湖北省华中师范大学东湖开发区第一附属中学2025届高三上学期第一次调研测试数学试题
1．（2024高三上·湖北月考）设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由“”，得，
得或或，
即或或，
由，得，
故“”是“”的必要不充分条件，
故答案为：C．
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义可得答案。
2．（2024高三上·湖北月考）已知四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：平面，底面是边长为2的正方形，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
因为为的中点，所以，
则，，
则，
则异面直线与所成角的余弦值为即为.
故答案为：B.
【分析】建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，利用求解即可.
3．（2024高三上·湖北月考）总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A．08 B．07 C．02 D．01
【答案】D
【知识点】简单随机抽样
【解析】【解答】从第一行的第5列和第6列起，由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合随机数表的方法，从而求出选出来的第5个个体的编号。
4．（2024高三上·湖北月考）已知函数 若关于 的方程 有六个不相等的实数根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】令 ，则 ，如图
与 顶多只有3个不同交点，要使关于 的方程 有
六个不相等的实数根，则 有两个不同的根 ，
设 由根的分布可知，
，解得 .
故答案为：B.
【分析】令 ，则 ，由图象分析可知 在 上有两个不同的根，再利用一元二次方程根的分布即可解决.
5．（2024高三上·湖北月考）已知 与函数 和 都相切，则不等式组 所确定的平面区域在 内的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划
【解析】【解答】 .设直线 与 相切于点 ，斜率为 ，所以切线方程为 ，化简得 ①.令 ，解得 ， ，所以切线方程为 ，化简得 ②.由①②对比系数得 ，化简得 ③.构造函数 ， ，所以 在 上递减，在 上递增，所以 在 处取得极小值也即是最小值，而 ，所以 有唯一解.也即方程③有唯一解 .所以切线方程为 .即 .不等式组 即 ，画出其对应的区域如下图所示.圆 可化为 ，圆心为 .而方程组 的解也是 .画出图像如下图所示，不等式组 所确定的平面区域在 内的部分如下图阴影部分所示.
直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 .所以 ，所以 ，而圆 的半径为 ，所以阴影部分的面积是 .
故选：B
【分析】根据直线 与 和 都相切，求得 的值，由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆 ，由此求得正确选项.
6．（2024高三上·湖北月考）已知，满足约束条件，则的最大值为
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示：
则等价于，作直线向上平移，
易知当直线经过点时最大，故.
故答案为：D．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，数形结合求解即可．
7．（2024高三上·湖北月考）要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：函数，要得到函数的图象，
只需将的图象向右平移个单位.
故答案为：D.
【分析】根据三角函数的图象平移变换求解即可.
8．（2024高三上·湖北月考）在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A．74 B．121 C． D．
【答案】D
【知识点】组合及组合数公式；二项式定理
【解析】【解答】解：在的展开式中，
所有含的项为：，
则含的项的系数是的系数是.
故答案为：D.
【分析】根据，利用通项公式得到含的项为：，结合组合数公式求解即可.
9．（2024高三上·湖北月考）已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C的方程不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与 轴的夹角时要分为两种情况．依题意，双曲渐近线与 轴的夹角为30°或60°，双曲线 的渐近线方程为 或 .A选项渐近线为 ，B选项渐近线为 ，C选项渐近线为 ，D选项渐近线为 .所以双曲线 的方程不可能为 .
故选：C
【分析】判断出已知条件中双曲线 的渐近线方程，求得四个选项中双曲线的渐近线方程，由此确定选项.
10．（2024高三上·湖北月考）设命题 ： ， ，则 为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题 ： ， ，则 为： ， .
故答案为：D.
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.
11．（2024高三上·湖北月考）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则等差数列 公差 （ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】∵a1=12，S5=90，
∴5×12+ d=90，
解得d=3．
故答案为：C．
【分析】根据题意由等差数列的前n项和公式，以及等差数列项的性质结合已知条件计算出答案即可。
12．（2024高三上·湖北月考）在声学中，声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）.，，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为，
所以，所以，
当时，，则，
当时，，则，
故.
故答案为：D.
【分析】由题意，利用对数运算求解即可.
13．（2024高三上·湖北月考）记等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，若 ，则 .
【答案】
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】由题意, , ,
因为 ,所以 .
故答案为: .
【分析】结合等差数列的前 项和公式,可得 ,求解即可.
14．（2024高三上·湖北月考）已知函数 ，若 恒成立，则 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为 ，所以 ，因为 ，所以 .
当 ，即 时， ，则 在 上单调递增，从而 ，故 符合题意；
当 ，即 时，因为 在 上单调递增，且 ，所以存在唯一的 ，使得 .
令 ，得 ，则 在 上单调递减，从而 ，故 不符合题意.综上， 的取值范围是 .
故答案为： .
【分析】求导得到 ，讨论 和 两种情况，计算 时，函数 在 上单调递减，故 ，不符合，排除，得到答案。
15．（2024高三上·湖北月考）已知向量满足，则向量与的夹角为 .
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由，两边平方可得，
因为，所以，所以，
所以，所以，
又因为，所以，即向量与的夹角为.
故答案为：.
【分析】由两边平方得，利用向量的数量积定义求向量与的夹角即可.
16．（2024高三上·湖北月考）设α、β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：
①若m∥n，则m∥α；
②若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③若α∥β，m α，n β，则m∥n；
④若α⊥β，α∩β＝m，n α，m⊥n，则n⊥β；
其中正确命题的序号为 ．
【答案】④
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：①、当m∥n时，由直线与平面平行的定义和判定定理，不能得出m∥α，故①错误；
②、当m α，n α，且m∥β，n∥β时，由两平面平行的判定定理，不能得出α∥β，故②错误；
③、当α∥β，且m α，n β时，由两平面平行的性质定理，不能得出m∥n，故③错误；
④、当α⊥β，且α∩β＝m，n α，m⊥n时，由两平面垂直的性质定理，能够得出n⊥β，故④正确；
综上知，正确命题的序号是④．
故答案为：④．
【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系逐项判断即可.
17．（2024高三上·湖北月考）在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程是 ( 为参数)，以原点 为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .
(Ⅰ)求曲线 的普通方程与直线 的直角坐标方程；
(Ⅱ)已知直线 与曲线 交于 ， 两点，与 轴交于点 ，求 .
【答案】解：(I)由曲线C的参数方程 (α为参数) (α为参数)， 两式平方相加，得曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝4； 由直线l的极坐标方程可得ρcosθcos －ρsinθsin ＝ ρcosθ－ρsinθ＝2， 即直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0. (Ⅱ)由题意可得P(2，0)，则直线l的参数方程为 (t为参数)． 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|， 将 (t为参数)代入(x－1)2＋y2＝4，得t2＋ t－3＝0， 则Δ>0，由韦达定理可得t1·t2＝－3，所以|PA|·|PB|＝|－3|＝3
【知识点】简单曲线的极坐标方程；圆的参数方程
【解析】【分析】（1）消参数可得曲线 的普通方程，利用极直互化公式可得 直线 的直角坐标方程；
（2）由直线l的参数方程中t的几何意义结合韦达定理可得结果.
18．（2024高三上·湖北月考）已知数列的前项和和通项满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列中，，，求数列的前项和.
【答案】解：（1）当时，，解得，
当时，，①
，②
则，
即，又因为，故，所以，
则数列是首项，公比为的等比数列，
故；
（2）由，可得数列为等差数列，公差，
，，
.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）当时求得，当利用可得，再利用等比数列的概念求通项公式即可；
（2）由，可得数列为等差数列，公差，求得数列的通项公式，再利用分组求和法求解即可.
19．（2024高三上·湖北月考）已知数列满足，且.
（1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】解：（1）因为，所以，即
所以数列是等差数列，且公差，其首项
所以，解得；
（2），①
，②
①②，得，
所以.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由题意，利用递推公式结合等差数列的概念证明数列等差数列，再求数列的通项公式即可；
（2）利用错位相减法求和即可.
20．（2024高三上·湖北月考）根据国家统计局数据，1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242倍多，综合国力大幅提升.
将年份1978，1988，1998，2008，2018分别用1，2，3，4，5代替，并表示为；表示全国GDP总量，表中，.
3 26.474 1.903 10 209.76 14.05
（1）根据数据及统计图表，判断与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国GDP总量关于的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程.
（2）使用参考数据，估计2020年的全国GDP总量.
线性回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，.
参考数据：
4 5 6 7 8
的近似值 55 148 403 1097 2981
【答案】解：（1）根据数据及图表可以判断，
更适宜作为全国GDP总量关于的回归方程，
对两边取自然对数得，令，，，得，
因为，
所以，
所以关于的线性回归方程为，
所以关于的回归方程为；
（2）将代入，其中，
于是2020年的全国GDP总量约为：万亿元.
【知识点】回归分析的初步应用
【解析】【分析】（1）根据数据及图表可以判断，更适宜作为全国GDP总量关于的回归方程，利用对数的运算求解关于的回归方程即可；
（2）由（1）的结论，预估2020年的全国GDP总量即可.
21．（2024高三上·湖北月考）某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以为圆心的半圆及直径围成．在此区域内原有一个以为直径、为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区，其中、分别在半圆与半圆的圆弧上，且与半圆相切于点．已知长为40米，设为．（上述图形均视作在同一平面内）
（1）记四边形的周长为，求的表达式；
（2）要使改建成的展示区的面积最大，求的值．
【答案】解：（1）连．由条件得，
在三角形中，，，，
由余弦定理得，
因为与半圆相切于，所以，
所以，所以．
所以四边形的周长为，．
（2）设四边形的面积为，
则，．
所以，．
令，得
列表：
+ 0 -
增 最大值 减
则要使改建成的展示区的面积最大，的值为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由余弦定理的，再根据直线与圆相切的性质求出，从而求出即可；
（2）求得的表达式，求导，利用导数研究函数的单调性求最大值即可.
22．（2024高三上·湖北月考）已知 的内角 的对边分别为 ，且 .
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若 的周长是否有最大值？如果有，求出这个最大值，如果没有，请说明理由.
【答案】解：（Ⅰ）由 得
再由正弦定理得
因此 ，
又因为 ，所以 .
（Ⅱ）当 时， 的周长有最大值，且最大值为3，
理由如下：
由正弦定理得 ，
所以 ，
所以 .
因为 ，所以 ，
所以当 即 时，a+b取到最大值2，
所以 的周长有最大值，最大值为3.
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（Ⅰ）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；（Ⅱ）由正弦定理可得 ，则 ，再根据正弦函数的性质计算可得；
1 / 1湖北省华中师范大学东湖开发区第一附属中学2025届高三上学期第一次调研测试数学试题
1．（2024高三上·湖北月考）设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024高三上·湖北月考）已知四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三上·湖北月考）总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A．08 B．07 C．02 D．01
4．（2024高三上·湖北月考）已知函数 若关于 的方程 有六个不相等的实数根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三上·湖北月考）已知 与函数 和 都相切，则不等式组 所确定的平面区域在 内的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高三上·湖北月考）已知，满足约束条件，则的最大值为
A． B． C． D．
7．（2024高三上·湖北月考）要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
8．（2024高三上·湖北月考）在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A．74 B．121 C． D．
9．（2024高三上·湖北月考）已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C的方程不可能为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高三上·湖北月考）设命题 ： ， ，则 为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
11．（2024高三上·湖北月考）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则等差数列 公差 （ ）
A．2 B． C．3 D．4
12．（2024高三上·湖北月考）在声学中，声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）.，，那么（ ）
A． B． C． D．
13．（2024高三上·湖北月考）记等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，若 ，则 .
14．（2024高三上·湖北月考）已知函数 ，若 恒成立，则 的取值范围是 .
15．（2024高三上·湖北月考）已知向量满足，则向量与的夹角为 .
16．（2024高三上·湖北月考）设α、β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：
①若m∥n，则m∥α；
②若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③若α∥β，m α，n β，则m∥n；
④若α⊥β，α∩β＝m，n α，m⊥n，则n⊥β；
其中正确命题的序号为 ．
17．（2024高三上·湖北月考）在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程是 ( 为参数)，以原点 为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .
(Ⅰ)求曲线 的普通方程与直线 的直角坐标方程；
(Ⅱ)已知直线 与曲线 交于 ， 两点，与 轴交于点 ，求 .
18．（2024高三上·湖北月考）已知数列的前项和和通项满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列中，，，求数列的前项和.
19．（2024高三上·湖北月考）已知数列满足，且.
（1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
20．（2024高三上·湖北月考）根据国家统计局数据，1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242倍多，综合国力大幅提升.
将年份1978，1988，1998，2008，2018分别用1，2，3，4，5代替，并表示为；表示全国GDP总量，表中，.
3 26.474 1.903 10 209.76 14.05
（1）根据数据及统计图表，判断与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国GDP总量关于的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程.
（2）使用参考数据，估计2020年的全国GDP总量.
线性回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，.
参考数据：
4 5 6 7 8
的近似值 55 148 403 1097 2981
21．（2024高三上·湖北月考）某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以为圆心的半圆及直径围成．在此区域内原有一个以为直径、为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区，其中、分别在半圆与半圆的圆弧上，且与半圆相切于点．已知长为40米，设为．（上述图形均视作在同一平面内）
（1）记四边形的周长为，求的表达式；
（2）要使改建成的展示区的面积最大，求的值．
22．（2024高三上·湖北月考）已知 的内角 的对边分别为 ，且 .
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若 的周长是否有最大值？如果有，求出这个最大值，如果没有，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由“”，得，
得或或，
即或或，
由，得，
故“”是“”的必要不充分条件，
故答案为：C．
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义可得答案。
2．【答案】B
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：平面，底面是边长为2的正方形，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
因为为的中点，所以，
则，，
则，
则异面直线与所成角的余弦值为即为.
故答案为：B.
【分析】建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，利用求解即可.
3．【答案】D
【知识点】简单随机抽样
【解析】【解答】从第一行的第5列和第6列起，由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合随机数表的方法，从而求出选出来的第5个个体的编号。
4．【答案】B
【知识点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】令 ，则 ，如图
与 顶多只有3个不同交点，要使关于 的方程 有
六个不相等的实数根，则 有两个不同的根 ，
设 由根的分布可知，
，解得 .
故答案为：B.
【分析】令 ，则 ，由图象分析可知 在 上有两个不同的根，再利用一元二次方程根的分布即可解决.
5．【答案】B
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划
【解析】【解答】 .设直线 与 相切于点 ，斜率为 ，所以切线方程为 ，化简得 ①.令 ，解得 ， ，所以切线方程为 ，化简得 ②.由①②对比系数得 ，化简得 ③.构造函数 ， ，所以 在 上递减，在 上递增，所以 在 处取得极小值也即是最小值，而 ，所以 有唯一解.也即方程③有唯一解 .所以切线方程为 .即 .不等式组 即 ，画出其对应的区域如下图所示.圆 可化为 ，圆心为 .而方程组 的解也是 .画出图像如下图所示，不等式组 所确定的平面区域在 内的部分如下图阴影部分所示.
直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 .所以 ，所以 ，而圆 的半径为 ，所以阴影部分的面积是 .
故选：B
【分析】根据直线 与 和 都相切，求得 的值，由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆 ，由此求得正确选项.
6．【答案】D
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示：
则等价于，作直线向上平移，
易知当直线经过点时最大，故.
故答案为：D．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，数形结合求解即可．
7．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：函数，要得到函数的图象，
只需将的图象向右平移个单位.
故答案为：D.
【分析】根据三角函数的图象平移变换求解即可.
8．【答案】D
【知识点】组合及组合数公式；二项式定理
【解析】【解答】解：在的展开式中，
所有含的项为：，
则含的项的系数是的系数是.
故答案为：D.
【分析】根据，利用通项公式得到含的项为：，结合组合数公式求解即可.
9．【答案】C
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与 轴的夹角时要分为两种情况．依题意，双曲渐近线与 轴的夹角为30°或60°，双曲线 的渐近线方程为 或 .A选项渐近线为 ，B选项渐近线为 ，C选项渐近线为 ，D选项渐近线为 .所以双曲线 的方程不可能为 .
故选：C
【分析】判断出已知条件中双曲线 的渐近线方程，求得四个选项中双曲线的渐近线方程，由此确定选项.
10．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题 ： ， ，则 为： ， .
故答案为：D.
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.
11．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】∵a1=12，S5=90，
∴5×12+ d=90，
解得d=3．
故答案为：C．
【分析】根据题意由等差数列的前n项和公式，以及等差数列项的性质结合已知条件计算出答案即可。
12．【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为，
所以，所以，
当时，，则，
当时，，则，
故.
故答案为：D.
【分析】由题意，利用对数运算求解即可.
13．【答案】
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】由题意, , ,
因为 ,所以 .
故答案为: .
【分析】结合等差数列的前 项和公式,可得 ,求解即可.
14．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为 ，所以 ，因为 ，所以 .
当 ，即 时， ，则 在 上单调递增，从而 ，故 符合题意；
当 ，即 时，因为 在 上单调递增，且 ，所以存在唯一的 ，使得 .
令 ，得 ，则 在 上单调递减，从而 ，故 不符合题意.综上， 的取值范围是 .
故答案为： .
【分析】求导得到 ，讨论 和 两种情况，计算 时，函数 在 上单调递减，故 ，不符合，排除，得到答案。
15．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由，两边平方可得，
因为，所以，所以，
所以，所以，
又因为，所以，即向量与的夹角为.
故答案为：.
【分析】由两边平方得，利用向量的数量积定义求向量与的夹角即可.
16．【答案】④
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：①、当m∥n时，由直线与平面平行的定义和判定定理，不能得出m∥α，故①错误；
②、当m α，n α，且m∥β，n∥β时，由两平面平行的判定定理，不能得出α∥β，故②错误；
③、当α∥β，且m α，n β时，由两平面平行的性质定理，不能得出m∥n，故③错误；
④、当α⊥β，且α∩β＝m，n α，m⊥n时，由两平面垂直的性质定理，能够得出n⊥β，故④正确；
综上知，正确命题的序号是④．
故答案为：④．
【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系逐项判断即可.
17．【答案】解：(I)由曲线C的参数方程 (α为参数) (α为参数)， 两式平方相加，得曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝4； 由直线l的极坐标方程可得ρcosθcos －ρsinθsin ＝ ρcosθ－ρsinθ＝2， 即直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0. (Ⅱ)由题意可得P(2，0)，则直线l的参数方程为 (t为参数)． 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|， 将 (t为参数)代入(x－1)2＋y2＝4，得t2＋ t－3＝0， 则Δ>0，由韦达定理可得t1·t2＝－3，所以|PA|·|PB|＝|－3|＝3
【知识点】简单曲线的极坐标方程；圆的参数方程
【解析】【分析】（1）消参数可得曲线 的普通方程，利用极直互化公式可得 直线 的直角坐标方程；
（2）由直线l的参数方程中t的几何意义结合韦达定理可得结果.
18．【答案】解：（1）当时，，解得，
当时，，①
，②
则，
即，又因为，故，所以，
则数列是首项，公比为的等比数列，
故；
（2）由，可得数列为等差数列，公差，
，，
.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）当时求得，当利用可得，再利用等比数列的概念求通项公式即可；
（2）由，可得数列为等差数列，公差，求得数列的通项公式，再利用分组求和法求解即可.
19．【答案】解：（1）因为，所以，即
所以数列是等差数列，且公差，其首项
所以，解得；
（2），①
，②
①②，得，
所以.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由题意，利用递推公式结合等差数列的概念证明数列等差数列，再求数列的通项公式即可；
（2）利用错位相减法求和即可.
20．【答案】解：（1）根据数据及图表可以判断，
更适宜作为全国GDP总量关于的回归方程，
对两边取自然对数得，令，，，得，
因为，
所以，
所以关于的线性回归方程为，
所以关于的回归方程为；
（2）将代入，其中，
于是2020年的全国GDP总量约为：万亿元.
【知识点】回归分析的初步应用
【解析】【分析】（1）根据数据及图表可以判断，更适宜作为全国GDP总量关于的回归方程，利用对数的运算求解关于的回归方程即可；
（2）由（1）的结论，预估2020年的全国GDP总量即可.
21．【答案】解：（1）连．由条件得，
在三角形中，，，，
由余弦定理得，
因为与半圆相切于，所以，
所以，所以．
所以四边形的周长为，．
（2）设四边形的面积为，
则，．
所以，．
令，得
列表：
+ 0 -
增 最大值 减
则要使改建成的展示区的面积最大，的值为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由余弦定理的，再根据直线与圆相切的性质求出，从而求出即可；
（2）求得的表达式，求导，利用导数研究函数的单调性求最大值即可.
22．【答案】解：（Ⅰ）由 得
再由正弦定理得
因此 ，
又因为 ，所以 .
（Ⅱ）当 时， 的周长有最大值，且最大值为3，
理由如下：
由正弦定理得 ，
所以 ，
所以 .
因为 ，所以 ，
所以当 即 时，a+b取到最大值2，
所以 的周长有最大值，最大值为3.
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（Ⅰ）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；（Ⅱ）由正弦定理可得 ，则 ，再根据正弦函数的性质计算可得；
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