（2）解：由余弦定理可得，所以；
再根据正弦定理可知，
因为，故，
所以，
即，.
【知识点】二倍角的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）由题意，根据余弦定理结合同角三角函数的基本关系化简求角即可；
（2）利用余弦定理结合（1）的结论计算可得a，再根据正弦定理计算B，结合二倍角公式计算即可.
（1）由余弦定理可知，
所以，
因为，所以；
（2）由余弦定理可得，所以；
再根据正弦定理可知，
因为，故，
所以，
即，.
16．（2024高二上·龙岗期中）我校近几年加大了对学生强基考试的培训，为了选择培训的对象，今年我校进行一次数学考试，从参加考试的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：
（1）利用组中值估计本次考试成绩的平均数；
（2）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率．
【答案】（1）解：根据频率分布直方图可知：本次考试成绩的平均数为
；
（2）解：第五组与第六组学生总人数为，其中第五组有4人，
记为a、b、c、d，第六组有3人，记为A、B、C，
从中随机抽取2人的情况有：ab、ac、ad、aA、aB、aC、bc、bd、bA、bB、bC、cd、cA、cB、cC、dA、dB、dC、AB、AC、BC共有21种，
设“所抽取的2人中至少1人成绩优秀的事件”为，包含的基本事件有：aA、aB、aC、
bA、bB、bC、cA、cB、cC、dA、dB、dC、AB、AC、BC共有15种，
所以所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率．
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数计算方法计算即可；
（2）先根据频率分布直方图计算第5组和第6组学生人数，再利用列举法写出基本事件，结合古典概型的概率公式求解即可.
（1）本次考试成绩的平均数为
．
（2）第五组与第六组学生总人数为，
其中第五组有4人，记为a、b、c、d，第六组有3人，记为A、B、C，
从中随机抽取2人的情况有：ab、ac、ad、aA、aB、aC、bc、bd、bA、bB、bC、cd、cA、cB、cC、dA、dB、dC、AB、AC、BC共有21种，
设“所抽取的2人中至少1人成绩优秀的事件”为，包含的基本事件有：aA、aB、aC、
bA、bB、bC、cA、cB、cC、dA、dB、dC、AB、AC、BC共有15种，
所以所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率．
17．（2024高二上·龙岗期中）如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值．
【答案】（1）证明：过作交于，
由题意为正方形，则，，
所以，即，
又，，则，，即，
所以为平行四边形，故，
而面，面，则平面；
（2）解：由底面，且，
以为原点，为轴建空间直角坐标系，如图所示：
则，
，，，
令面的一个法向量为，则，
令，可得，
所以，
故直线与平面所成角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）过作交于，证为平行四边形得，再由线面平行的判定定理证明即可；
（2）以为原点，为轴建空间直角坐标系，利用空间向量法求线面角的余弦值即可.
（1）过作交于，
由题意为正方形，则，，
所以，即，
又，，则，，即，
所以为平行四边形，故，
而面，面，则平面；
（2）由底面，且，
以为原点，为轴建空间直角坐标系，
所以，
则，，，
令面的一个法向量为，则，
令，可得，
所以，
故直线与平面所成角的余弦值为.
18．（2024高二上·龙岗期中）在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示．
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：因为在中，，，且，
所以，，则折叠后，，
又平面，所以平面，平面，
所以， 又已知，且都在面内，
所以平面；
（2）解：由（1）知，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系 ，如图所示：
因为，故，
由几何关系可知，，，，
则，，，，，，
假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为，
，，，
设，则，
，
设平面的法向量为，则有，即
不妨令，则，，
故平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则有，即
不妨令，则，，所以平面的一个法向量为，
若平面与平面成角余弦值为，
则满足，
化简得， 解得或， 即或，
故在线段上存在这样的点，
使平面与平面成角余弦值为，此时的长度为或．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意，先证明，，再根据线面垂直的判定定理证明平面即可；
（2）由（1）知，以为坐标原点，建立空间直角坐标系 ，利用空间向量法求解即可.
（1）因为在中，，，且，
所以，，则折叠后，，
又平面，所以平面，平面，
所以， 又已知，且都在面内，
所以平面.
（2）由（1）知，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系 ，
因为，故，
由几何关系可知，，，，
故，，，，，，
假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为，
，，，
设，则，
，
设平面的法向量为，则有，即
不妨令，则，，
故平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则有，即
不妨令，则，，所以平面的一个法向量为，
若平面与平面成角余弦值为，
则满足，
化简得， 解得或， 即或，
故在线段上存在这样的点，
使平面与平面成角余弦值为，此时的长度为或．
19．（2024高二上·龙岗期中）已知定点和直线，动圆和直线相切，且过点作圆的切线，切线长等于动圆的半径．
（1）求圆的圆心的轨迹方程．
（2）当圆的面积最小时，求圆的方程．
【答案】（1）解：设圆心坐标为，半径为，因为动圆和直线相切，则，
过点作圆的切线，切线长等于动圆的半径，则，
所以得， 化简，得
所以圆的圆心的轨迹方程为：；
（2）解：由题意可知，当圆的面积最小时，点到直线的距离即圆半径最小；
设直线为与曲线相切
联立，消去，得，
则， 且，，
解得，
当时，切线为，
则，圆心C；
当时，切线为，
则，圆心C，
所以，此时圆心C，
圆的方程为.
【知识点】轨迹方程；直线与圆的位置关系；两圆的公切线条数及方程的确定；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）设圆心坐标为，由动圆和直线相切及过点的圆切线长等于动圆的半径这两个条件，可得到，化简求圆心的轨迹方程即可；
（2）动圆的面积最小，则有动圆的半径最小，最小半径即曲线上的点到直线的最小距离，可先求出平行于且与相切直线，与的距离为半径，此时的切点为圆心，求圆C的方程即可.
（1）设圆心坐标为，半径为，
∵动圆和直线相切，则，
过点作圆的切线，切线长等于动圆的半径，则，
所以得， 化简，得
所以圆的圆心的轨迹方程为：
（2）由题意可知，当圆的面积最小时，点到直线的距离即圆半径最小；
设直线为与曲线相切
联立，消去，得，
则， 且，，
解得，
当时，切线为，
则，圆心C；
当时，切线为，
则，圆心C，
所以，此时圆心C，
圆的方程为
1 / 1广东省深圳市龙岗区龙城高级中学、深圳大学附中2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题
1．（2024高二上·龙岗期中）已知函数的定义域为，的定义域为，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·龙岗期中）某校学生2000人，其中高三年级学生500人，为了解学生的身体素质情况，现采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取200人的样本，则该样本中高三学生的人数为（ ）
A．60 B．50 C．40 D．30
3．（2024高二上·龙岗期中）向量与垂直，则（ ）
A．－1 B．1 C．－4 D．4
4．（2024高二上·龙岗期中）四面体中，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高二上·龙岗期中）已知 为偶函数，它在 上是减函数，若有 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高二上·龙岗期中）在中，已知三个内角为满足，则三角形的形状（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
7．（2024高二上·龙岗期中）在区间内，曲线和交点间的线段长的最大值为（ ）
A． B． C． D．4
8．（2024高二上·龙岗期中）已知直线 与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆 的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是 的中点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
9．（2024高二上·龙岗期中）若直线 不平行于平面 ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 内存在一条直线与 平行 B． 内不存在与 平行的直线
C． 内所有直线与 异面 D． 内有无数条直线与 相交
10．（2024高二上·龙岗期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则△ABC为等腰三角形
C．若，，，则符合条件的三角形有2个
D．若△ABC的面积，则
11．（2024高二上·龙岗期中）已知O为坐标原点，过点的直线l与圆交于A，B两点，M为A，B的中点，下列选项正确的有（ ）
A．直线l的斜率k的取值范围是
B．点M的轨迹为圆的一部分
C．为定值
D．为定值
12．（2024高二上·龙岗期中）两圆，的公切线有且仅有 条．
13．（2024高二上·龙岗期中）已知平面上直线的方向向量，点和在上的射影分别为和，则，其中 .
14．（2024高二上·龙岗期中）在棱长为的正方体中，点、分别是梭、的中点，是侧面上的动点，且平面，则点的轨迹长为 ，点到直线的距离的最小值为 .
15．（2024高二上·龙岗期中）在中，分别为三个内角的对边，且
（1）求角A的大小；
（2）若，，求和的值．
16．（2024高二上·龙岗期中）我校近几年加大了对学生强基考试的培训，为了选择培训的对象，今年我校进行一次数学考试，从参加考试的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：
（1）利用组中值估计本次考试成绩的平均数；
（2）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率．
17．（2024高二上·龙岗期中）如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值．
18．（2024高二上·龙岗期中）在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示．
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
19．（2024高二上·龙岗期中）已知定点和直线，动圆和直线相切，且过点作圆的切线，切线长等于动圆的半径．
（1）求圆的圆心的轨迹方程．
（2）当圆的面积最小时，求圆的方程．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；函数的定义域及其求法；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由，解得，则集合，
由，解得，则集合，
故.
故答案为：C.
【分析】根据根式、分式以及对数函数有意义，列式求得集合A，B，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】B
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：某校学生2000人，其中高三年级学生500人，
从该校学生中抽取200人的样本，
该样本中高三学生的人数为.
故答案为：B.
【分析】根据分层抽样求解即可.
3．【答案】B
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量与垂直，所以，解得.
故答案为：B.
【分析】根据向量垂直的坐标表示公式求解即可.
4．【答案】A
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据空间向量基本定理求解即可.
5．【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】∵函数 为偶函数，由 ，可得 ，
又因为函数 在 上是减函数， ，则 ，解得 ，因此，所求实数 的取值范围是 。
故答案为：A.
【分析】利用偶函数的定义结合已知条件可得 ，又因为函数 在 上是减函数和对数函数的单调性，从而求出实数x的取值范围。
6．【答案】A
【知识点】正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：由正弦定理可得：，
不妨设，则，
显然，则，故.
故答案为：A.
【分析】由题意，利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理计算即可.
7．【答案】A
【知识点】函数的图象；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：在同一坐标系中，和的图象，如图所示：
令，，解得或，则，
，故在区间交点间的线段长的最大值为.
故答案为：A.
【分析】在同一坐标系中，画出两个函数的图象，数形结合结合两点间距离公式求解即可.
8．【答案】A
【知识点】函数的最大（小）值；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】设点 ， ，因为PD，PC是圆的切线，所以 ，
所以C，D在以OP为直径的圆上， 其圆的方程为 ，
又C，D在圆 上，则将两个圆的方程作差得直线CD的方程： ，即 ，所以直线CD恒过定点 ，
又因为 ，M，Q，C，D四点共线，所以 ，即M在以OQ为直径的圆 上，其圆心为 ，半径为 ，
所以 ，所以 的最小值为 ，
故答案为：A．
【分析】 根据题意设出点，，根据圆的切线的性质可得C，D在以OP为直径的圆上，求得其圆的方程，再由C，D在圆上，可得直线CD的方程，求得直线CD恒过定点Q(-1，1)，从而得M在以OQ为直径的圆，得出圆的方程可求得的最小值即可.
9．【答案】B,D
【知识点】异面直线的判定；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：A，若α内存在一条直线与l平行，则由线面平行的判定定理知l//α，故错误；
B，因为直线l不平行于平面α，且lα，所以直线与平面相交，故α内不存在与l平行的直线，故正确；
C，因为直线l不平行于平面α，且lα，所以直线与平面相交，在α内过交点的直线与l共面，故错误；
D，因为直线l不平行于平面α，且lα，所以直线与平面相交，在α内过交点的直线有无数条与l相交，故正确.
故答案为：BD
【分析】根据线面平行的判定定理可判断A，根据直线与平面的位置关系可判断BD，根据异面直线的概念可判断C.
10．【答案】A,C,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、在中，由正弦定理得：，
（为的外接圆半径），因为，即，所以，故A正确；
B、因为，即，
展开整理得，又，
所以或，故为直角三角形或等腰三角形，故B错误；
C、因为，，，所以，所以，
所以符合条件的三角形有两个，故C正确；
D、三角形面积且可得，
因为，所以，故，所以，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】利用正弦定理即可判断A；由题意结合两角和差的正弦公式可得或，即可判断B；由即可判断C；由条件及余弦定理，三角形面积公式可得，求出即可判断D．
11．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量的数量积运算；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：A、设，，直线l的方程为．
由得，
所以，
解得，故A正确；
B、由，可得，所以点的轨迹是以为直径的圆的一部分，故B正确；
C、由，可得，
又，故C错误；
D、由，
得，，
，
又，，
所以
，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】由题意，利用直线和圆相交求斜率范围，再利用平面向量的数量积和直线与圆的位置关系判断即可.
12．【答案】2
【知识点】圆的标准方程；圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解：化成标准方程为，
圆心，半径，
化成标准方程为，
圆心，半径，
两圆圆心距离，，
则两圆相交，因而公切线只有两条．
故答案为：2．
【分析】先将圆一般方程化为标准式，再根据两圆的位置关系判断公切线条数即可.
13．【答案】
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：因为直线的方向向量为，，，
所以，，
则即为在方向上的投影，即.
故答案为：.
【分析】由题意结合平面向量的坐标运算、模的坐标运算可得、，再根据投影的定义求解即可.
14．【答案】；
【知识点】空间中两点间的距离公式；空间向量的夹角与距离求解公式；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则、、、，
因为点是侧面上的动点，设点，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，且，
因为平面，则，即，
可得，分别取线段、的中点、，
所以点的轨迹为线段，故点的轨迹长为，
，由，可得，
，
所以，点到直线的距离为
，
因为函数在上为增函数，
所以当时，取最小值，且.
故答案为：；.
【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设点，利用空间向量法求出点的轨迹方程，再求点的轨迹长度，最后利用空间向量法求点到直线距离的最小值即可.
15．【答案】（1）解：由余弦定理可知，
所以，
因为，所以；
（2）解：由余弦定理可得，所以；
再根据正弦定理可知，
因为，故，
所以，
即，.
【知识点】二倍角的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）由题意，根据余弦定理结合同角三角函数的基本关系化简求角即可；
（2）利用余弦定理结合（1）的结论计算可得a，再根据正弦定理计算B，结合二倍角公式计算即可.
（1）由余弦定理可知，
所以，
因为，所以；
（2）由余弦定理可得，所以；
再根据正弦定理可知，
因为，故，
所以，
即，.
16．【答案】（1）解：根据频率分布直方图可知：本次考试成绩的平均数为
；
（2）解：第五组与第六组学生总人数为，其中第五组有4人，
记为a、b、c、d，第六组有3人，记为A、B、C，
从中随机抽取2人的情况有：ab、ac、ad、aA、aB、aC、bc、bd、bA、bB、bC、cd、cA、cB、cC、dA、dB、dC、AB、AC、BC共有21种，
设“所抽取的2人中至少1人成绩优秀的事件”为，包含的基本事件有：aA、aB、aC、
bA、bB、bC、cA、cB、cC、dA、dB、dC、AB、AC、BC共有15种，
所以所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率．
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数计算方法计算即可；
（2）先根据频率分布直方图计算第5组和第6组学生人数，再利用列举法写出基本事件，结合古典概型的概率公式求解即可.
（1）本次考试成绩的平均数为
．
（2）第五组与第六组学生总人数为，
其中第五组有4人，记为a、b、c、d，第六组有3人，记为A、B、C，
从中随机抽取2人的情况有：ab、ac、ad、aA、aB、aC、bc、bd、bA、bB、bC、cd、cA、cB、cC、dA、dB、dC、AB、AC、BC共有21种，
设“所抽取的2人中至少1人成绩优秀的事件”为，包含的基本事件有：aA、aB、aC、
bA、bB、bC、cA、cB、cC、dA、dB、dC、AB、AC、BC共有15种，
所以所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率．
17．【答案】（1）证明：过作交于，
由题意为正方形，则，，
所以，即，
又，，则，，即，
所以为平行四边形，故，
而面，面，则平面；
（2）解：由底面，且，
以为原点，为轴建空间直角坐标系，如图所示：
则，
，，，
令面的一个法向量为，则，
令，可得，
所以，
故直线与平面所成角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）过作交于，证为平行四边形得，再由线面平行的判定定理证明即可；
（2）以为原点，为轴建空间直角坐标系，利用空间向量法求线面角的余弦值即可.
（1）过作交于，
由题意为正方形，则，，
所以，即，
又，，则，，即，
所以为平行四边形，故，
而面，面，则平面；
（2）由底面，且，
以为原点，为轴建空间直角坐标系，
所以，
则，，，
令面的一个法向量为，则，
令，可得，
所以，
故直线与平面所成角的余弦值为.
18．【答案】（1）证明：因为在中，，，且，
所以，，则折叠后，，
又平面，所以平面，平面，
所以， 又已知，且都在面内，
所以平面；
（2）解：由（1）知，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系 ，如图所示：
因为，故，
由几何关系可知，，，，
则，，，，，，
假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为，
，，，
设，则，
，
设平面的法向量为，则有，即
不妨令，则，，
故平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则有，即
不妨令，则，，所以平面的一个法向量为，
若平面与平面成角余弦值为，
则满足，
化简得， 解得或， 即或，
故在线段上存在这样的点，
使平面与平面成角余弦值为，此时的长度为或．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意，先证明，，再根据线面垂直的判定定理证明平面即可；
（2）由（1）知，以为坐标原点，建立空间直角坐标系 ，利用空间向量法求解即可.
（1）因为在中，，，且，
所以，，则折叠后，，
又平面，所以平面，平面，
所以， 又已知，且都在面内，
所以平面.
（2）由（1）知，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系 ，
因为，故，
由几何关系可知，，，，
故，，，，，，
假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为，
，，，
设，则，
，
设平面的法向量为，则有，即
不妨令，则，，
故平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则有，即
不妨令，则，，所以平面的一个法向量为，
若平面与平面成角余弦值为，
则满足，
化简得， 解得或， 即或，
故在线段上存在这样的点，
使平面与平面成角余弦值为，此时的长度为或．
19．【答案】（1）解：设圆心坐标为，半径为，因为动圆和直线相切，则，
过点作圆的切线，切线长等于动圆的半径，则，
所以得， 化简，得
所以圆的圆心的轨迹方程为：；
（2）解：由题意可知，当圆的面积最小时，点到直线的距离即圆半径最小；
设直线为与曲线相切
联立，消去，得，
则， 且，，
解得，
当时，切线为，
则，圆心C；
当时，切线为，
则，圆心C，
所以，此时圆心C，
圆的方程为.
【知识点】轨迹方程；直线与圆的位置关系；两圆的公切线条数及方程的确定；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）设圆心坐标为，由动圆和直线相切及过点的圆切线长等于动圆的半径这两个条件，可得到，化简求圆心的轨迹方程即可；
（2）动圆的面积最小，则有动圆的半径最小，最小半径即曲线上的点到直线的最小距离，可先求出平行于且与相切直线，与的距离为半径，此时的切点为圆心，求圆C的方程即可.
（1）设圆心坐标为，半径为，
∵动圆和直线相切，则，
过点作圆的切线，切线长等于动圆的半径，则，
所以得， 化简，得
所以圆的圆心的轨迹方程为：
（2）由题意可知，当圆的面积最小时，点到直线的距离即圆半径最小；
设直线为与曲线相切
联立，消去，得，
则， 且，，
解得，
当时，切线为，
则，圆心C；
当时，切线为，
则，圆心C，
所以，此时圆心C，
圆的方程为
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