【集中培优】浙江省金华市近3年各区九年级上册期末考试压轴题集中训练卷 含解析
文档属性
| 名称 | 【集中培优】浙江省金华市近3年各区九年级上册期末考试压轴题集中训练卷 含解析 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 10.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-13 21:32:10 | ||
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文档简介
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浙江省金华市近3年各区九年级上册期末考试压轴题集中训练卷
一、选择题
1．（21-22九年级上·浙江金华·期末）在ABC中，∠B＝45°，AB＝6；①AC=4；②AC＝8；③外接圆半径为4．请在给出的3个条件中选取一个，使得BC的长唯一．可以选取的是（ ）
A．① B．② C．③ D．①或③
2．（20-21九年级下·浙江·阶段练习）如图，半径为6的分别与轴，轴交于，两点，上两个动点，，使恒成立，设的重心为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2018·山东潍坊·中考真题）已知二次函数 (为常数),当自变量的值满足时,与其对应的函数值的最大值为-1,则的值为( )
A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6
4．（20-21九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，点B1，B2，B3在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥A4B3．若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为 （ ）
A．8 B．9 C．10 D．10.5
5．（22-23九年级上·浙江金华·期末）如图①，在中，，沿折线A→B→C→A匀速运动一周，若点P的运动速度为，设点P的运动时间为，的长为，v与t的函数图象如图②所示，当恰好是的一条三等分线时，t的值为（ ）
A．或5 B．或6 C．或5 D．或6
6．（22-23九年级上·浙江金华·期末）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A，B，顶点M在矩形的边上移动．若，点B的横坐标的最大值为，则点A的横坐标最小值为（ ）
A． B． C． D．0
7．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在等腰中，，正方形的顶点都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·浙江金华·中考真题）如图，在等腰中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在与中，，，连接，．若，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
10．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，某兴趣小组将一张三角形纸片剪裁成若干个正方形纸片，依次分别是正方形，，，，（点，点在边上．点， ，在边上；点，，，在边上；边，，，都在相应边上），为正整数．若边上的高为，则为（用含的代数式表示）（ ）
A． B． C． D．
11．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，平行线，分别经过直径的两个端点，为上一点，过点作交于点，若，之间的距离为，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24九年级上·浙江金华·期末）抛物线交x轴点于，，交y轴的负半轴于点C，顶点为D．下列结论：①；②；③当m为任意实数时，；④方程的两个根为，；⑤抛物线上有两点和，若，且，则．其中正确的有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
13．（21-22九年级上·浙江金华·期末）如图，等边三角形ABC，，D为BC中点，M为AD上的动点，连接CM，将线段CM绕点C逆时针方向旋转60°得到CN，连接ND，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．6
14．（21-22九年级上·浙江金华·期末）已知两个等腰直角三角形的斜边放置在同一直线l上，且点C与点B重合，如图①所示．△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移．直到点B′移动到与点C重合时停止．设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图②所示，则△ABC的直角边长是（ ）
A．4 B．4 C．3 D．3
15．（21-22九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线（a，b，c都是常数，且）开口向上且过点，（），小明得出下列结论：①；②若和都在抛物线上，则；③；④若方程没有实数根，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
16．（22-23九年级上·浙江金华·期末）如图，矩形中，，E为的中点，将沿翻折得到，延长交于G，，垂足为H，连接、．以下结论：①； ②； ③；④，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
17．（22-23九年级上·浙江金华·期末）如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
18．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，点分别在上，连接，且满足．现将沿所在直线折叠，当点恰好落在边的点处时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
19．（21-22九年级上·浙江金华·期末）图1是一款折叠式跑步机，其侧面结构示意图如图2（忽略跑步机的厚度）．该跑步机由支杆AB（点A固定），点E在滑槽AC上滑动．已知AB＝60cm，AC＝125cm．收纳时，滑动端点E向右滑至点C，点F与点A重合；打开时，若滑动杆EF与AD夹角的正切值为2，则察看点F处的仪表盘视角为最佳．
（1）BE＝ cm；
（2）当滑动端点E与点A的距离EA＝ cm时，察看仪表盘视角最佳．
20．（21-22九年级上·浙江金华·期末）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，DE为以AB为直径的半圆的切线，切点为F，连结CF，则ED的长为 ，CF的长为 ．
21．（21-22九年级下·浙江金华·阶段练习）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成． 图2是其侧面结构示意图（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂）． 已知基座高度MN为0.5米，主臂MP长为米，主臂伸展角α的范围是：0°＜α≤60°，伸展臂伸展角β的范围是：45°≤β≤135°．当α＝45°时（如图3），伸展臂PQ恰好垂直并接触地面．
（1）伸展臂PQ长为 米；
（2）挖掘机能挖的最远处距点N的距离为 米．
22．（22-23九年级上·江苏南京·期中）如图，半圆的直径，若C、D是半圆的3等分点，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
23．（22-23九年级上·浙江金华·期末）某古村落为方便游客泊车，准备利用长方形晒谷场长一侧，规划一个停车场，已知每个停车位需确保有如长，宽的长方形供停车，如图是其中一个停车位，所有停车位都平行排列，为，则每个体车位的面积大约为 （结果保留整数），这个晒谷场按规划最多可容纳 个停车位．（）
24．（22-23九年级上·浙江金华·期末）综合实践课上，小聪把一张长方形纸片沿着虚线剪开，如图①所示，纸片较小锐角的顶点在上，较长直角边与斜边分别交边于点，且为初始位置，把沿着方向平移，当点到达点后立刻绕点逆时针旋转，如图③，直到点与点重合停止．为了探求与之间的变化关系，设，请用含的代数式表示．
（1）在平移过程中， ，
（2）在旋转过程中， ．
25．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，已知是的直径，且，点为半圆上的一个动点（不与点重合），在延长线上，作，的平分线，相交于点，则 ；在点移动的过程中，线段扫过的面积 ．
26．（23-24九年级上·浙江金华·期末）有一长杆花艺剪如图1所示，上刀片与上把手固定在长杆上，把手杆的点固定在上，大小不变，当手握两边时，绕着点旋转，带动杆，杆再带动刀片杆绕固定点旋转，且．图2是该花艺剪自然张开状态下的示意图，都与平行，测得间的距离为，当杆绕点逆时针旋转时，花艺剪完全闭合，点落在边上，如图3所示，此时，且还是与平行，则 ．
27．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在正方形中，，相交于点为上一点，于点，交于点，连结交于点．
（1）若，，则的值为 ；
（2）若，则的值为 ．
28．（21-22九年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，且AC在x轴上，O为AC的中点．若抛物线与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是 ．
29．（21-22九年级上·浙江金华·期末）综合实践课上，小慧用两张如图①所示的直角三角形纸片：∠A＝90°，AD＝2cm，AB＝3cm，斜边重合拼成四边形，接着在CB，CD上取点E，F，连AE，BF，使AE⊥BF．
（1）若拼成的四边形如图②所示，则的值为 ；
（2）若拼成的四边形如图③所示，则的值为 ．
30．（21-22九年级上·浙江金华·期末）某校航天社团模拟火星探测器的发射过程，如图，地球，火星的运行轨道抽象成以太阳O为圆心的圆，探测器从地球到火星的转移轨道则抽象成以为圆心，AC为直径的半圆．点O在AC上，点A，B分别代表探测器从地球发射时地球和火星的位置，火星沿运行，与探测器同时抵达C点，已知，火星的公转周期（绕太阳逆时针转动一周所用时间）为687天，地球与火星的轨道半径OA，OC分别为1A．U.和1.5A．U.（A．U.为天文单位）．
（1）探测器从发射到抵达火星需要 天（精确到个位）．
（2）当探测器运行到点T时，太阳爆发活动向探测器方向抛射速度为的体积巨大的“等离子体云”，此时TC恰好等于点到TC中点的距离，则最快 h后，探测器会受到“等离子体云”的干扰（短时间内探测器的运行路程可忽略不计）．
31．（2022·浙江金华·一模）图1是修正带实物图，图2是其示意图，使用时⊙B上的白色修正物随透明条（载体）传送到点O处进行修正，留下来的透明条传到⊙A收集． 即透明条的运动路径为： M→C→O→P→N．假设O，P，A，B在同一直线上，BC＝3cm，AC＝4cm，AC⊥BC，tan∠ACO＝，P为OA中点．
（1）点B到OC的距离为 cm．
（2）若⊙A的半径为1cm，当留下的透明条从点O出发，第一次传送到⊙A上某点，且点B到该点距离最小时，最多可以擦除的长度为 cm．
32．（22-23九年级上·浙江金华·期末）图1是一种折叠式晾衣架展开时的情况，图2是示意图，两个支脚和晾衣臂，张开夹角，晾衣臂支架．
（1）当时，的度数为 ．
（2）当OC从水平方向旋转到时，的面积为 ．
33．（22-23九年级上·浙江金华·期末）图1是某品牌电动单人沙发的实物图，图2是该沙发的主要功能介绍，其侧面示意图如图3．沙发通过开关控制，打开开关，靠背AB和脚托CD可分别绕点B，C旋转，在旋转过程中，．“某某”模式时，表示，如“看电视”模式时．已知沙发靠背AB长为，坐深长为，与地面水平线平行，脚托长为．现将该沙发放置于空旷的地面上，初始状态时，点D在地面上，，．脚拖正上方的点P处有一发光灯泡（点P，C，D在同一直线上，）．
（1）当沙发从初始位置调至“阅读”模式时，点D运动的路径长为 ．
（2）将沙发从初始位置调至“听音乐”模式的过程中时，沙发侧面落在地面水平线上的最大影长为 ．
34．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，，在中，，，当点分别在射线上滑动时，连结，则的最大值为 ．
35．（23-24九年级上·浙江金华·期末）定义：若x，y满足：，（k为常数）且，则称点为“好点”．
（1）若是“好点”，则 ．
（2）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“好点”，则c的取值范围为 ．
36．（21-22九年级上·浙江金华·期末）城市的许多街道是相互垂直或平行的，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．如A（﹣2，1），B（﹣1，﹣2），则d（A，B）＝|﹣2﹣（﹣1）|+|1﹣（﹣2）|＝4．
（1）函数y＝﹣2x+4的图像如图（1）所示，C是图像上一点，d（O，C）＝5，则点C的坐标是 ．
（2）某市要修建一条通往景观湖的道路（既不能破坏景观湖，也不在景观湖底钻隧道），如图（2），道路以M为起点，先沿水平MN方向到某处．再在该处拐一次直角可沿直线到湖边某点P处，如图建立平面直角坐标系xOy，圆心O（7，3），半径为，则修建道路距离d（M，P）的取值范围 ．
三、解答题
37．（21-22九年级上·浙江金华·期末）如图，已知AB是圆O直径，过圆上点C作，垂足为点D．连结OC，过点B作，交圆O于点E，连结AE，CE，，．
(1)求证：△CDO∽△AEB．
(2)求sin∠ABE的值．
(3)求CE的长．
38．（22-23九年级上·浙江金华·期末）记函数的图像为，函数的图像记为，图像和记为图像G．
(1)若点在图像G上，求m的值．
(2)已知直线l与x轴平行，且与图像G有三个交点，从左至右依次为点A，点B，点C，若，求点坐标．
(3)若当时，，求n的取值范围；
39．（21-22九年级上·浙江金华·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为P，且该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．我们规定；抛物线与x轴围成的封闭区域称为“G区域”（不包含边界），横、纵坐标都是整数的点称为整点．
(1)求抛物线的顶点P的坐标（用含a的代数式表示）；
(2)如果抛物线经过（1，3）．
①求a的值
②在①的条件下，直接写出“G区域”内整点的坐标；
(3)如果抛物线在“G区域”内有4个整点，求的取值范围，
40．（22-23九年级上·浙江金华·期末）如图1，在菱形中，，，点E从点A出发以每秒1个单位长度沿运动到点B， 然后以同样速度沿运动到点C停止．设当点E的运动时间为x秒时，长为y．下面是小聪的探究过程，请补充完整．
(1)根据三角函数值小聪想到连接交于点O（如图2），请同学们帮忙求的长．
(2)小聪学习了函数知识后，运用函数的研究经验，对y与x的变化规律进行了下列探究，根据点E在上运动到不同位置进行画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值，并画出了函数图象（如图3）：
x 0 1 2 3 4 5
y 5 4．82 4．84 5．06 5．46 6
请同学们继续探究点E在上的运动情况，在同一坐标系中补全图象，并写出这个函数的两条性质．
(3)结合图象探究发现时，x有四个不同的值．求y取何值时，x有且仅有两个不同的值．
41．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，以点为圆心，5为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B、C、D．
(1)与相似吗？为什么？
(2)如图2，弦交x轴于点P，且，求；
(3)如图3，过点D作的切线，交x轴于点Q．点G是上的动点是否变化？若不变，请求出比值，若变化，请说明理由．
42．（20-21九年级上·浙江衢州·期末）定义：若抛物线与x轴有两个交点，其顶点与这两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．
（1）已知一条抛物线是“美丽抛物线”，且与x轴的两个交点为（1，0）、（5，0），则此抛物线的顶点为 ；
（2）若抛物线y＝x2﹣bx（b＞0）是“美丽抛物线”，求b的值；
（3）如图，抛物线y＝ax2+bx+c是“美丽抛物线”，此抛物线顶点为B（1，2），与轴交与A，C，AB与y轴交于点D，连接OB，在抛物线找一点Q，使得∠QCA＝∠ABO，求Q点的横坐标．
43．（2017·浙江杭州·中考真题）在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．
（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；
（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；
（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．
44．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，已知的半径为1，，是直径，，点P在上，连接，，分别交，于点M，N．
(1)若平分，求证：．
(2)判断线段与的数量关系，并说明理由．
(3)求证：．
45．（23-24九年级上·浙江金华·期末）等腰内接于．点是劣弧的动点，连接与相交于点．
(1)如图1，若，
①求的度数；
②若 ，求的值．
(2)如图2，当刚好过圆心，且时，求的长．
46．（23-24九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数的自变量与函数值的对应值如下表：
(1)若时，求此时二次函数的表达式；
(2)当时，求的取值范围；
(3)若点是二次函数图象上的任意一点，且满足，求的最小值．
47．（2020·浙江金华·中考真题）如图，在△ABC中，AB=，∠B=45°，∠C=60°．
（1）求BC边上的高线长．
（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．
②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．
48．（21-22九年级上·浙江金华·期末）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，平行于x的直线与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，则抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的“准碗形”，线段AB称为碗宽，点M到线段AB的距离称为碗高．
(1)抛物线y＝x2对应的碗宽为 ；
(2)抛物线y＝ax2（a＞0）对应的碗宽为 ；抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a＞0）对应的碗高为 ；
(3)已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣（a＞0）对应的碗高为3．
①求碗顶M的坐标；
②如图2，将“准碗形AMB”绕点M顺时针旋转30°得到“准碗形”．过点作x轴的平行线交准碗形于点C，点P是线段上的动点，过点P作y轴的平行线交准碗形A'MB'于点Q．请直接写出线段PQ长度的最大值．
49．（21-22九年级上·浙江金华·期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝8，AB＝12，∠A＝60°，点E，G分别在边AB，AD上，且AE＝AB，AG＝AD，作EF∥AD、GH∥AB，EF与GH交于点O，分别在OF、OH上截取OP＝OG，OQ＝OE，连结PH、QFA交于点I
(1)四边形EBHO的面积 四边形GOFD的面积（填“＞”、“＝”或“＜”）；
(2)比较∠OFQ与∠OHP大小，并说明理由．
(3)求四边形OQIP的面积．
50．（21-22九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线：y＝ax2﹣6ax﹣16a（a＞0）与x轴交点为A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C，点G是AC的中点．
(1)求点A，B的坐标及抛物线的对称轴．
(2)直线y＝﹣x与抛物线交于点M、N，且MO＝NO，求抛物线解析式.
(3)已知点P是（2）中抛物线上第四象限内的动点，过点P作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．若以点C，P，E为顶点的三角形与△AOG相似，求点P的坐标．
51．（21-22九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点（点P不与点C重合）．
(1)当△ABC为直角三角形时，求△ABC的面积．
(2)如图，当APBC时，过点P作PQ⊥x轴于点Q，求BQ的长；
(3)当以点A，B，P为顶点的三角形和△ABC相似时（不包括两个三角形全等），求m的值．
52．（21-22九年级上·浙江金华·期末）某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
(1)自变量x的取值范围是______；x与y的几组对应值如表，其中m＝______．
x … 0 1 2 3 4 …
y … 5 0 m 0 1 0 …
(2)如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补画完整．
(3)结合函数图象，解决下列问题：
①解不等式：．
②若过定点的直线与函数的图象只有一个横坐标不等于2的交点，求出t的取值范围．
53．（21-22九年级上·浙江金华·期末）如图1，在矩形ABCD中，，，点E在AB边上，且．点F是BC边上的动点．将沿EF折叠得到．直线GF与直线AB的交点为H．
(1)如图2，点F与点C重合时，求与的面积比；
(2)如图3，当H在点A的上方，且满足三角形HEF是等腰三角形时，求线段EH的长．
(3)在点F的运动过程中，以E、G、H为顶点的三角形能否与以B、C、D为顶点的三角形相似？若能，求BF的长；若不存在，请说明理由．
54．（21-22九年级上·浙江金华·期末）如图1，直线与x，y轴分别相交于A、B两点．将绕点O逆时针旋转90°得到，过点A，B，D的抛物线P叫做直线l的关联抛物线，直线l叫做P的关联直线．
(1)若直线，则抛物线P表示的函数解析式为______，若抛物线，则直线l表示的函数解析式为______；
(2)如图2，若直线，G为AB中点，H为CD的中点，连接GH，取GH中点M，连接OM，已知．求直线l的关联抛物线P表示的函数解析式；
(3)若将某直线的关联抛物线向右平移个单位得到抛物线，则a、m、n应满足的关系式为______．
55．（22-23九年级上·河南鹤壁·期中）如图，在矩形中，点是边上一动点（不与点，重合），连接，过点作交边于点．随着点位置的变化，点的位置随之发生变化．
(1)在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由；
(2)若．
①当点是线段的中点时，求线段的长；
②过点作交射线于点，连接，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出线段的长．
56．（22-23九年级上·浙江金华·期末）在矩形中，点E、F分别在边、上，且，，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处，如图1．
(1)求证：；
(2)点P为线段上一动点，过点P作、，以、为邻边构造平行四边形，如图2．
①求平行四边形的周长．
②当点P从点E运动到点F时，求出点Q的运动路径长．
57．（22-23九年级上·浙江金华·期末）如图1，已知抛物线：交轴于两点，与轴交于点，抛物线：经过点，点是射线上一动点．
(1)求抛物线和直线的函数表达式．
(2)如图2，过点作交抛物线第一象限部分于点，作交于点，求面积的最大值及此时点的坐标．
(3)抛物线与在第一象限内的图象记为“图象”，过点作轴交图象于点，是否存在这样的点，使相似？若存在，求出所有符合条件的点的横坐标．
58．（22-23九年级上·浙江金华·期末）在矩形中，，动点P从A出 发，以1个单位每秒速度，沿射线方向运动，同时，动点Q从点C出发，以2个单位每秒速度，沿射线方向运动，设运动时间为t秒，连接DP，DQ．
(1)如图1，证明：．
(2)作平分线交直线于点E；
①图2，当点E与点B重合时，求t的值．
②连接，，当与相似时，求t的值．
59．（2020·浙江金华·一模）如图1，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别为AB，AD边上任意一点，现将△AEF沿直线EF对折，点A对应点为点G．
（1）如图2，当EF∥BD，且点G落在对角线BD上时，求DG的长；
（2）如图3，连接DG，当EF∥BD且△DFG是直角三角形时，求AE的值；
（3）当AE＝2AF时，FG的延长线交△BCD的边于点H，是否存在一点H，使得以E，H，G为顶点的三角形与△AEF相似，若存在，请求出AE的值；若不存在，请说明理由
60．（22-23九年级上·浙江金华·期末）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，是等腰直角三角形，点A，点B在x轴上（点A在点B的左侧），点C在y轴的正半轴上，点D在直线BC上运动，连结AD与y轴交于点E，连结BE．
(1)当点D从点C运动到点B（C，B两点除外）时，求证：．
(2)如图2，过B，D，E三点作⊙H与y轴的另一个交点为G，延长EH交⊙H于点F，连结GF，DG，BF．求的度数．
(3)在（2）的条件下，若，点D在运动过程中，中是否有一个角等于，如果存在，求出此时点E的坐标；如果不存在，请说明理由．
61．（22-23九年级上·浙江金华·期末）如图，在并联电路中，电源电压为，根据“并联电路分流不分压”的原理得到：．已知为定值电阻，当R变时，路电流也会发生变化，且干路电流与R之间满足如下关系：．
(1)【问题理解】
定值电阻的阻值为________Ω．
(2)【数学活动】
根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数来探究函数的图象与性质．
①列表：下表列出与R的几组对应值，请写出m的值：________；
R … 3 4 5 6 …
… 2 1.5 1.2 1 …
… 3 m 2.2 2 …
②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来．
(3)【数学思考】
观察图象发现：函数的图象是由的图象向________平移________个单位而得到．
(4)【数学应用】
若关于x的方程在实数范围内恰好有两个解，直接写出k的值．
62．（23-24九年级上·浙江金华·期末）根据以下素材，完成探索任务：
设计喷水器的高度
素材1 为了灌溉某花田，需要安装一台可旋转灌溉的喷水器（即喷头可顺、逆时针往返喷洒）．如图1，其中点P为原装喷头的喷水口，点N处是喷头与支架的接口，喷水口的高度可以通过连杆进行调整（点P到地面的距离最大可达2米），已知点P、N、M在同一直线上．喷水口喷出的水柱最外层的形状可近似看作是抛物线的一部分，且通过上下高度调整后，喷出的水柱形状仍与原来相同．（接头处的间隙忽略不计）
素材2 为了方便计算该喷水器的灌溉范围，如图2，在初始高度下，测得喷水口点P到水平地面的距离为1米，喷射距离为10米，并发现喷头在旋转过程中，喷出的水柱外端恰好碰到距离连杆所在直线5米处一片树叶的最低处，并测得该树叶的最低处距离水平地面2米．
素材3 为了美观，现将原来的花田改造成一块由6块全等的等边三角形与1个正六边形组成的多边形花田（如图3），已知米．
素材4 为了适应多种灌溉环境，这款喷水器除原装喷头外，还有一款“S”型号的喷头可供更换（如图4），并且．已知的边，，其中与地面平行，与地面垂直．更换喷头后，喷出的水柱形状仍与原来相同．
任务1 确定水柱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求喷出水柱最外层抛物线的函数表达式．
任务2 计算喷水口高度 若使用原装喷头的喷水器，要求通过旋转后，洒水区域能覆盖整块多边形花田，那么喷水口P至少需要升高多少米？
任务3 设计方案 园艺师计划分别在，，，，，的中点处种植一棵高为米的树．通过计算，判断种植后是否会影响任务2中的灌溉要求．若有影响，请你利用计算分析，设计出通过调节喷水器的高度、更换喷头等方式，能够达到多边形花田灌溉要求的方案．
63．（23-24九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数，记在某个范围时，函数的最小值为，最大值为，令，回答以下问题：
(1)当时，求的值．
(2)当时，求的范围．
(3)当时，求的值．
64．（23-24九年级上·浙江金华·期末）在中，，，，点E，F分别在边和上运动，且，连接 ，将沿着折叠，点D的对应点为，连结交于点O．
(1)如图1，当点在下方时，交于点P，连结．
①求证：．
②设，用含x的代数式表示的面积；
(2)如图2，当点在上方时，交于点N，请问为何值时，使得与相似？
65．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，为半圆的直径，点为半圆弧上一点，于点，在上截取，连结，，与相交于点．
(1)求证：；
(2)若，，
①求的长；
②如图2，连结，与相交于点，求的面积．
66．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图1，在中，直径，D是上的动点，过点D作交于点E，F，连接，取的中点H，连接交于点M，并延长交于点C，连接．
(1)当点D与圆心O重合时，如图2所示，求的值．
(2)在点D的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出定值：若不是，请说明理由．
(3)连接，，当是等腰三角形时，求的值．
67．（21-22九年级上·浙江金华·期末）如图1，抛物线的顶点为M，平行于x的直线与抛物线交于点A，B，若为等腰直角三角形，则抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的“准碗形”，记为“准碗形AMB” ．顶点M称为碗顶，线段AB称为碗宽，点M到线段AB的距离称为碗高．
(1)抛物线对应的碗宽为______；
(2)抛物线对应的碗宽为______，抛物线对应的碗高为______；
(3)已知抛物线对应的碗高为3．
①求碗顶M的坐标；
②如图2，将“准碗形AMB” 绕点M顺时针旋转30°得到“准碗形” ．过点作x轴的平行线交准碗形于点C，点P是线段上的动点，过点P作y轴的平行线交准碗形于点Q．请直接写出线段PQ长度的最大值．
68．（21-22九年级上·浙江金华·期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，过点A作轴，作直线AC平行x轴，点D是二次函数的图象与x轴的一个公共点（点D与点O不重合）．
(1)求点D的横坐标（用含b的代数式表示）
(2)求的最大值及取得最大值时的二次函数表达式．
(3)在（2）的条件下，如图2，P为OC的中点，在直线AC上取一点M，连接PM，作点C关于PM的对称点N，①连接AN，求AN的最小值．
②当点N落在抛物线的对称轴上，求直线MN的函数表达式．
69．（21-22九年级上·浙江金华·期末）如图1，在矩形中，，，点在边上，．点是直线上的动点．将沿折叠得到将．直线与直线的交点为点．
(1)若点落在边上（如图），连结，请判断的形状并说明理由；
(2)若点与点重合（如图），求点到直线的距离；
(3)在点的运动过程中，是否存在某一时刻，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
70．（2014·重庆·中考真题）已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=，AE⊥BD，垂足是E，点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF
（1）求AE和BE的长；
（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）.当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值；
（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q.是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．
71．（21-22九年级上·浙江金华·期末）如图1，已知AB为半圆O的直径，AB＝2，线段AI⊥AB，延长AB至点G，使BG＝AB，以点B为圆心，线段AG为直径作半圆B，点D是半圆B上一点，过点D作DF⊥AI于点F，连结AD，BD，其中AD交半圆O于点E．连接EF．
(1)求证：AE＝DE．
(2)设，，求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围．
(3)如图2，以BG为直径作半圆，BD交半圆O或半圆于点J，连结FB交AD于点K，连结KJ，当点K将线段FB分为2：3两部分时，求DFK与BJK的面积之差．
72．（22-23九年级上·广西南宁·期中）如图，抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点为抛物线的对称轴上一动点，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)在第二象限的抛物线上，是否存在一点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
73．（22-23九年级上·浙江金华·期末）如图1，在矩形中，，，动点P从点A出发，沿边以每秒2个单位的速度向点B运动，同时，动点Q从点B出发，沿匀速向终点D运动，点P、Q同时到达终点，与交于点E．过点B作于点F．设点P、Q的运动时间为t秒．
(1)求点Q的运动速度．
(2)如图2，当点Q与点C重合时，求的长．
(3)在点P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得以B、E、F为顶点的三角形与相似？若存在，求运动时间t的值；若不存在，请说明理由．
74．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图在中，，点在边上，以为圆心，为半径的圆分别交于点，连结．
(1)求证：．
(2)当时，求：
①；
②的值．
参考答案
1．B
【分析】作AD⊥BC于D，求出AD的长，根据直线和圆的位置关系判断即可．
【详解】解：作AD⊥BC于D，
∵∠B＝45°，AB＝6；
∴，
设三角形ABC1的外接圆为O，连接OA、OC1，
∵∠B＝45°，
∴∠O＝90°，
∵外接圆半径为4，
∴；
∵
∴以点A为圆心，AC为半径画圆，如图所示，当AC=4时，圆A与射线BD没有交点；
当AC=8时，圆A与射线BD只有一个交点；当AC= 时，圆A与射线BD有两个交点；
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和射线与圆的交点，解题关键是求出AC长和点A到BC的距离．
2．B
【分析】连接AG并延长，交BC于点F，由△ABC的重心为G，可知F为BC的中点，再由垂径定理可知OF⊥BC，从而可求得OF的长；在AO上取点E，使AE=AO，连接GE，可判定△AGE∽△AFO，由相似三角形的性质列出比例式，求得GE的长，进而可得点E的坐标，利用勾股定理求出DE的长，根据G在以E为圆心，为半径的圆上运动，可知DG的最小值为DE的长减去，计算即可．
【详解】解：连接并延长，交于点，
的重心为，
为的中点，
，
，
，
，
，
的重心为，
，
在上取点，使，连接，
，，
，
，
．
在以为圆心，2为半径的圆上运动，
，，
，
的最小值是，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的重心、30°角所对的直角边等于斜边的一边、相似三角形的判定与性质、勾股定理在计算中的应用及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
3．B
【分析】分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况考虑：
当h＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；
当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；
当h＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．
【详解】解：如图，
当h＜2时，有-（2-h）2=-1，
解得：h1=1，h2=3（舍去）；
当2≤h≤5时，y=-（x-h）2的最大值为0，不符合题意；
当h＞5时，有-（5-h）2=-1，
解得：h3=4（舍去），h4=6．
综上所述：h的值为1或6．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况求出h值是解题的关键．
4．D
【分析】由题意得，，设A1B1，A2B2之间的距离为h，则由题意可得，再由可得，，从而得到问题的解答．
【详解】∵A1B1∥A2B2
∴∠A1A2B1=∠A2A3B2
∵A2B1∥A3B2
∴∠A1A2B1=∠A2A3B2
∴ △A1A2B1∽△A2A3B2（AA）
同理可证△A2A3B2∽△A3A4B3，△A2B1B2∽△A3B2B3
∵△A2B1B2∽△A3B2B3，，
∴，
又∵△A1A2B1∽△A2A3B2
∴
设之间的距离为h，则：，
∴
又∵
∴
∴，
∵，△A1A2B1∽△A2A3B2
∴
∴，
同理有，
∴图中三个阴影三角形面积之和为：
，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形相似的综合应用，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解题关键．
5．B
【分析】本题是动点问题的函数图象，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，根据图②可知，，再根据是的三等分线，可以证明，求出的长，即可求出答案．
【详解】解：如图①,,是的三等分线，
根据图②可知，
，
，
，
，
同理 ，
，
，
，
，
解得：或 (负值舍去),
，，
∴当恰好是的一条三等分线时，的值为或.
故选:.
6．C
【分析】根据图象可分析出点横坐标最大值，根据此时顶点的坐标，进而可知点横坐标的最大值，当运动到点时，点横坐标有最小值，进而可求出结果．
【详解】解：当运动到点上的时候，的横坐标的最大值为，此时B点坐标为，此时点坐标为，
，，
故此时点坐标为：，
当点运动到点时，的横坐标最小，
此时的坐标为：，
∴点坐标为
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象，二次函数的顶点，二次函数与坐标轴的交点，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
7．C
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键在找到圆心，依据的知识点是直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半，即斜边的中点为圆心，用字母表示多条边，然后找它们的关系是中考经常考的类型，平时要多加练习此类题型．
先设的三边长为，其中为斜边，设的半径为，根据图形找出的关系，用含的式子表示和，即可求出比值．
【详解】解：如图，取的中点为的中点为，连接，
设，
则，①
取的中点为，
∵是直角三角形，
∴，
∵圆心在和的垂直平分线上，
∴为圆心，
由勾股定理得：
，②
由①②得，
∴，
故选：C．
8．C
【分析】先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点，然后利用全等三角形的判定和性质确定△ABC是等腰直角三角形，再根据直角三角形斜边中线的性质得到，再由勾股定理解得，解得，据此解题即可．
【详解】解：如图所示，正方形的顶点都在同一个圆上，
圆心在线段的中垂线的交点上，即在斜边的中点，且AC=MC，BC=CG，
∴AG=AC+CG=AC+BC，BM=BC+CM=BC+AC，
∴AG=BM，
又∵OG=OM，OA=OB，
∴△AOG≌△BOM，
∴∠CAB=∠CBA，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形斜边的中线的性质、圆的面积、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
9．A
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法．证明，得出，，证明，得出，设，，求出，得出即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴设，，
∴，
∴，
故选：A．
10．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，能根据所给图形一次表示出正方形的边长并发现规律是解题的关键；
利用相似三角形的性质依次求出，， ，的长度，发现规律即可解决问题．
【详解】将一张三角形纸片剪裁成若干个正方形纸片，
四边形是正方形，
，
，，
，
令正方形的边长为，
则，
解得：，
同理可得
，
令正方形的边长为，
则，
解得：，
以此类推，
，
，
，
，
即为
故选：B
11．C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理．掌握相关的知识是解题的关键．
过点作于点，的延长线交于点，如图，利用平行线的性质得到，则，再利用平行线分线段成比例定理计算出，则，于是利用勾股定理可计算出，接着根据圆周角定理得到，然后证明∽，利用相似比可计算出，最后利用勾股定理可计算出的长．
【详解】解：过点作于点，的延长线交于点，如图，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
在中，，
为直径，
，
，，
，
∵，
∽，
∴，即，
解得，
在中，．
故选：C．
12．B
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据所给函数图象，得出抛物线的对称轴为直线，则可得出a与b之间的关系，再将代入函数解析式可得出b与c之间的关系，最后利用数形结合的思想及二次函数与一元二次方程之间的关系即可解决问题．
【详解】解：因为抛物线经过点，，
所以抛物线的对称轴为直线，
则，即．故①正确．
将代入函数解析式得，，
又因为，
所以，
即．故②错误．
因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
所以当时，函数取得最小值，
所以当时总有，，
即．故③错误．
由题知，方程的两个解为．
方程可转化为，
所以1或3，
则．故④正确．
因为，
所以点P在直线左侧，点Q在直线右侧，
又因为，
则．
因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
所以．故⑤正确．
故选：B．
13．C
【分析】根据点M的运动轨迹确定点N的运动轨迹，利用将军饮马河原理计算即可．
【详解】如图，当点M与A重合时，点N与点B重合，当点M与D重合时，点N与点P重合，
∴点N在线段BP上运动，
∵△PDC是等边三角形，点D是等边三角形ABC边BC的中点，
∴BD=DC=PD=PC，∠BCP=60°，
∴∠CBP=30°，∠BPC=90°，
作点D关于直线BP的对称点E，连接CE，与BP的交点就是DN+CN最小的位置，且最小值为EC，
连接BE，ED，
∴∠CBP=∠EBP=30°，△BDE是等边三角形，∠CBE=60°，
∴BD=DC=DE，
∴∠BEC=90°，∠BCE=30°，
∵BC=6，
∴BE=3，CE=，
∴DN+CN最小值为，
故选C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，将军饮马河原理，直角三角形的判定，熟练掌握直角三角形的判定和将军饮马河原理是解题的关键．
14．C
【分析】由当与AB重合时，即，此时走过的距离为m，重叠部分面积达到最大值，为的面积，结合题意即可求出m的值．再根据，当与AC重合时，此时．此时走过的距离为m+4，由此可求出的长，从而可求出BC的长，进而即可求出结果．
【详解】如图，当与AB重合时，即点到达B点，此时．此时走过的距离为m，即为的长．且此时重叠部分面积达到最大值，为的面积，大小为1．
∵为等腰直角三角形
∴，
∴，
∴．
如图，当与AC重合时，即点到达C点，此时．此时重叠部分面积即将变小，且走过的距离为m+4．
∴此时．
∴，即．
∵为等腰直角三角形，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查图形的平移，等腰直角三角形的性质，勾股定理，函数的图象．解题的关键是通过函数图象得到平移过程中重合部分的形状．
15．B
【分析】根据抛物线的开口以及对称轴即可判断①③，根据抛物线上的点离对称轴的距离越远，其函数值越大，即可判断②，将方程转化为无实根，根据一元二次方程根的判别式即可求解．
【详解】解：∵抛物线（a，b，c都是常数，且）开口向上且过点，（），
∴对称轴为直线，，
又对称轴为，
故①不正确，
②对称轴为直线，，
，
和都在抛物线上，又抛物线开口向上，离抛物线越远的点的函数值越大，
故②正确，
对称轴为直线，，
，
，
，
由抛物线过点，则，
，
，
故③正确，
抛物线（a，b，c都是常数，且）开口向上且过点，（），
设抛物线的解析式为，
若方程没有实数根，
即无实根，
，
即．故④正确，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，一元二次方程根的判别式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
16．D
【分析】根据矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理依次对各个选项进行判断、计算，即可得出答案．
【详解】解：①∵，E为的中点，
∴，
∵将沿翻折得到，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故①正确；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
③过点E作于点M，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
∴，
故③正确；
④，
故④正确；
综上共有4个正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理、三角函数等知识，本题综合性较强，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
17．A
【分析】先证明，即可得点E在以为直径的半圆上移动，设的中点为O，作正方形关于直线对称的正方形，则点D的对应点是F，连接交于P，交半圆O于E，根据对称性有：，则有：，则线段的长即为的长度最小值，问题随之得解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点E在以为直径的半圆上移动，
如图，设的中点为O，
作正方形关于直线对称的正方形，
则点D的对应点是F，
连接交于P，交半圆O于E，
根据对称性有：，
则有：，
则线段的长即为的长度最小值，E
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故的长度最小值为，
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线，得出点E的运动路线是解题的关键．
18．B
【分析】本题考查求线段长，涉及勾股定理、折叠性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，先利用勾股定理求出的斜边长，再由折叠性质求出角度关系及长，最后由相似三角形的判定与性质得到，代值求解即可得到答案，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
【详解】解：连接，如图所示：
在中，，则，且，
，
，
将沿所在直线折叠，当点恰好落在边的点处时，则，，，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，即，解得，
故选：B．
19． 65
【分析】（1）根据收纳时，滑动端点E向右滑至点C，点F与点A重合；可得AB＝FB，EF＝AC，利用已知数据计算即可；
（2）过点B作BM⊥AC，垂足为M，解直角三角形即可．
【详解】解：（1）∵收纳时，滑动端点E向右滑至点C，点F与点A重合，
∴AB＝FB＝60cm，EF＝AC＝125cm，
∴BE＝EF- FB＝65cm，
故答案为：65；
（2）过点B作BM⊥AC，垂足为M，
∵察看仪表盘视角最佳，
∴，
∴，即
解得， cm； cm；
cm；
EA＝ cm；
故答案为：
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是恰当构建直角三角形，准确解直角三角形．
20． 5 /
【分析】先证明BE、AD也是半圆的切线，即可根据切线长定理得到EB=EF、DA=DF，再在△DCE中即可求出DE的值；过F作FG⊥DC于G，根据相似求出FG、CG的长，最后根据勾股定理即可求出CF的值．
【详解】∵正方形ABCD
∴CD=AD=BC=4，CE⊥AB，DA⊥AB
∵以AB为直径的半圆
∴BE、AD也是半圆的切线
∵DE为以AB为直径的半圆的切线，
∴EB=EF、DA=DF=4
∴EC=BC-BE=4-EF，DE=DF+EF=4+EF
在Rt△DCE中，
∴
解得
∴DE=DF+EF=4+EF=5
过F作FG⊥DC于G，如图
∴
∴
∴
解得
∴
∴在Rt△CFG中，
故答案为：5，
【点睛】本题考查切割线定理、相似三角形的性质与判定，解题的关键是能看出有多条切线．
21． 3.5
【分析】（1）过M作MH⊥PQ于H，根据等腰直角三角形的性质解答即可；
（2）当∠QPM=135°时，作QH⊥MP于H点，根据直角三角形的性质求出QH和PH的长，然后在中根据勾股定理求QM长，最后在中，根据勾股定理求出QN，即可解决问题．
【小题1】解：如图，过M作MH⊥PQ于H，
∵ =45°，
∴△PHM为等腰直角三角形，
∴（米），
∴（米），
故答案是：3.5；
【小题2】解：如图，当∠QPM=135°时，作QH⊥MP于H点，
∴，
∴（米），
∴（米），
在中，
∴（米），
在中，
（米），
故答案是：．
【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理的应用，解题的关键是理解当伸展臂的伸展角达到最大角135°时QM为定长，再构造直角三角形．
22．/
【分析】连接，由知，从而可得，根据C、D是半圆的3等分点且知，利用扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
则，
∵C、D是半圆的3等分点，且，
∴，
则
故答案为：
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是将阴影部分的面积转化为扇形的面积．
23． 17 19
【分析】根据锐角三角函数可得，，再根据平行四边形的面积公式可得每个体车位的面积；然后过点C作交延长线于点G，可得，从而得到，进而得到第一个停车位所占的宽度，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，，
∴，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴每个体车位的面积大约为；
如图，过点C作交延长线于点G，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴第一个停车位所占的宽度为，
∴这个晒谷场按规划最多可容纳停车位个．
故答案为：17；19
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，平行四边形的性质，准确构造直角三角形是解题的关键．
24．
【分析】（1）推出，由相似三角形的性质即可求解；
（2）证明，推出，作交于点，在中，由勾股定理求得，据此即可求解．
【详解】解：（）根据题意知，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（）根据题意知，
又∵，
∴，
∴，
∴，
作交于点，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，即，
∴；
故答案为：；．
【点睛】本题考查了考查矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
25．
【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，角平分线的定义，三角形的外角性质，勾股定理，扇形的面积等知识，设，，构建方程组求出 ；取的中点，以为圆心， 为半径作，是直径，则点在上运动，则扫过的面积扇形的面积的面积，利用扇形面积公式和三角形面积公式计算即可求解；解题的关键是找到点的运动轨迹．
【详解】解：∵的平分线相交于点，
∴可以假设，，
则有，，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴；
取的中点，以为圆心，为半径作，是直径，则点在上运动，
∵，，，
∴，
则扫过的面积扇形的面积的面积，
，
；
故答案为：，．
26．/
【分析】本题考查三角函数解实际问题，涉及三角函数定义、勾股定理等知识，读懂题意，作出平面示意图，利用三角函数定义表示出线段长，进而结合杆两端点移动的距离始终相等列等式，化简求值即可得到答案，熟练掌握三角函数定义是解决问题的关键．
【详解】解：根据题意，作出平面图形，如图所示：
，
由题意可知，，
在中，，
，
，
在中，，
图2时，间的距离为，
，
由题意可知，
，即，
，
在中，，则，由勾股定理可得，
，
故答案为：．
27． /0.75
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
（1）利用正方形的性质可证得，再利用锐角三角函数的定义式计算即可；
（2）作，交于，可证得，从而，不妨设，，可求得，，在中求得，从而，可证得，利用对应边成比例求解即可．
【详解】解：（1）四边形是正方形，
，，，，
，
，
，
∴，
∵，
∴，
，，
，
，，
∴，
故答案为：；
（2）如图，作，交于，
∴，
∴，
不妨设，，
由（1）知：，
∴，
∴，
在中，，，
，
∴，
，
∴，
，
∴，
∴，
故答案为：．
28．3≤a＜4或a≤-5
【分析】先确定A，B的坐标，确定直线AB的解析式，联立两个函数解析式构造一元二次方程，其判别式大于零，分a＜0和a＞0，两种情形计算即可．
【详解】∵，，且AC在x轴上，O为AC的中点，
∴A（-1，0），B（1，2），∠BAC=45°，
∴直线AB与y轴的交点为（0，1），
设直线AB的解析式为y=kx+1，
∴-k+1=0，
解得k=1，
∴直线AB的解析式为y=x+1，
∵抛物线与线段AB有两个不同的交点，
∴x+1=有两个不相等实数根，
∴有两个不相等实数根，
∴，
解得a＜4；
当a＞0时，，
∴a≥3，
∴3≤a＜4，
当a＜0时，，
∴a≤-5，
∴3≤a＜4或a≤-5，
故答案为：3≤a＜4或a≤-5．
【点睛】本题考查了待定系数法确定一次函数的解析式，一元二次方程根的判别式，抛物线与一次函数的综合，不等式组的解法，熟练根的判别式和不等式组的解法是解题的关键．
29．
【分析】（1）由题意易证，从而可证明，即得出；
（2）连接AC、BD，且交于点H，设AE、BD交于点G．由题意可知A点和C点关于BD对称，即得出，．根据勾股定理可求出BD的长，再根据等积法可求出AH的长，从而可求出AC的长．由，，得出．由，，，得出，即证明，从而得出，即求出的值．
【详解】（1）∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）如图，连接AC、BD，且交于点H，设AE、BD交于点G．
由题意四边形ABCD是由两个完全一样的三角形拼成，即A点和C点关于BD对称，
∴，．
∵在中，，
∴．
∵，
∴，即
解得：，
∴．
∵，，
∴．
∵，，，
∴，
即在和中， ，
∴，
∴．
故答案为：，．
【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，较难．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解答本题的关键．
30． 260
【分析】（1）设探测器从发射到抵达火星需要天，根据探测器从发射到抵达火星需要的时间＝火星沿运行的时间，列出方程，求解即可；
（2）连接、、，过点作的垂线交于点，取的中点，连接，根据，算出，即可求得，由已知条件可知，根据等腰三角形三线合一的性质得到，设，则，，求出的值，再根据，求出的值，根据勾股定理分别求出、的值，再根据“时间=路程÷速度”即可求解．
【详解】解：（1）设探测器从发射到抵达火星需要天
∵探测器从发射到抵达火星需要的时间＝火星沿运行的时间
∴。，解得：
∴探测器从发射到抵达火星需要260天
（2）连接、、，过点作的垂线交于点，取的中点，连接，如图所示
∵
∴
∴ A.U.
∵
∴ A.U.
∵此时TC恰好等于点到TC中点的距离
∴
∵点是的中点，
∴（三线合一）
设，则，
∴ A.U.
∴ A.U.
∴ A.U.， A.U.
∵
∴ A.U.
∴ A.U.
∴ A.U.
∴ A.U.
∵短时间内探测器的运行路程可忽略不计
∴h
∴最快 h后，探测器会受到“等离子体云”的干扰
故答案为：260；．
【点睛】本题是一道和圆相关的综合题，考查了一元一次方程的应用、圆的一些基础知识点、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理、同一个三角形的面积不变性等知识点，正确作出辅助线，找到对应关系是解答本题的关键．
31．
【分析】（1）过点B作BH⊥OC交OC的延长线于点H，利用同角的余角相等证明∠CBH＝∠ACO，tan∠CBH＝tan∠ACO＝，在Rt △BCH中，设CH＝x，则BH＝3x，BC＝3cm，利用勾股定理求出x 即可得到点B到OC的距离；
（2）过点A作AG⊥OC交OC于点G，利用（1）中的方法求出AG，再证明△AGO∽△BHO，得，在Rt △ABC中，利用勾股定理得AB，得到OA的长，进而求得OP、AP，连接AN，设线段OB与⊙A的交点为D，则当留下的透明条从点O出发，第一次传送到⊙A上D点时，点B到D点距离最小，最多可以擦除的长度为PO＋PN＋的长，用勾股定理求出PN，利用弧长公式求出的长，即可得解．
【详解】解：（1）如图1，过点B作BH⊥OC交OC的延长线于点H，
∵BH⊥OC
∴∠BHC＝90°，
∴∠BCH＋∠CBH＝90°
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°
∴∠ACO＋∠BCH＝90°
∴∠CBH＝∠ACO
∴tan∠CBH＝tan∠ACO＝
∴
在Rt △BCH中，设CH＝x，则BH＝3x，BC＝3cm，
∴
解得x＝cm
∴BH＝3x＝cm
即点B到OC的距离为cm
故答案为：；
（2）如图2，过点A作AG⊥OC交OC于点G， 则∠AGO＝∠AGC＝90°，
∵tan∠ACO＝，
∴
在Rt △ACG中，设AG＝n，则CG＝3n，AC＝4cm，
∴
解得n＝cm
∴AG＝cm，
∵∠AGO＝∠BHC＝90°，∠O＝∠O
∴△AGO∽△BHO
∴
∴
在Rt △ABC中，AB＝cm，
∴OA＝4cm，
∵ P为OA中点
∴OP＝AP＝OA＝2cm
如图3，连接AN，则AN＝1cm，设线段OB与⊙A的交点为D，则当留下的透明条从点O出发，第一次传送到⊙A上D点时，点B到D点距离最小，最多可以擦除的长度为PO＋PN＋的长，
由题意知PN是⊙A的切线
∴AN⊥PN
∴∠ANP＝90°
∴PN＝cm
∵sin∠APN＝
∴∠APN＝30°
∵∠NAD＝∠APN＋∠ANP＝120°，AN＝AD＝1cm，
∴的长＝（cm），
∴ 最多可以擦除的长度为PO＋PN＋的长＝（2＋）cm．
故答案为：（2＋）
【点睛】本题考查了勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、切线的性质、弧长公式等知识，得到最多可以擦除的长度为PO＋PN＋的长是解题的关键．
32．
【分析】（1）在直角三角形中，利用正弦函数定义得到，再根据特殊角的三角函数值即可求解；
（2）过作于，先证明是等边三角形得到，由旋转性质和勾股定理求得，再求得，根据含的直角三角形的性质求得，过F作于K，根据含的直角三角形的性质和勾股定理分别求得，，进而有，然后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）如图2，过作于，则，
∵，，
∴是等边三角形，则，
∵OC从水平方向旋转到，
∴，，，
在中，，，
∴，
∵,
∴，
∴，
过F作于K，
在中，，，
∴，则，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形、旋转的性质、勾股定理、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、等角的余角相等等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键
33．
【分析】（1）先求出，进而求出，再根据弧长公式求解即可；
（2）如图所示．连接并延长交水平线于E，连接并延长交水平线于G，延长交于M，过点M作于N，过点作于H，过点B作于Q，连接，同理求出，由旋转的性质可得，即可证明是等边三角形，得到，求出，即可得到，；证明，得到，求出；求出，则，；再证明， 四边形是矩形，得到，，求出，由此求出的长即可得到答案．
【详解】解：（1）由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴点D运动的路径长为，
故答案为：；
（2）如图所示．连接并延长交水平线于E，连接并延长交水平线于G，延长交于M，过点M作于N，过点作于H，过点B作于Q，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
由旋转的性质可得，
∴是等边三角形，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
同理可证，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，旋转的性质，求弧长，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
34．
【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，定边对定角确定点的运动路径，以及对角互补模型是解题的关键，难度较大．
在的下方作等腰直角，，作于，勾股定理得，点在以点为圆心，为半径的圆上，当点、、共线时，最大，再求出的长即可．
【详解】在中，由勾股定理得：．
如图所示，在下方作等腰直角，过点作于点，
则点在以点为圆，为半径的圆上．
又，
∴点四点共圆．
∴．
∴．
在中，由勾股定理得，，
即，
解得：．
在中，由勾股定理得：
当点共线时，最大，则的最大值为．
故答案为．
35．
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标的特征以及新定义问题，正确理解新定义是解决本题的关键．
（1）根据好点”定义可得：，进而计算求解m即可；
（2）由已知可得：，进而求出直线的解析式，所以抛物线 与直线的交点就是好点，再计算即可．
【详解】解：（1）由好点”定义可得：，
∴，
整理得：，
∴或5，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直线上的点都是好点，
当时，．当时，，
如图，直线解析式为，，
抛物线与直线的交点就是好点，
当抛物线过点A时，，
解得：，
当抛物线与有且只有一个交点时，
有，
整理得：，
∴，
解得：，
∴c的取值范围为： ．
故答案为：．
36． （3，﹣2）或（﹣，） （8≤d（O，P）≤10+
【分析】（1）由两点间距离：d（A，C）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|及点C是函数y＝﹣2x+4的图像上的一点，可得出方程组，解方程组即可求出点C的坐标；
（2）以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y＝﹣x的图像沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处，可由d（O，P）≥d（O，E）证明结论即可．
【详解】解：（1）设C（x，y），由定义两点间的距离可得：|0﹣x|+|0﹣y|＝5，
∴|x|+|y|＝5，
∴
解得：或，
∴点C的坐标为（3，﹣2）或；
故答案为：（3，﹣2）或．
（2）如图，将函数y＝﹣x的图像沿x轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，
设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处．
理由：设过点E的直线EF与x轴相交于点F．在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过点P作直线PG∥EF，PG与x轴相交于点G．
∵∠EFH＝45°，
∴EH＝HF，d（O，E）＝OH+EH＝OF，
同理d（O，P）＝OG，
∵OG≥OF，
∴d（O，P）≥d（O，E），
∴d（O，E）最短，
如图，过点PB⊥x轴于点B，当直线PB与圆相切时，d（O，P）取得最大，如图所示，
此时OP∥x轴，且OP＝
，
∴P（7+，3），
∴d（O，P）＝10+；
过点P作x轴的垂线，过点E作x轴的平行线，
∴∠OEA＝45°，
∵OE＝OP＝，
∴EA＝OA＝1，EB＝PB＝2，
∴E（6，2），P（8，4），
∴d（O，E）＝8，
∴8≤d（O，P）≤10+．
故答案为：8≤d（O，P）≤10+．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，理解新定义，并能用新定义求值，利用数形结合思想解决问题是解题的关键
37．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由题意和垂径定理可得∠AEB=∠ODC=90°，再由得到∠BOC=∠ABE即可证明结论；
（2）先根据题意求得OA、OB、OC OD、CD、AC的长，然后根据正弦的定义求得sin∠BOC，然后再根据∠BOC=∠ABE即可解答；
（3）连接OE并延长交圆O于点F，然后连接FC、AC、BC,即EF=AB=6，然后根据平行线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质证得△ADC∽△ECF，最后运用相似三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：∵AB是圆O直径
∴∠AEB=90°
∵
∴∠ODC=90°
∴∠AEB=∠ODC=90°
∵
∴∠BOC=∠ABE
∴．
（2）解：∵
∴OA=OB=OC=3
∵，
∴OD=OB-BD=3-1=2,AD=AB-BD=5
∴CD=，
∴sin∠BOC=
∵∠BOC=∠ABE
∴= sin∠BOC=．
（3）解：连接EO并延长交圆O于点F，然后连接FC、AC、BC，即EF=AB=6
∴∠ECF=90°,∠CAB=∠CEB
∴∠ADC=∠ECF=90°，
∴，
∵
∴∠OCE=∠CEB
∴∠CAB =∠OCE
∵OE=OC
∴∠OEC =∠OCE
∴∠CAB =∠OEC
∴△ADC∽△ECF
∴ ,即，解得：EC=．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解答本题的关键．
38．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将代入求解；
（2）由可得抛物线的对称轴，由可得点或的横坐标，进而求解；
（3）将代入得，将化为顶点式可得图像顶点坐标，将代入，结合图像求解．
【详解】（1）将代入得：
．
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∵，
∴抛物线的对称轴为轴，开口向下，
将代入得，
将代入得，
如图，
∵，
∴点横坐标为，
将代入得，
将代入得：
解得：（舍），，
∴点坐标为．
（3）∵，
∴图像顶点坐标为，
将代入得，
将代入得：
解得，，
∴时，．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，解题的关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过数形结合的方法求解．
39．(1)
(2)①；②（0，1），（0，2），（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）
(3)或
【分析】（1）利用配方法将抛物线的解析式变形为顶点式，由此即可得出顶点P的坐标；
（2）将点（1，3）代入抛物线解析式中，即可求出a值，再分析当x=0、1、2时，在“G区域”内整数点的坐标，由此即可得出结论；
（3）分a<0及a>0两种情况考虑，依照题意画出图形，结合图形找出关于a的不等式组，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴顶点的坐标为；
（2）解：①∵抛物线经过，
∴，解得；
②由①得：，
令得，，
解得，，
∴点，点．
当时，，
∴，两个整点在“G区域”；
当时，，
∴，两个整点在“G区域”；
当时，，
∴，两个整点在“G区域”；
（3）解：当时，，
∴抛物线与轴的交点坐标为．
当时，如图1所示，
此时有，解得；
当时，如图2所示，
此时有，解得；
综上，如果“G区域”内仅有4个整点时，则的取值范围为或．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式组，解题的关键是：（1）利用配方法将抛物线解析式变形为顶点式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，寻找“G区域”内整数点的个数；（3）依照题意，画出图形，观察图形找出关于a的一元一次不等式组．
40．(1)；
(2)补全图见解析，这个函数关于直线对称；这个函数的最大值为6；
(3)当或时，x有且仅有两个不同的值．
【分析】（1）根据菱形的性质求得，在中，利用正弦函数即可求解；
（2）根据，知点E在上的运动情况，与点E在上的运动情况对称，据此可补全图象，根据图象可写出其性质；
（3）观察图象知当或y取最小值时，x有且仅有两个不同的值，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形菱形，
∴，即，
在中，，，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形菱形，
∴，
∴点E在上的运动情况，与点E在上的运动情况对称，
在同一坐标系中补全图象如图，
这个函数的两条性质：
①这个函数关于直线对称；
②这个函数的最大值为6；
（3）解：观察图象，当时，x有且仅有两个不同的值；
当y取最小值时，x也有且仅有两个不同的值，此时，或，
在中，，，
∴，
∴；
综上，当或时，x有且仅有两个不同的值
【点睛】此题考查了菱形的性质、三角函数、动点函数的图象，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
41．(1)相似，理由见解析
(2)
(3)的值不变，
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角得，根据即可得；
（2）连接，，，根据点M的坐标为得，根据5为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B、C、D得，根据得，在中，根据勾股定理得，，根据和是的圆周角得，根据和是的圆周角得，即可得，则，计算得，在中，根据勾股定理得，，则，根据，即可得；
（3）连接，根据为切线得，可得，根据得，则，即，计算得，当G点与A点重合时，；当G点与B点重合时，；当G点不与A、B重合时，根据得，则，即，而，可得，根据得，可得，即可得．
【详解】（1），理由如下：
解：如图1所示，
∵和是的圆周角，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图所示，连接，，，
∵点M的坐标为，
∴，
∵5为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B、C、D，
∴，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∵和是的圆周角，
∴，
∵和是的圆周角，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图3所示，连接，
∵为切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
当G点与A点重合时，；
当G点与B点重合时，；
当G点不与A、B重合时，
∵，
∴，
∴，
即，
而，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上所述，的值不变．
【点晴】本题考查了圆的综合题，掌握圆周角定理，切线得性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线是解题的关键．
42．（1）（3，2）或（3，-2）（2）；（3）或
【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为，然后根据“美丽抛物线的”定义求出顶点坐标，然后求解即可；
（2）先求出抛物线与x轴的两个交点，顶点坐标，然后根据“美丽抛物线的”定义求解即可.
（3）过点B作BE⊥AC于E，过点O作OM⊥AB于M，先求出A（-1，0），C（3，0），然后求出抛物线解析式，然后求出，即可得到，即，
设Q（m，），则，然后解方程求解即可得到答案.
【详解】解：（1）∵抛物线与x轴的两个交点为（1，0）、（5，0），
∴抛物线的对称轴为，
∴由“美丽抛物线的”定义可知，抛物的顶点到x轴的距离
∴抛物线顶点的坐标为（3，2）或（3，-2），
（2）∵抛物线的解析式为，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（b，0），抛物线的顶点坐标为（，）
∴由“美丽抛物线的”定义可知
∴解得；
∵，
∴；
（3）如图，过点B作BE⊥AC于E，过点O作OM⊥AB于M，
由题意得△ABC为等腰直角三角形，AB=BC，∠ABC=90°，
∴AE=CE=BE，
∵B（1，2），
∴AE=CE=BE=2，OE=1，
∴AO=1，OC=3，
∴A（-1，0），C（3，0）
∴抛物线解析式为，
把B（1，2）代入抛物线解析式得，
解得,
∴抛物线解析式为
∵，，
，
∴，
∴
∴，
∴，
设Q（m，），
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
解得（舍去）或或，
∴Q点的横坐标为或.
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的解析式，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
43．（1）函数y1的表达式y=x2﹣x﹣2（2）a２=b或b=-a2﹣a（3）x0的取值范围0【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得答案
（3）根据二次函数的性质，可得答案．
【详解】（1）函数y1的图象经过点（1，﹣2），得
（a+1）（﹣a）=﹣2，
解得a=﹣2，a=1，
函数y1的表达式y=（x﹣2）（x+2﹣1），化简，得y=x2﹣x﹣2；
函数y1的表达式y=（x+1）（x﹣2）化简，得y=x2﹣x﹣2，
综上所述：函数y1的表达式y=x2﹣x﹣2；
（2）当y=0时（x+a）（x﹣a﹣1）=0，解得x1=-a，x2=a+1，
y1的图象与x轴的交点是（-a，0）（a+1，0），
当y2=ax+b经过（-a，0）时，﹣a２+b=0，即a２=b；
当y2=ax+b经过（a+1，0）时，（a+1）a+b=0，即b=-a2﹣a；
（3）（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，且二次函数开口向上，由图像可知
由m＜n，得0【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的对称性及与x轴的交点问题.
44．(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据平分，是直径，得出，则，进而得出，根据三角形的内角和定理得出，即可求证；
（2）连接，易得是等边三角形，则，，通过证明，即可得出结论；
（3）先证明，得出，则，再证明，得出，则，结合，即可求证．
【详解】（1）证明：∵平分，是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）证明：∵的半径为1，
∴，
由（2）知，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线．
45．(1)①；②
(2)
【分析】（1）①利用圆周角定理，三角形内角和定理即可得到各个角之间的关系，再由等腰三角形性质即可得到答案；
②由①中的结论得到，设，利用三角形相似的判定与性质，代入，即可求解；
（2）延长至点，使，设，则，根据勾股定理得到，利用圆周角定理，得到，由，求出，在中，应用勾股定理，求出，进而表示出，在中，根据勾股定理列出等量关系式，求出的值，即可求解．
【详解】（1）解：①，
，
在和中，，则，
，
，
，
在等腰中，，则，
；
②由（1）可知，
，
设，
由（1）中可知，
，即，解得，
，
同理由（1）可知，
，即，解得，
；
（2）解：延长至点，使，连接，
，
设，则，
刚好过圆心，
，
在中，，
，，，
，
，即：，解得：，
在中，，
，
在中，，即：，解得：，
，
故答案为：的长为．
【点睛】本题考查圆综合，涉及圆周角定理、三角形内角和定理、等腰三角形性质、三角形相似的判定与性质、勾股定理、解方程等知识，熟练掌握圆的性质，灵活运用三角形相似的判定与性质是解决问题的关键．
46．(1)
(2)且
(3)
【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的对称性，掌握二次函数的图象关于对称轴对称是解题的关键．
（1）根据待定系数法即可求得；
（2）将代入可得再分别将和代入求出、，计算即可；
（3）由已知可知：，计算并配方可得结果．
【详解】（1）解：根据表格数据可知抛物线的顶点坐标为，
设二次函数的表达式为，
把，代入，得，
解得：，
二次函数的表达式为：；
（2）把代入得：，
解得：．
当时，，则，
当时，，则，
，
，
，
的取值范围为：且；
（3）点是二次函数图象上的任意一点，且满足，
，
，
当时，的最小值为，
在范围内，
的最小值为．
47．（1）4;（2）①90°；②
【分析】（1）如图1中，过点A作AD⊥BC于D．解直角三角形求出AD即可．
（2）①证明BE=EP，可得∠EPB=∠B=45°解决问题．
②如图3中，由（1）可知：AC=，证明△AEF∽△ACB，推出，由此求出AF即可解决问题．
【详解】解：（1）如图1，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，==4.
（2）①如图2，∵△AEF≌△PEF，
∴AE＝EP.
又∵AE＝BE ，
∴BE＝EP，
∴∠EPB＝∠B＝45°，
∴∠AEP＝90°.
②如图3，由（1）可知：在Rt△ADC中，.
∵PF⊥AC，
∴∠PFA＝90°.
∵△AEF≌△PEF，
∴∠AFE＝∠PFE＝45°，则∠AFE＝∠B.
又∵∠EAF＝∠CAB，
∴△EAF∽△CAB，
∴＝，即＝，
∴AF＝,
在Rt△AFP中，AF＝PF，则AP＝＝.
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，翻折变换，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
48．(1)4
(2)，
(3)（2，-3），
【分析】（1）根据碗宽的定义以及等腰直角三角形的性质可以假设B（m，m），代入抛物线的解析式，求出A、B两点坐标即可解决问题．
（2）利用（1）中方法可求碗宽，根据等腰直角三角形可知碗高是碗宽的一半．
（3）①由碗高为3求出a，再求顶点坐标即可；②作QS⊥BP于S，找到PQ和QS的关系后即可解决问题．
【详解】（1）解：根据碗宽的定义以及等腰直角三角形的性质可以假设B（m，m）．
把B（m，m）代入y＝x2，得，解得，m＝2或0（舍去），
∴A（﹣2，2），B（2，2），
∴AB＝4，即碗宽为4；
故答案为：4．
（2）解：类似（1）设B（n，n）,代入y＝a x2，得，解得，n＝或0（舍去），AB＝，即碗宽为；
抛物线y＝a（x﹣2）2+3是由抛物线y＝ax2平移得到的，所以，它们的碗宽一样为，根据等腰直角三角形的性质，可知可知碗高是碗宽的一半，即；
故答案为：，．
（3）解：①抛物线y＝ax2﹣4ax﹣（a＞0）对应的碗高为3．由（2）可知，
解得，，抛物线解析式为，化成顶点式为；
则M的坐标为（2，-3）；
②如图，作QS⊥BP于S，由旋转可知∠PBO=30°，因为过点P作y轴的平行线交准碗形A'MB'于点Q，
∴PQ⊥OB，
∴∠QPB=60°，∠PQS=30°，
∴PQ=2PS，，
当QS等于碗高时，QS最大，此时PQ长度的最大，
由（2）可知QS最大为3，则，；
PQ长度的最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和直角三角形的性质，解题关键是准确理解题意，熟练运用二次函数的性质和直角三角形的性质求解．
49．(1)=
(2)∠OFQ=∠OHP，理由见解答
(3)
【分析】(1)根据已知可知四边形EBHO和四边形GOFD都是平行四边形，然后求出它们的面积即可判断；
(2)利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明△OFQ∽△OHP，即可解答；
(3)利用相似三角形的性质求出△OFQ与△OHP的面积比，再证明△FPI∽△HQI，求出它们的面积比，最后求出△OFQ的面积进行计算即可解答．
【详解】（1）解：过点D作DM⊥GH，垂足为M，过点O作ON⊥AB，垂足为N，
∵AD=8，AB=12，AE＝AB，AG＝AD，
∴AE=3，AG=2，
∴GD=AD-AG=6，EB=AB-AE=9，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∵EF∥AD、GH∥AB，
∴EF∥AD∥BC，GH∥AB∥CD，
∴四边形GOFD是平行四边形，四边形OEBH是平行四边形，四边形AGOE是平行四边形，
∴AE=GO=3，EB=OH=9，GD=FO=6，AG=OE=2，
∵EF∥AD、GH∥AB，∠A＝60°
∴∠A=∠DGO=60°，∠A=∠OEB=60°，
∴△DGM和△OEN均为30°、60°、90°直角三角形，
∴，，
∴四边形EBHO面积，
四边形GOFD面积，
∴四边形EBHO面积等于四边形GOFD面积．
故答案是：＝；
（2）解：∠OFQ=∠OHP，理由如下：
∵OP=OG=3，OQ=OE=2，OF=6，OH=9，
∴，，
∴，
∵∠FOQ=∠POH，
∴△OFQ∽△OHP，
∴∠OFQ=∠OHP；
（3）解：设四边形OQIP的面积为x，△FPI的面积为y，△HQI的面积为z，
∵△OFQ∽△OHP，OQ=2，OP=3，
∴，即得到，
∴，
∵∠FIP=∠HIQ，∠OFQ=∠OHP，
∴△FPI∽△HQI，
∴，即得到，
∴，
过点Q作QK⊥OF，垂足为K，如下图：
∵∠KOQ=60°，
∴QK=OQ=，
∴△OFQ的面积，即，
∴，
由②得到：，再代入①中得到：，
∴再代入③中，，
解得，
∴四边形OQIP的面积为．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质及面积公式，相似三角形的性质及判定，本题属于四边形的综合题，难度较大，熟练掌握各图形的性质并添加适当的辅助线是解题的关键．
50．(1)，，对称轴x＝3．
(2)
(3)P点坐标为或．
【分析】（1）将解析式变形为，即可求解．
（2）联立方程组，整理得，，得到，再由，可知，即可求得的值，进而确定函数解析式．
（3）先判断是等腰三角形，再求出，可分两种情况讨论：设，则，①当时，；②当PC=CE时，；再由边的关系，列出方程式求解即可．
【详解】（1）
令y=0，则，
解得x=-2，x=8
，
，
∴对称轴为直线x=3．
（2）联立方程组
，
整理得，，
∴，
∵，
∴M点与N点关于原点对称，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）由可知，
设直线BC的解析式为，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，，
∵点G是AC的中点，
∴，
∴AG=，GO=，
∴是等腰三角形，
∵OA=2，OC=4，
∴，
∵OB=8，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
①当时，，
∴，
∴，
解得，，
∵P点在第四象限，
∴，
∴；
②当PC=CE时，，
∴
解得t=4，
∴．
综上所述，P点坐标为或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
51．(1)4
(2)2
(3)或
【分析】（1）先求出A、B、C三点的坐标，进而表示出AB、BC、AC的长，然后根据勾股定理求得m，确定C的坐标，最后运用三角形的面积公式解答即可；
（2）先用待定系数法求得BC所在直线直线的解析式，进而求得直线AP的解析式，然后与抛物线的解析式联立即可解答；
（3）先说明∠ABC=45°，然后分三种情况解答即可．
【详解】（1）解：由抛物线开口向上，则m＞0
令x=0，则y=-2，即C点坐标为（0，-2），OC=2
令y=0，则，解得x=-2或x=m，即点A（-2，0），点B（m，0）
∴OA=2,OB=m
∴AB=m+2
由勾股定理可得AC2=(-2-0)2+[0-（-2）]2=8, BC2=(m-0)2+[0-（-2）]2=m2+4
∵当为直角三角形时，仅有∠ACB=90°
∴AB2= AC2+BC2，即(m+2)2=8+m2+4，解得m=2
∴AB=m+2=4
∴的面积为：·AB·OC=×4×2=4．
（2）解：设BC所在直线的解析式为：y=kx+b
则 ，解得
∴BC所在直线的解析式为y=x-2
设直线AP的解析式为y=x+c
则有：0=×（-2）+c，即c=
∴线AP的解析式为y=x+
联立 解得x=-2（A点横坐标）,x=m+2（P点横坐标）
∴点P的纵坐标为：
∴点P的坐标为（m+2，）
∴OQ=m+2
∴BQ=OQ-OB= m+2-m=2．
（3）解：∵点P为抛物线上一动点（点P不与点C重合）．
∴设P（x，）
∵在△ABC中，∠BAC=45°
∴当以点A，B，P为顶点的三角形和相似时，有三种情况：
①（ⅰ）若△ABC∽△BAP
∴
又∵BP=AC
∴△ABC∽△BAP不符合题意；
（ⅰⅰ）若△ABP∽△CAB，
∴
过P作PQ⊥x轴于点Q，则∠PQB=90°
∴∠BPQ=90°-∠PBQ=45°
∴PQ=BQ=m-x
由于PQ=
∴
∴
∴x-m=0或
∴x=m（舍去），x=-m-2
∴BQ=m-（-m-2）=2m+2
∵
∴
∴m2-4m-4=0，解得：m=或m=（舍去）
∴m=；
②当∠PAB=∠BAC=45°时，分两种情况讨论：
（ⅰ）若△ABP∽△ABC,则 ,点C与点P重合，不合题意；
（ⅰⅰ）若△ABP∽△ACB,则 ,
过P作PQ⊥x轴于点Q，则∠PQA=90°
∴∠APQ=90°-∠PAB=45°
∴PQ=AQ=x+2
由于PQ=
∴
∴
∴x+2=0或
∴x=-2（舍去），x=2m
∴AQ= 2m+2
∵
∴
∴m2-4m-4=0，解得：m=（舍去）或m=
∴m=；
③当∠APB=∠BAC=45°时，分两种情况讨论：
ⅰ）过点A作PM//BC交抛物线于点M，则∠MAB=∠ABC，
∵∠MAB≠∠PAB，
∴∠PAB≠∠ABC，
∴△PAB与△BAC不相似；
ⅱ） 取点C关于x轴的对称点，连接并延长 交抛物线于点N，则∠NBA=∠CBA，
∵∠PBA≠∠NBA，
∴∠PBA≠∠CBA，
∴△PAB与△BAC不相似；
综上，m的值为m=或m=．
【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及抛物线与坐标轴的交点、勾股定理、三角形面积公式、运用待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
52．(1)任意实数；
(2)图象见解析
(3)①或或；②或或
【分析】（1）根据函数中可以取任意实数，可得自变量的取值范围；将，代入中，即可求得的值；
（2）先将（1）中的点坐标在平面直角坐标系中标出，再用曲线连接起来即可；
（3）①解出当和时，的取值，结合函数图象即可求解；②将、分别代入，解得的值，并求得直线与只有1个交点的情况，结合已知条件和函数图象，即可求出的取值范围．
【详解】（1）解：∵函数中可以取任意实数
∴自变量的取值范围是：任意实数
将，代入中，可得：，解得：
（2）解：先将（1）中的点坐标在平面直角坐标系中标出，再用曲线连接起来即可．
（3）解：①由（2）中图象可得：当时，，，
当时，
令，，解得：，
当时，
令，，解得：，
由函数图象分析可得：当时
或或
②∵直线过定点，
将代入，解得：
将代入，解得：
当
即
解得
∵过定点的直线与函数的图象只有一个横坐标不等于2的交点
∴或或
【点睛】本题考查了自变量的取值范围、二次函数图象的性质、一次函数图象的性质、解一元二次方程等知识点，借助函数图象，利用数形结合的方法是解答本题的关键．
53．(1)
(2)4
(3)存在，BF=或
【分析】（1）根据∠GHE=∠BHC，∠EGH=∠CBH，得证△HEG∽△HCB，根据面积之比等于相似比的平方，得到，结合EG=BE=AB-AE=2，计算即可．
（2）根据题意，EF=EH，根据折叠性质，等腰三角形三线合一性质，得FB=FG=GH，得到∠BHF=30°，结合EG=BE=AB-AE=2，计算即可．
（3）根据题意，当H在上方时，先计算BD，利用△HEG∽△BCD计算GH，再利用△HFB∽△BDC计算即可；当H在下方时，先计算BD，利用△HEG∽△BCD计算HE，BH，再利用△HFB∽△BDC计算即可．
【详解】（1）如图，
∵∠GHE=∠BHC，∠EGH=∠CBH，
∴△HEG∽△HCB，根据面积之比等于相似比的平方，
∴，
∵EG=BE=AB-AE=2，
∴．
．
（2）根据题意，EF=EH，
根据折叠性质，等腰三角形三线合一性质，得
FB=FG=GH，
∴∠BHF=30°，
∵EG=BE=AB-AE=2，
∴EH=4．
（3）∵ BC=5，DC=3，四边形ABCD是矩形，
∴BD==．
根据题意，得到CH⊥BD时，△HEG∽△BCD，
∴ ，
∴ ，
解得．
∵△HEG∽△HFB，
∴△HFB∽△BDC，
∴ ，
∴ ，
解得．
当H在下方时，
∵ BC=5，DC=3，四边形ABCD是矩形，
∴BD==．
根据题意，得到CH⊥BD时，△HEG∽△BCD，
∴ ，
∴ ，
解得,
∴．
∵△HEG∽△HFB，
∴△HFB∽△BDC，
∴ ，
∴ ，
解得．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定性质是解题的关键．
54．(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据，得到A（1，0），B（0，2），根据旋转的全等性质，得到OD=0B=2，从而得到D（-2，0），设抛物线解析式为y=a(x-1)(x+2)，把B的坐标代入解析式，确定a值即可；根据，得到，解得，
从而确定A（1，0），D（-4，0），根据旋转性质，得到OB=OD=4，继而得到B（0，4），设直线的解析式为y=kx+4，把点A的坐标代入计算得k值即可．
（2）根据，得到A（4，0），B（0，-4t），根据旋转的全等性质，得到OD=OB=|-4t|= -4t，从而得到D（4t，0），利用中点坐标公式G（2，-2t），H（2t，2），M（t+1，1-t），根据勾股定理，得到，求得t值，继而计算解析式即可．
（3）将向左平移个单位得到关联抛物线，确定交点A，D，B的坐标，设出关联抛物线的解析式，计算a值即可．
【详解】（1）解：∵，
当x=0时，y=2，
当y=0时，x=1，
∴A（1，0），B（0，2），
根据旋转的全等性质，得到OD=0B=2，
∴D（-2，0）．
设抛物线解析式为y=a(x-1)(x+2)，把B的坐标代入解析式，
得2=-2a，
解得a=-1，
∴；
∵，
∴，解得，
∴A（1，0），D（-4，0），
根据旋转性质，得到OB=OD=4，
∴B（0，4）．
设直线的解析式为y=kx+4，
把点A的坐标代入，得k+4=0，
解得k=-4，
∴y=-4x+4，
故答案为：；．
（2）解：∵，
∴A（4，0），B（0，-4t），
根据旋转的全等性质，得到OD=OB=|-4t|= -4t，
∴D（4t，0），
∵G为AB中点，H为CD的中点，连接GH，取GH中点M，
∴G（2，-2t），H（2t，2），M（t+1，1-t），
根据勾股定理，得到，
解得t=-2，t=2（舍去），
故t=-2，
∴A（4，0），B（0，8），D（-8，0），
设抛物线解析式为y=a(x-4)(x+8)，把B的坐标代入解析式，
得8=-32a，
解得a=，
∴．
（3）解：∵某直线的关联抛物线向右平移个单位得到抛物线，
∴将向左平移个单位得到关联抛物线，
∴，
∵＞0，
∴m＜0，
∴点A（m+n，0），D（2m，0），B（0，-2m），
解得a(m+n)=-1，
故答案为：a(m+n)=-1．
【点睛】本题考查了抛物线的解析式，一次函数的解析式即待定系数法，抛物线的平移，旋转的性质，中点坐标公式，熟练掌握待定系数法，中点坐标公式，抛物线平移的规律是解题的关键．
55．(1)见解析
(2)①的长为或；②
【分析】（1）根据，得出，通过得出即可证明；
（2）时间要到了白天通过题号做
【详解】（1）解：在点的运动过程中，与始终保持相似关系，理由如下：
在和中，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：①，
，
当点是线段的中点时，则，
设，则，
由（1）得，
，
即，
解得：，
故的长为或；
②1或。
【点睛】本题考查了相似三角形，解题的关键是通过相似三角形建立等式求解．
56．(1)见解析；
(2)①；②点Q的运动路径长为．
【分析】（1）证明即可解决问题；
（2）①如图，连接，作于，则四边形是矩形，利用面积法证明，利用勾股定理求出即可解决问题；
②过点作交于，延长交于，延长交于，连接，通过相似三角形的性质证明点的运动轨迹为平行于点的线段，为中边上的高的垂足，为中边上的高的垂足，再利用相似三角形的性质列出比例式即可求得结果．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由翻折可知：，
∴，
∴．
（2）①如图，连接，作于，则四边形是矩形，．
∵，，
∴，，
在中，∵，，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形的周长．
②过点作交于，延长交于，延长交于，连接，
又∵，，是平行四边形
易知，，，
由（1）知，，
∵，∴，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，即：
∴，即：，
∴
∴，
即：点的运动轨迹为平行于点的线段，为中边上的高的垂足，为中边上的高
浙江省金华市近3年各区九年级上册期末考试压轴题集中训练卷
一、选择题
1．（21-22九年级上·浙江金华·期末）在ABC中，∠B＝45°，AB＝6；①AC=4；②AC＝8；③外接圆半径为4．请在给出的3个条件中选取一个，使得BC的长唯一．可以选取的是（ ）
A．① B．② C．③ D．①或③
2．（20-21九年级下·浙江·阶段练习）如图，半径为6的分别与轴，轴交于，两点，上两个动点，，使恒成立，设的重心为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2018·山东潍坊·中考真题）已知二次函数 (为常数),当自变量的值满足时,与其对应的函数值的最大值为-1,则的值为( )
A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6
4．（20-21九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，点B1，B2，B3在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥A4B3．若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为 （ ）
A．8 B．9 C．10 D．10.5
5．（22-23九年级上·浙江金华·期末）如图①，在中，，沿折线A→B→C→A匀速运动一周，若点P的运动速度为，设点P的运动时间为，的长为，v与t的函数图象如图②所示，当恰好是的一条三等分线时，t的值为（ ）
A．或5 B．或6 C．或5 D．或6
6．（22-23九年级上·浙江金华·期末）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A，B，顶点M在矩形的边上移动．若，点B的横坐标的最大值为，则点A的横坐标最小值为（ ）
A． B． C． D．0
7．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在等腰中，，正方形的顶点都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·浙江金华·中考真题）如图，在等腰中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在与中，，，连接，．若，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
10．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，某兴趣小组将一张三角形纸片剪裁成若干个正方形纸片，依次分别是正方形，，，，（点，点在边上．点， ，在边上；点，，，在边上；边，，，都在相应边上），为正整数．若边上的高为，则为（用含的代数式表示）（ ）
A． B． C． D．
11．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，平行线，分别经过直径的两个端点，为上一点，过点作交于点，若，之间的距离为，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24九年级上·浙江金华·期末）抛物线交x轴点于，，交y轴的负半轴于点C，顶点为D．下列结论：①；②；③当m为任意实数时，；④方程的两个根为，；⑤抛物线上有两点和，若，且，则．其中正确的有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
13．（21-22九年级上·浙江金华·期末）如图，等边三角形ABC，，D为BC中点，M为AD上的动点，连接CM，将线段CM绕点C逆时针方向旋转60°得到CN，连接ND，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．6
14．（21-22九年级上·浙江金华·期末）已知两个等腰直角三角形的斜边放置在同一直线l上，且点C与点B重合，如图①所示．△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移．直到点B′移动到与点C重合时停止．设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图②所示，则△ABC的直角边长是（ ）
A．4 B．4 C．3 D．3
15．（21-22九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线（a，b，c都是常数，且）开口向上且过点，（），小明得出下列结论：①；②若和都在抛物线上，则；③；④若方程没有实数根，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
16．（22-23九年级上·浙江金华·期末）如图，矩形中，，E为的中点，将沿翻折得到，延长交于G，，垂足为H，连接、．以下结论：①； ②； ③；④，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
17．（22-23九年级上·浙江金华·期末）如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
18．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，点分别在上，连接，且满足．现将沿所在直线折叠，当点恰好落在边的点处时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
19．（21-22九年级上·浙江金华·期末）图1是一款折叠式跑步机，其侧面结构示意图如图2（忽略跑步机的厚度）．该跑步机由支杆AB（点A固定），点E在滑槽AC上滑动．已知AB＝60cm，AC＝125cm．收纳时，滑动端点E向右滑至点C，点F与点A重合；打开时，若滑动杆EF与AD夹角的正切值为2，则察看点F处的仪表盘视角为最佳．
（1）BE＝ cm；
（2）当滑动端点E与点A的距离EA＝ cm时，察看仪表盘视角最佳．
20．（21-22九年级上·浙江金华·期末）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，DE为以AB为直径的半圆的切线，切点为F，连结CF，则ED的长为 ，CF的长为 ．
21．（21-22九年级下·浙江金华·阶段练习）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成． 图2是其侧面结构示意图（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂）． 已知基座高度MN为0.5米，主臂MP长为米，主臂伸展角α的范围是：0°＜α≤60°，伸展臂伸展角β的范围是：45°≤β≤135°．当α＝45°时（如图3），伸展臂PQ恰好垂直并接触地面．
（1）伸展臂PQ长为 米；
（2）挖掘机能挖的最远处距点N的距离为 米．
22．（22-23九年级上·江苏南京·期中）如图，半圆的直径，若C、D是半圆的3等分点，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
23．（22-23九年级上·浙江金华·期末）某古村落为方便游客泊车，准备利用长方形晒谷场长一侧，规划一个停车场，已知每个停车位需确保有如长，宽的长方形供停车，如图是其中一个停车位，所有停车位都平行排列，为，则每个体车位的面积大约为 （结果保留整数），这个晒谷场按规划最多可容纳 个停车位．（）
24．（22-23九年级上·浙江金华·期末）综合实践课上，小聪把一张长方形纸片沿着虚线剪开，如图①所示，纸片较小锐角的顶点在上，较长直角边与斜边分别交边于点，且为初始位置，把沿着方向平移，当点到达点后立刻绕点逆时针旋转，如图③，直到点与点重合停止．为了探求与之间的变化关系，设，请用含的代数式表示．
（1）在平移过程中， ，
（2）在旋转过程中， ．
25．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，已知是的直径，且，点为半圆上的一个动点（不与点重合），在延长线上，作，的平分线，相交于点，则 ；在点移动的过程中，线段扫过的面积 ．
26．（23-24九年级上·浙江金华·期末）有一长杆花艺剪如图1所示，上刀片与上把手固定在长杆上，把手杆的点固定在上，大小不变，当手握两边时，绕着点旋转，带动杆，杆再带动刀片杆绕固定点旋转，且．图2是该花艺剪自然张开状态下的示意图，都与平行，测得间的距离为，当杆绕点逆时针旋转时，花艺剪完全闭合，点落在边上，如图3所示，此时，且还是与平行，则 ．
27．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在正方形中，，相交于点为上一点，于点，交于点，连结交于点．
（1）若，，则的值为 ；
（2）若，则的值为 ．
28．（21-22九年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，且AC在x轴上，O为AC的中点．若抛物线与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是 ．
29．（21-22九年级上·浙江金华·期末）综合实践课上，小慧用两张如图①所示的直角三角形纸片：∠A＝90°，AD＝2cm，AB＝3cm，斜边重合拼成四边形，接着在CB，CD上取点E，F，连AE，BF，使AE⊥BF．
（1）若拼成的四边形如图②所示，则的值为 ；
（2）若拼成的四边形如图③所示，则的值为 ．
30．（21-22九年级上·浙江金华·期末）某校航天社团模拟火星探测器的发射过程，如图，地球，火星的运行轨道抽象成以太阳O为圆心的圆，探测器从地球到火星的转移轨道则抽象成以为圆心，AC为直径的半圆．点O在AC上，点A，B分别代表探测器从地球发射时地球和火星的位置，火星沿运行，与探测器同时抵达C点，已知，火星的公转周期（绕太阳逆时针转动一周所用时间）为687天，地球与火星的轨道半径OA，OC分别为1A．U.和1.5A．U.（A．U.为天文单位）．
（1）探测器从发射到抵达火星需要 天（精确到个位）．
（2）当探测器运行到点T时，太阳爆发活动向探测器方向抛射速度为的体积巨大的“等离子体云”，此时TC恰好等于点到TC中点的距离，则最快 h后，探测器会受到“等离子体云”的干扰（短时间内探测器的运行路程可忽略不计）．
31．（2022·浙江金华·一模）图1是修正带实物图，图2是其示意图，使用时⊙B上的白色修正物随透明条（载体）传送到点O处进行修正，留下来的透明条传到⊙A收集． 即透明条的运动路径为： M→C→O→P→N．假设O，P，A，B在同一直线上，BC＝3cm，AC＝4cm，AC⊥BC，tan∠ACO＝，P为OA中点．
（1）点B到OC的距离为 cm．
（2）若⊙A的半径为1cm，当留下的透明条从点O出发，第一次传送到⊙A上某点，且点B到该点距离最小时，最多可以擦除的长度为 cm．
32．（22-23九年级上·浙江金华·期末）图1是一种折叠式晾衣架展开时的情况，图2是示意图，两个支脚和晾衣臂，张开夹角，晾衣臂支架．
（1）当时，的度数为 ．
（2）当OC从水平方向旋转到时，的面积为 ．
33．（22-23九年级上·浙江金华·期末）图1是某品牌电动单人沙发的实物图，图2是该沙发的主要功能介绍，其侧面示意图如图3．沙发通过开关控制，打开开关，靠背AB和脚托CD可分别绕点B，C旋转，在旋转过程中，．“某某”模式时，表示，如“看电视”模式时．已知沙发靠背AB长为，坐深长为，与地面水平线平行，脚托长为．现将该沙发放置于空旷的地面上，初始状态时，点D在地面上，，．脚拖正上方的点P处有一发光灯泡（点P，C，D在同一直线上，）．
（1）当沙发从初始位置调至“阅读”模式时，点D运动的路径长为 ．
（2）将沙发从初始位置调至“听音乐”模式的过程中时，沙发侧面落在地面水平线上的最大影长为 ．
34．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，，在中，，，当点分别在射线上滑动时，连结，则的最大值为 ．
35．（23-24九年级上·浙江金华·期末）定义：若x，y满足：，（k为常数）且，则称点为“好点”．
（1）若是“好点”，则 ．
（2）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“好点”，则c的取值范围为 ．
36．（21-22九年级上·浙江金华·期末）城市的许多街道是相互垂直或平行的，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．如A（﹣2，1），B（﹣1，﹣2），则d（A，B）＝|﹣2﹣（﹣1）|+|1﹣（﹣2）|＝4．
（1）函数y＝﹣2x+4的图像如图（1）所示，C是图像上一点，d（O，C）＝5，则点C的坐标是 ．
（2）某市要修建一条通往景观湖的道路（既不能破坏景观湖，也不在景观湖底钻隧道），如图（2），道路以M为起点，先沿水平MN方向到某处．再在该处拐一次直角可沿直线到湖边某点P处，如图建立平面直角坐标系xOy，圆心O（7，3），半径为，则修建道路距离d（M，P）的取值范围 ．
三、解答题
37．（21-22九年级上·浙江金华·期末）如图，已知AB是圆O直径，过圆上点C作，垂足为点D．连结OC，过点B作，交圆O于点E，连结AE，CE，，．
(1)求证：△CDO∽△AEB．
(2)求sin∠ABE的值．
(3)求CE的长．
38．（22-23九年级上·浙江金华·期末）记函数的图像为，函数的图像记为，图像和记为图像G．
(1)若点在图像G上，求m的值．
(2)已知直线l与x轴平行，且与图像G有三个交点，从左至右依次为点A，点B，点C，若，求点坐标．
(3)若当时，，求n的取值范围；
39．（21-22九年级上·浙江金华·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为P，且该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．我们规定；抛物线与x轴围成的封闭区域称为“G区域”（不包含边界），横、纵坐标都是整数的点称为整点．
(1)求抛物线的顶点P的坐标（用含a的代数式表示）；
(2)如果抛物线经过（1，3）．
①求a的值
②在①的条件下，直接写出“G区域”内整点的坐标；
(3)如果抛物线在“G区域”内有4个整点，求的取值范围，
40．（22-23九年级上·浙江金华·期末）如图1，在菱形中，，，点E从点A出发以每秒1个单位长度沿运动到点B， 然后以同样速度沿运动到点C停止．设当点E的运动时间为x秒时，长为y．下面是小聪的探究过程，请补充完整．
(1)根据三角函数值小聪想到连接交于点O（如图2），请同学们帮忙求的长．
(2)小聪学习了函数知识后，运用函数的研究经验，对y与x的变化规律进行了下列探究，根据点E在上运动到不同位置进行画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值，并画出了函数图象（如图3）：
x 0 1 2 3 4 5
y 5 4．82 4．84 5．06 5．46 6
请同学们继续探究点E在上的运动情况，在同一坐标系中补全图象，并写出这个函数的两条性质．
(3)结合图象探究发现时，x有四个不同的值．求y取何值时，x有且仅有两个不同的值．
41．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，以点为圆心，5为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B、C、D．
(1)与相似吗？为什么？
(2)如图2，弦交x轴于点P，且，求；
(3)如图3，过点D作的切线，交x轴于点Q．点G是上的动点是否变化？若不变，请求出比值，若变化，请说明理由．
42．（20-21九年级上·浙江衢州·期末）定义：若抛物线与x轴有两个交点，其顶点与这两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．
（1）已知一条抛物线是“美丽抛物线”，且与x轴的两个交点为（1，0）、（5，0），则此抛物线的顶点为 ；
（2）若抛物线y＝x2﹣bx（b＞0）是“美丽抛物线”，求b的值；
（3）如图，抛物线y＝ax2+bx+c是“美丽抛物线”，此抛物线顶点为B（1，2），与轴交与A，C，AB与y轴交于点D，连接OB，在抛物线找一点Q，使得∠QCA＝∠ABO，求Q点的横坐标．
43．（2017·浙江杭州·中考真题）在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．
（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；
（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；
（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．
44．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，已知的半径为1，，是直径，，点P在上，连接，，分别交，于点M，N．
(1)若平分，求证：．
(2)判断线段与的数量关系，并说明理由．
(3)求证：．
45．（23-24九年级上·浙江金华·期末）等腰内接于．点是劣弧的动点，连接与相交于点．
(1)如图1，若，
①求的度数；
②若 ，求的值．
(2)如图2，当刚好过圆心，且时，求的长．
46．（23-24九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数的自变量与函数值的对应值如下表：
(1)若时，求此时二次函数的表达式；
(2)当时，求的取值范围；
(3)若点是二次函数图象上的任意一点，且满足，求的最小值．
47．（2020·浙江金华·中考真题）如图，在△ABC中，AB=，∠B=45°，∠C=60°．
（1）求BC边上的高线长．
（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．
②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．
48．（21-22九年级上·浙江金华·期末）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，平行于x的直线与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，则抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的“准碗形”，线段AB称为碗宽，点M到线段AB的距离称为碗高．
(1)抛物线y＝x2对应的碗宽为 ；
(2)抛物线y＝ax2（a＞0）对应的碗宽为 ；抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a＞0）对应的碗高为 ；
(3)已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣（a＞0）对应的碗高为3．
①求碗顶M的坐标；
②如图2，将“准碗形AMB”绕点M顺时针旋转30°得到“准碗形”．过点作x轴的平行线交准碗形于点C，点P是线段上的动点，过点P作y轴的平行线交准碗形A'MB'于点Q．请直接写出线段PQ长度的最大值．
49．（21-22九年级上·浙江金华·期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝8，AB＝12，∠A＝60°，点E，G分别在边AB，AD上，且AE＝AB，AG＝AD，作EF∥AD、GH∥AB，EF与GH交于点O，分别在OF、OH上截取OP＝OG，OQ＝OE，连结PH、QFA交于点I
(1)四边形EBHO的面积 四边形GOFD的面积（填“＞”、“＝”或“＜”）；
(2)比较∠OFQ与∠OHP大小，并说明理由．
(3)求四边形OQIP的面积．
50．（21-22九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线：y＝ax2﹣6ax﹣16a（a＞0）与x轴交点为A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C，点G是AC的中点．
(1)求点A，B的坐标及抛物线的对称轴．
(2)直线y＝﹣x与抛物线交于点M、N，且MO＝NO，求抛物线解析式.
(3)已知点P是（2）中抛物线上第四象限内的动点，过点P作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．若以点C，P，E为顶点的三角形与△AOG相似，求点P的坐标．
51．（21-22九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点（点P不与点C重合）．
(1)当△ABC为直角三角形时，求△ABC的面积．
(2)如图，当APBC时，过点P作PQ⊥x轴于点Q，求BQ的长；
(3)当以点A，B，P为顶点的三角形和△ABC相似时（不包括两个三角形全等），求m的值．
52．（21-22九年级上·浙江金华·期末）某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
(1)自变量x的取值范围是______；x与y的几组对应值如表，其中m＝______．
x … 0 1 2 3 4 …
y … 5 0 m 0 1 0 …
(2)如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补画完整．
(3)结合函数图象，解决下列问题：
①解不等式：．
②若过定点的直线与函数的图象只有一个横坐标不等于2的交点，求出t的取值范围．
53．（21-22九年级上·浙江金华·期末）如图1，在矩形ABCD中，，，点E在AB边上，且．点F是BC边上的动点．将沿EF折叠得到．直线GF与直线AB的交点为H．
(1)如图2，点F与点C重合时，求与的面积比；
(2)如图3，当H在点A的上方，且满足三角形HEF是等腰三角形时，求线段EH的长．
(3)在点F的运动过程中，以E、G、H为顶点的三角形能否与以B、C、D为顶点的三角形相似？若能，求BF的长；若不存在，请说明理由．
54．（21-22九年级上·浙江金华·期末）如图1，直线与x，y轴分别相交于A、B两点．将绕点O逆时针旋转90°得到，过点A，B，D的抛物线P叫做直线l的关联抛物线，直线l叫做P的关联直线．
(1)若直线，则抛物线P表示的函数解析式为______，若抛物线，则直线l表示的函数解析式为______；
(2)如图2，若直线，G为AB中点，H为CD的中点，连接GH，取GH中点M，连接OM，已知．求直线l的关联抛物线P表示的函数解析式；
(3)若将某直线的关联抛物线向右平移个单位得到抛物线，则a、m、n应满足的关系式为______．
55．（22-23九年级上·河南鹤壁·期中）如图，在矩形中，点是边上一动点（不与点，重合），连接，过点作交边于点．随着点位置的变化，点的位置随之发生变化．
(1)在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由；
(2)若．
①当点是线段的中点时，求线段的长；
②过点作交射线于点，连接，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出线段的长．
56．（22-23九年级上·浙江金华·期末）在矩形中，点E、F分别在边、上，且，，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处，如图1．
(1)求证：；
(2)点P为线段上一动点，过点P作、，以、为邻边构造平行四边形，如图2．
①求平行四边形的周长．
②当点P从点E运动到点F时，求出点Q的运动路径长．
57．（22-23九年级上·浙江金华·期末）如图1，已知抛物线：交轴于两点，与轴交于点，抛物线：经过点，点是射线上一动点．
(1)求抛物线和直线的函数表达式．
(2)如图2，过点作交抛物线第一象限部分于点，作交于点，求面积的最大值及此时点的坐标．
(3)抛物线与在第一象限内的图象记为“图象”，过点作轴交图象于点，是否存在这样的点，使相似？若存在，求出所有符合条件的点的横坐标．
58．（22-23九年级上·浙江金华·期末）在矩形中，，动点P从A出 发，以1个单位每秒速度，沿射线方向运动，同时，动点Q从点C出发，以2个单位每秒速度，沿射线方向运动，设运动时间为t秒，连接DP，DQ．
(1)如图1，证明：．
(2)作平分线交直线于点E；
①图2，当点E与点B重合时，求t的值．
②连接，，当与相似时，求t的值．
59．（2020·浙江金华·一模）如图1，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别为AB，AD边上任意一点，现将△AEF沿直线EF对折，点A对应点为点G．
（1）如图2，当EF∥BD，且点G落在对角线BD上时，求DG的长；
（2）如图3，连接DG，当EF∥BD且△DFG是直角三角形时，求AE的值；
（3）当AE＝2AF时，FG的延长线交△BCD的边于点H，是否存在一点H，使得以E，H，G为顶点的三角形与△AEF相似，若存在，请求出AE的值；若不存在，请说明理由
60．（22-23九年级上·浙江金华·期末）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，是等腰直角三角形，点A，点B在x轴上（点A在点B的左侧），点C在y轴的正半轴上，点D在直线BC上运动，连结AD与y轴交于点E，连结BE．
(1)当点D从点C运动到点B（C，B两点除外）时，求证：．
(2)如图2，过B，D，E三点作⊙H与y轴的另一个交点为G，延长EH交⊙H于点F，连结GF，DG，BF．求的度数．
(3)在（2）的条件下，若，点D在运动过程中，中是否有一个角等于，如果存在，求出此时点E的坐标；如果不存在，请说明理由．
61．（22-23九年级上·浙江金华·期末）如图，在并联电路中，电源电压为，根据“并联电路分流不分压”的原理得到：．已知为定值电阻，当R变时，路电流也会发生变化，且干路电流与R之间满足如下关系：．
(1)【问题理解】
定值电阻的阻值为________Ω．
(2)【数学活动】
根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数来探究函数的图象与性质．
①列表：下表列出与R的几组对应值，请写出m的值：________；
R … 3 4 5 6 …
… 2 1.5 1.2 1 …
… 3 m 2.2 2 …
②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来．
(3)【数学思考】
观察图象发现：函数的图象是由的图象向________平移________个单位而得到．
(4)【数学应用】
若关于x的方程在实数范围内恰好有两个解，直接写出k的值．
62．（23-24九年级上·浙江金华·期末）根据以下素材，完成探索任务：
设计喷水器的高度
素材1 为了灌溉某花田，需要安装一台可旋转灌溉的喷水器（即喷头可顺、逆时针往返喷洒）．如图1，其中点P为原装喷头的喷水口，点N处是喷头与支架的接口，喷水口的高度可以通过连杆进行调整（点P到地面的距离最大可达2米），已知点P、N、M在同一直线上．喷水口喷出的水柱最外层的形状可近似看作是抛物线的一部分，且通过上下高度调整后，喷出的水柱形状仍与原来相同．（接头处的间隙忽略不计）
素材2 为了方便计算该喷水器的灌溉范围，如图2，在初始高度下，测得喷水口点P到水平地面的距离为1米，喷射距离为10米，并发现喷头在旋转过程中，喷出的水柱外端恰好碰到距离连杆所在直线5米处一片树叶的最低处，并测得该树叶的最低处距离水平地面2米．
素材3 为了美观，现将原来的花田改造成一块由6块全等的等边三角形与1个正六边形组成的多边形花田（如图3），已知米．
素材4 为了适应多种灌溉环境，这款喷水器除原装喷头外，还有一款“S”型号的喷头可供更换（如图4），并且．已知的边，，其中与地面平行，与地面垂直．更换喷头后，喷出的水柱形状仍与原来相同．
任务1 确定水柱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求喷出水柱最外层抛物线的函数表达式．
任务2 计算喷水口高度 若使用原装喷头的喷水器，要求通过旋转后，洒水区域能覆盖整块多边形花田，那么喷水口P至少需要升高多少米？
任务3 设计方案 园艺师计划分别在，，，，，的中点处种植一棵高为米的树．通过计算，判断种植后是否会影响任务2中的灌溉要求．若有影响，请你利用计算分析，设计出通过调节喷水器的高度、更换喷头等方式，能够达到多边形花田灌溉要求的方案．
63．（23-24九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数，记在某个范围时，函数的最小值为，最大值为，令，回答以下问题：
(1)当时，求的值．
(2)当时，求的范围．
(3)当时，求的值．
64．（23-24九年级上·浙江金华·期末）在中，，，，点E，F分别在边和上运动，且，连接 ，将沿着折叠，点D的对应点为，连结交于点O．
(1)如图1，当点在下方时，交于点P，连结．
①求证：．
②设，用含x的代数式表示的面积；
(2)如图2，当点在上方时，交于点N，请问为何值时，使得与相似？
65．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，为半圆的直径，点为半圆弧上一点，于点，在上截取，连结，，与相交于点．
(1)求证：；
(2)若，，
①求的长；
②如图2，连结，与相交于点，求的面积．
66．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图1，在中，直径，D是上的动点，过点D作交于点E，F，连接，取的中点H，连接交于点M，并延长交于点C，连接．
(1)当点D与圆心O重合时，如图2所示，求的值．
(2)在点D的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出定值：若不是，请说明理由．
(3)连接，，当是等腰三角形时，求的值．
67．（21-22九年级上·浙江金华·期末）如图1，抛物线的顶点为M，平行于x的直线与抛物线交于点A，B，若为等腰直角三角形，则抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的“准碗形”，记为“准碗形AMB” ．顶点M称为碗顶，线段AB称为碗宽，点M到线段AB的距离称为碗高．
(1)抛物线对应的碗宽为______；
(2)抛物线对应的碗宽为______，抛物线对应的碗高为______；
(3)已知抛物线对应的碗高为3．
①求碗顶M的坐标；
②如图2，将“准碗形AMB” 绕点M顺时针旋转30°得到“准碗形” ．过点作x轴的平行线交准碗形于点C，点P是线段上的动点，过点P作y轴的平行线交准碗形于点Q．请直接写出线段PQ长度的最大值．
68．（21-22九年级上·浙江金华·期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，过点A作轴，作直线AC平行x轴，点D是二次函数的图象与x轴的一个公共点（点D与点O不重合）．
(1)求点D的横坐标（用含b的代数式表示）
(2)求的最大值及取得最大值时的二次函数表达式．
(3)在（2）的条件下，如图2，P为OC的中点，在直线AC上取一点M，连接PM，作点C关于PM的对称点N，①连接AN，求AN的最小值．
②当点N落在抛物线的对称轴上，求直线MN的函数表达式．
69．（21-22九年级上·浙江金华·期末）如图1，在矩形中，，，点在边上，．点是直线上的动点．将沿折叠得到将．直线与直线的交点为点．
(1)若点落在边上（如图），连结，请判断的形状并说明理由；
(2)若点与点重合（如图），求点到直线的距离；
(3)在点的运动过程中，是否存在某一时刻，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
70．（2014·重庆·中考真题）已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=，AE⊥BD，垂足是E，点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF
（1）求AE和BE的长；
（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）.当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值；
（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q.是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．
71．（21-22九年级上·浙江金华·期末）如图1，已知AB为半圆O的直径，AB＝2，线段AI⊥AB，延长AB至点G，使BG＝AB，以点B为圆心，线段AG为直径作半圆B，点D是半圆B上一点，过点D作DF⊥AI于点F，连结AD，BD，其中AD交半圆O于点E．连接EF．
(1)求证：AE＝DE．
(2)设，，求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围．
(3)如图2，以BG为直径作半圆，BD交半圆O或半圆于点J，连结FB交AD于点K，连结KJ，当点K将线段FB分为2：3两部分时，求DFK与BJK的面积之差．
72．（22-23九年级上·广西南宁·期中）如图，抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点为抛物线的对称轴上一动点，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)在第二象限的抛物线上，是否存在一点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
73．（22-23九年级上·浙江金华·期末）如图1，在矩形中，，，动点P从点A出发，沿边以每秒2个单位的速度向点B运动，同时，动点Q从点B出发，沿匀速向终点D运动，点P、Q同时到达终点，与交于点E．过点B作于点F．设点P、Q的运动时间为t秒．
(1)求点Q的运动速度．
(2)如图2，当点Q与点C重合时，求的长．
(3)在点P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得以B、E、F为顶点的三角形与相似？若存在，求运动时间t的值；若不存在，请说明理由．
74．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图在中，，点在边上，以为圆心，为半径的圆分别交于点，连结．
(1)求证：．
(2)当时，求：
①；
②的值．
参考答案
1．B
【分析】作AD⊥BC于D，求出AD的长，根据直线和圆的位置关系判断即可．
【详解】解：作AD⊥BC于D，
∵∠B＝45°，AB＝6；
∴，
设三角形ABC1的外接圆为O，连接OA、OC1，
∵∠B＝45°，
∴∠O＝90°，
∵外接圆半径为4，
∴；
∵
∴以点A为圆心，AC为半径画圆，如图所示，当AC=4时，圆A与射线BD没有交点；
当AC=8时，圆A与射线BD只有一个交点；当AC= 时，圆A与射线BD有两个交点；
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和射线与圆的交点，解题关键是求出AC长和点A到BC的距离．
2．B
【分析】连接AG并延长，交BC于点F，由△ABC的重心为G，可知F为BC的中点，再由垂径定理可知OF⊥BC，从而可求得OF的长；在AO上取点E，使AE=AO，连接GE，可判定△AGE∽△AFO，由相似三角形的性质列出比例式，求得GE的长，进而可得点E的坐标，利用勾股定理求出DE的长，根据G在以E为圆心，为半径的圆上运动，可知DG的最小值为DE的长减去，计算即可．
【详解】解：连接并延长，交于点，
的重心为，
为的中点，
，
，
，
，
，
的重心为，
，
在上取点，使，连接，
，，
，
，
．
在以为圆心，2为半径的圆上运动，
，，
，
的最小值是，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的重心、30°角所对的直角边等于斜边的一边、相似三角形的判定与性质、勾股定理在计算中的应用及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
3．B
【分析】分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况考虑：
当h＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；
当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；
当h＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．
【详解】解：如图，
当h＜2时，有-（2-h）2=-1，
解得：h1=1，h2=3（舍去）；
当2≤h≤5时，y=-（x-h）2的最大值为0，不符合题意；
当h＞5时，有-（5-h）2=-1，
解得：h3=4（舍去），h4=6．
综上所述：h的值为1或6．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况求出h值是解题的关键．
4．D
【分析】由题意得，，设A1B1，A2B2之间的距离为h，则由题意可得，再由可得，，从而得到问题的解答．
【详解】∵A1B1∥A2B2
∴∠A1A2B1=∠A2A3B2
∵A2B1∥A3B2
∴∠A1A2B1=∠A2A3B2
∴ △A1A2B1∽△A2A3B2（AA）
同理可证△A2A3B2∽△A3A4B3，△A2B1B2∽△A3B2B3
∵△A2B1B2∽△A3B2B3，，
∴，
又∵△A1A2B1∽△A2A3B2
∴
设之间的距离为h，则：，
∴
又∵
∴
∴，
∵，△A1A2B1∽△A2A3B2
∴
∴，
同理有，
∴图中三个阴影三角形面积之和为：
，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形相似的综合应用，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解题关键．
5．B
【分析】本题是动点问题的函数图象，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，根据图②可知，，再根据是的三等分线，可以证明，求出的长，即可求出答案．
【详解】解：如图①,,是的三等分线，
根据图②可知，
，
，
，
，
同理 ，
，
，
，
，
解得：或 (负值舍去),
，，
∴当恰好是的一条三等分线时，的值为或.
故选:.
6．C
【分析】根据图象可分析出点横坐标最大值，根据此时顶点的坐标，进而可知点横坐标的最大值，当运动到点时，点横坐标有最小值，进而可求出结果．
【详解】解：当运动到点上的时候，的横坐标的最大值为，此时B点坐标为，此时点坐标为，
，，
故此时点坐标为：，
当点运动到点时，的横坐标最小，
此时的坐标为：，
∴点坐标为
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象，二次函数的顶点，二次函数与坐标轴的交点，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
7．C
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键在找到圆心，依据的知识点是直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半，即斜边的中点为圆心，用字母表示多条边，然后找它们的关系是中考经常考的类型，平时要多加练习此类题型．
先设的三边长为，其中为斜边，设的半径为，根据图形找出的关系，用含的式子表示和，即可求出比值．
【详解】解：如图，取的中点为的中点为，连接，
设，
则，①
取的中点为，
∵是直角三角形，
∴，
∵圆心在和的垂直平分线上，
∴为圆心，
由勾股定理得：
，②
由①②得，
∴，
故选：C．
8．C
【分析】先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点，然后利用全等三角形的判定和性质确定△ABC是等腰直角三角形，再根据直角三角形斜边中线的性质得到，再由勾股定理解得，解得，据此解题即可．
【详解】解：如图所示，正方形的顶点都在同一个圆上，
圆心在线段的中垂线的交点上，即在斜边的中点，且AC=MC，BC=CG，
∴AG=AC+CG=AC+BC，BM=BC+CM=BC+AC，
∴AG=BM，
又∵OG=OM，OA=OB，
∴△AOG≌△BOM，
∴∠CAB=∠CBA，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形斜边的中线的性质、圆的面积、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
9．A
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法．证明，得出，，证明，得出，设，，求出，得出即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴设，，
∴，
∴，
故选：A．
10．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，能根据所给图形一次表示出正方形的边长并发现规律是解题的关键；
利用相似三角形的性质依次求出，， ，的长度，发现规律即可解决问题．
【详解】将一张三角形纸片剪裁成若干个正方形纸片，
四边形是正方形，
，
，，
，
令正方形的边长为，
则，
解得：，
同理可得
，
令正方形的边长为，
则，
解得：，
以此类推，
，
，
，
，
即为
故选：B
11．C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理．掌握相关的知识是解题的关键．
过点作于点，的延长线交于点，如图，利用平行线的性质得到，则，再利用平行线分线段成比例定理计算出，则，于是利用勾股定理可计算出，接着根据圆周角定理得到，然后证明∽，利用相似比可计算出，最后利用勾股定理可计算出的长．
【详解】解：过点作于点，的延长线交于点，如图，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
在中，，
为直径，
，
，，
，
∵，
∽，
∴，即，
解得，
在中，．
故选：C．
12．B
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据所给函数图象，得出抛物线的对称轴为直线，则可得出a与b之间的关系，再将代入函数解析式可得出b与c之间的关系，最后利用数形结合的思想及二次函数与一元二次方程之间的关系即可解决问题．
【详解】解：因为抛物线经过点，，
所以抛物线的对称轴为直线，
则，即．故①正确．
将代入函数解析式得，，
又因为，
所以，
即．故②错误．
因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
所以当时，函数取得最小值，
所以当时总有，，
即．故③错误．
由题知，方程的两个解为．
方程可转化为，
所以1或3，
则．故④正确．
因为，
所以点P在直线左侧，点Q在直线右侧，
又因为，
则．
因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
所以．故⑤正确．
故选：B．
13．C
【分析】根据点M的运动轨迹确定点N的运动轨迹，利用将军饮马河原理计算即可．
【详解】如图，当点M与A重合时，点N与点B重合，当点M与D重合时，点N与点P重合，
∴点N在线段BP上运动，
∵△PDC是等边三角形，点D是等边三角形ABC边BC的中点，
∴BD=DC=PD=PC，∠BCP=60°，
∴∠CBP=30°，∠BPC=90°，
作点D关于直线BP的对称点E，连接CE，与BP的交点就是DN+CN最小的位置，且最小值为EC，
连接BE，ED，
∴∠CBP=∠EBP=30°，△BDE是等边三角形，∠CBE=60°，
∴BD=DC=DE，
∴∠BEC=90°，∠BCE=30°，
∵BC=6，
∴BE=3，CE=，
∴DN+CN最小值为，
故选C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，将军饮马河原理，直角三角形的判定，熟练掌握直角三角形的判定和将军饮马河原理是解题的关键．
14．C
【分析】由当与AB重合时，即，此时走过的距离为m，重叠部分面积达到最大值，为的面积，结合题意即可求出m的值．再根据，当与AC重合时，此时．此时走过的距离为m+4，由此可求出的长，从而可求出BC的长，进而即可求出结果．
【详解】如图，当与AB重合时，即点到达B点，此时．此时走过的距离为m，即为的长．且此时重叠部分面积达到最大值，为的面积，大小为1．
∵为等腰直角三角形
∴，
∴，
∴．
如图，当与AC重合时，即点到达C点，此时．此时重叠部分面积即将变小，且走过的距离为m+4．
∴此时．
∴，即．
∵为等腰直角三角形，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查图形的平移，等腰直角三角形的性质，勾股定理，函数的图象．解题的关键是通过函数图象得到平移过程中重合部分的形状．
15．B
【分析】根据抛物线的开口以及对称轴即可判断①③，根据抛物线上的点离对称轴的距离越远，其函数值越大，即可判断②，将方程转化为无实根，根据一元二次方程根的判别式即可求解．
【详解】解：∵抛物线（a，b，c都是常数，且）开口向上且过点，（），
∴对称轴为直线，，
又对称轴为，
故①不正确，
②对称轴为直线，，
，
和都在抛物线上，又抛物线开口向上，离抛物线越远的点的函数值越大，
故②正确，
对称轴为直线，，
，
，
，
由抛物线过点，则，
，
，
故③正确，
抛物线（a，b，c都是常数，且）开口向上且过点，（），
设抛物线的解析式为，
若方程没有实数根，
即无实根，
，
即．故④正确，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，一元二次方程根的判别式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
16．D
【分析】根据矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理依次对各个选项进行判断、计算，即可得出答案．
【详解】解：①∵，E为的中点，
∴，
∵将沿翻折得到，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故①正确；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
③过点E作于点M，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
∴，
故③正确；
④，
故④正确；
综上共有4个正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理、三角函数等知识，本题综合性较强，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
17．A
【分析】先证明，即可得点E在以为直径的半圆上移动，设的中点为O，作正方形关于直线对称的正方形，则点D的对应点是F，连接交于P，交半圆O于E，根据对称性有：，则有：，则线段的长即为的长度最小值，问题随之得解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点E在以为直径的半圆上移动，
如图，设的中点为O，
作正方形关于直线对称的正方形，
则点D的对应点是F，
连接交于P，交半圆O于E，
根据对称性有：，
则有：，
则线段的长即为的长度最小值，E
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故的长度最小值为，
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线，得出点E的运动路线是解题的关键．
18．B
【分析】本题考查求线段长，涉及勾股定理、折叠性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，先利用勾股定理求出的斜边长，再由折叠性质求出角度关系及长，最后由相似三角形的判定与性质得到，代值求解即可得到答案，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
【详解】解：连接，如图所示：
在中，，则，且，
，
，
将沿所在直线折叠，当点恰好落在边的点处时，则，，，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，即，解得，
故选：B．
19． 65
【分析】（1）根据收纳时，滑动端点E向右滑至点C，点F与点A重合；可得AB＝FB，EF＝AC，利用已知数据计算即可；
（2）过点B作BM⊥AC，垂足为M，解直角三角形即可．
【详解】解：（1）∵收纳时，滑动端点E向右滑至点C，点F与点A重合，
∴AB＝FB＝60cm，EF＝AC＝125cm，
∴BE＝EF- FB＝65cm，
故答案为：65；
（2）过点B作BM⊥AC，垂足为M，
∵察看仪表盘视角最佳，
∴，
∴，即
解得， cm； cm；
cm；
EA＝ cm；
故答案为：
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是恰当构建直角三角形，准确解直角三角形．
20． 5 /
【分析】先证明BE、AD也是半圆的切线，即可根据切线长定理得到EB=EF、DA=DF，再在△DCE中即可求出DE的值；过F作FG⊥DC于G，根据相似求出FG、CG的长，最后根据勾股定理即可求出CF的值．
【详解】∵正方形ABCD
∴CD=AD=BC=4，CE⊥AB，DA⊥AB
∵以AB为直径的半圆
∴BE、AD也是半圆的切线
∵DE为以AB为直径的半圆的切线，
∴EB=EF、DA=DF=4
∴EC=BC-BE=4-EF，DE=DF+EF=4+EF
在Rt△DCE中，
∴
解得
∴DE=DF+EF=4+EF=5
过F作FG⊥DC于G，如图
∴
∴
∴
解得
∴
∴在Rt△CFG中，
故答案为：5，
【点睛】本题考查切割线定理、相似三角形的性质与判定，解题的关键是能看出有多条切线．
21． 3.5
【分析】（1）过M作MH⊥PQ于H，根据等腰直角三角形的性质解答即可；
（2）当∠QPM=135°时，作QH⊥MP于H点，根据直角三角形的性质求出QH和PH的长，然后在中根据勾股定理求QM长，最后在中，根据勾股定理求出QN，即可解决问题．
【小题1】解：如图，过M作MH⊥PQ于H，
∵ =45°，
∴△PHM为等腰直角三角形，
∴（米），
∴（米），
故答案是：3.5；
【小题2】解：如图，当∠QPM=135°时，作QH⊥MP于H点，
∴，
∴（米），
∴（米），
在中，
∴（米），
在中，
（米），
故答案是：．
【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理的应用，解题的关键是理解当伸展臂的伸展角达到最大角135°时QM为定长，再构造直角三角形．
22．/
【分析】连接，由知，从而可得，根据C、D是半圆的3等分点且知，利用扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
则，
∵C、D是半圆的3等分点，且，
∴，
则
故答案为：
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是将阴影部分的面积转化为扇形的面积．
23． 17 19
【分析】根据锐角三角函数可得，，再根据平行四边形的面积公式可得每个体车位的面积；然后过点C作交延长线于点G，可得，从而得到，进而得到第一个停车位所占的宽度，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，，
∴，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴每个体车位的面积大约为；
如图，过点C作交延长线于点G，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴第一个停车位所占的宽度为，
∴这个晒谷场按规划最多可容纳停车位个．
故答案为：17；19
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，平行四边形的性质，准确构造直角三角形是解题的关键．
24．
【分析】（1）推出，由相似三角形的性质即可求解；
（2）证明，推出，作交于点，在中，由勾股定理求得，据此即可求解．
【详解】解：（）根据题意知，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（）根据题意知，
又∵，
∴，
∴，
∴，
作交于点，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，即，
∴；
故答案为：；．
【点睛】本题考查了考查矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
25．
【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，角平分线的定义，三角形的外角性质，勾股定理，扇形的面积等知识，设，，构建方程组求出 ；取的中点，以为圆心， 为半径作，是直径，则点在上运动，则扫过的面积扇形的面积的面积，利用扇形面积公式和三角形面积公式计算即可求解；解题的关键是找到点的运动轨迹．
【详解】解：∵的平分线相交于点，
∴可以假设，，
则有，，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴；
取的中点，以为圆心，为半径作，是直径，则点在上运动，
∵，，，
∴，
则扫过的面积扇形的面积的面积，
，
；
故答案为：，．
26．/
【分析】本题考查三角函数解实际问题，涉及三角函数定义、勾股定理等知识，读懂题意，作出平面示意图，利用三角函数定义表示出线段长，进而结合杆两端点移动的距离始终相等列等式，化简求值即可得到答案，熟练掌握三角函数定义是解决问题的关键．
【详解】解：根据题意，作出平面图形，如图所示：
，
由题意可知，，
在中，，
，
，
在中，，
图2时，间的距离为，
，
由题意可知，
，即，
，
在中，，则，由勾股定理可得，
，
故答案为：．
27． /0.75
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
（1）利用正方形的性质可证得，再利用锐角三角函数的定义式计算即可；
（2）作，交于，可证得，从而，不妨设，，可求得，，在中求得，从而，可证得，利用对应边成比例求解即可．
【详解】解：（1）四边形是正方形，
，，，，
，
，
，
∴，
∵，
∴，
，，
，
，，
∴，
故答案为：；
（2）如图，作，交于，
∴，
∴，
不妨设，，
由（1）知：，
∴，
∴，
在中，，，
，
∴，
，
∴，
，
∴，
∴，
故答案为：．
28．3≤a＜4或a≤-5
【分析】先确定A，B的坐标，确定直线AB的解析式，联立两个函数解析式构造一元二次方程，其判别式大于零，分a＜0和a＞0，两种情形计算即可．
【详解】∵，，且AC在x轴上，O为AC的中点，
∴A（-1，0），B（1，2），∠BAC=45°，
∴直线AB与y轴的交点为（0，1），
设直线AB的解析式为y=kx+1，
∴-k+1=0，
解得k=1，
∴直线AB的解析式为y=x+1，
∵抛物线与线段AB有两个不同的交点，
∴x+1=有两个不相等实数根，
∴有两个不相等实数根，
∴，
解得a＜4；
当a＞0时，，
∴a≥3，
∴3≤a＜4，
当a＜0时，，
∴a≤-5，
∴3≤a＜4或a≤-5，
故答案为：3≤a＜4或a≤-5．
【点睛】本题考查了待定系数法确定一次函数的解析式，一元二次方程根的判别式，抛物线与一次函数的综合，不等式组的解法，熟练根的判别式和不等式组的解法是解题的关键．
29．
【分析】（1）由题意易证，从而可证明，即得出；
（2）连接AC、BD，且交于点H，设AE、BD交于点G．由题意可知A点和C点关于BD对称，即得出，．根据勾股定理可求出BD的长，再根据等积法可求出AH的长，从而可求出AC的长．由，，得出．由，，，得出，即证明，从而得出，即求出的值．
【详解】（1）∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）如图，连接AC、BD，且交于点H，设AE、BD交于点G．
由题意四边形ABCD是由两个完全一样的三角形拼成，即A点和C点关于BD对称，
∴，．
∵在中，，
∴．
∵，
∴，即
解得：，
∴．
∵，，
∴．
∵，，，
∴，
即在和中， ，
∴，
∴．
故答案为：，．
【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，较难．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解答本题的关键．
30． 260
【分析】（1）设探测器从发射到抵达火星需要天，根据探测器从发射到抵达火星需要的时间＝火星沿运行的时间，列出方程，求解即可；
（2）连接、、，过点作的垂线交于点，取的中点，连接，根据，算出，即可求得，由已知条件可知，根据等腰三角形三线合一的性质得到，设，则，，求出的值，再根据，求出的值，根据勾股定理分别求出、的值，再根据“时间=路程÷速度”即可求解．
【详解】解：（1）设探测器从发射到抵达火星需要天
∵探测器从发射到抵达火星需要的时间＝火星沿运行的时间
∴。，解得：
∴探测器从发射到抵达火星需要260天
（2）连接、、，过点作的垂线交于点，取的中点，连接，如图所示
∵
∴
∴ A.U.
∵
∴ A.U.
∵此时TC恰好等于点到TC中点的距离
∴
∵点是的中点，
∴（三线合一）
设，则，
∴ A.U.
∴ A.U.
∴ A.U.， A.U.
∵
∴ A.U.
∴ A.U.
∴ A.U.
∴ A.U.
∵短时间内探测器的运行路程可忽略不计
∴h
∴最快 h后，探测器会受到“等离子体云”的干扰
故答案为：260；．
【点睛】本题是一道和圆相关的综合题，考查了一元一次方程的应用、圆的一些基础知识点、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理、同一个三角形的面积不变性等知识点，正确作出辅助线，找到对应关系是解答本题的关键．
31．
【分析】（1）过点B作BH⊥OC交OC的延长线于点H，利用同角的余角相等证明∠CBH＝∠ACO，tan∠CBH＝tan∠ACO＝，在Rt △BCH中，设CH＝x，则BH＝3x，BC＝3cm，利用勾股定理求出x 即可得到点B到OC的距离；
（2）过点A作AG⊥OC交OC于点G，利用（1）中的方法求出AG，再证明△AGO∽△BHO，得，在Rt △ABC中，利用勾股定理得AB，得到OA的长，进而求得OP、AP，连接AN，设线段OB与⊙A的交点为D，则当留下的透明条从点O出发，第一次传送到⊙A上D点时，点B到D点距离最小，最多可以擦除的长度为PO＋PN＋的长，用勾股定理求出PN，利用弧长公式求出的长，即可得解．
【详解】解：（1）如图1，过点B作BH⊥OC交OC的延长线于点H，
∵BH⊥OC
∴∠BHC＝90°，
∴∠BCH＋∠CBH＝90°
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°
∴∠ACO＋∠BCH＝90°
∴∠CBH＝∠ACO
∴tan∠CBH＝tan∠ACO＝
∴
在Rt △BCH中，设CH＝x，则BH＝3x，BC＝3cm，
∴
解得x＝cm
∴BH＝3x＝cm
即点B到OC的距离为cm
故答案为：；
（2）如图2，过点A作AG⊥OC交OC于点G， 则∠AGO＝∠AGC＝90°，
∵tan∠ACO＝，
∴
在Rt △ACG中，设AG＝n，则CG＝3n，AC＝4cm，
∴
解得n＝cm
∴AG＝cm，
∵∠AGO＝∠BHC＝90°，∠O＝∠O
∴△AGO∽△BHO
∴
∴
在Rt △ABC中，AB＝cm，
∴OA＝4cm，
∵ P为OA中点
∴OP＝AP＝OA＝2cm
如图3，连接AN，则AN＝1cm，设线段OB与⊙A的交点为D，则当留下的透明条从点O出发，第一次传送到⊙A上D点时，点B到D点距离最小，最多可以擦除的长度为PO＋PN＋的长，
由题意知PN是⊙A的切线
∴AN⊥PN
∴∠ANP＝90°
∴PN＝cm
∵sin∠APN＝
∴∠APN＝30°
∵∠NAD＝∠APN＋∠ANP＝120°，AN＝AD＝1cm，
∴的长＝（cm），
∴ 最多可以擦除的长度为PO＋PN＋的长＝（2＋）cm．
故答案为：（2＋）
【点睛】本题考查了勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、切线的性质、弧长公式等知识，得到最多可以擦除的长度为PO＋PN＋的长是解题的关键．
32．
【分析】（1）在直角三角形中，利用正弦函数定义得到，再根据特殊角的三角函数值即可求解；
（2）过作于，先证明是等边三角形得到，由旋转性质和勾股定理求得，再求得，根据含的直角三角形的性质求得，过F作于K，根据含的直角三角形的性质和勾股定理分别求得，，进而有，然后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）如图2，过作于，则，
∵，，
∴是等边三角形，则，
∵OC从水平方向旋转到，
∴，，，
在中，，，
∴，
∵,
∴，
∴，
过F作于K，
在中，，，
∴，则，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形、旋转的性质、勾股定理、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、等角的余角相等等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键
33．
【分析】（1）先求出，进而求出，再根据弧长公式求解即可；
（2）如图所示．连接并延长交水平线于E，连接并延长交水平线于G，延长交于M，过点M作于N，过点作于H，过点B作于Q，连接，同理求出，由旋转的性质可得，即可证明是等边三角形，得到，求出，即可得到，；证明，得到，求出；求出，则，；再证明， 四边形是矩形，得到，，求出，由此求出的长即可得到答案．
【详解】解：（1）由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴点D运动的路径长为，
故答案为：；
（2）如图所示．连接并延长交水平线于E，连接并延长交水平线于G，延长交于M，过点M作于N，过点作于H，过点B作于Q，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
由旋转的性质可得，
∴是等边三角形，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
同理可证，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，旋转的性质，求弧长，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
34．
【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，定边对定角确定点的运动路径，以及对角互补模型是解题的关键，难度较大．
在的下方作等腰直角，，作于，勾股定理得，点在以点为圆心，为半径的圆上，当点、、共线时，最大，再求出的长即可．
【详解】在中，由勾股定理得：．
如图所示，在下方作等腰直角，过点作于点，
则点在以点为圆，为半径的圆上．
又，
∴点四点共圆．
∴．
∴．
在中，由勾股定理得，，
即，
解得：．
在中，由勾股定理得：
当点共线时，最大，则的最大值为．
故答案为．
35．
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标的特征以及新定义问题，正确理解新定义是解决本题的关键．
（1）根据好点”定义可得：，进而计算求解m即可；
（2）由已知可得：，进而求出直线的解析式，所以抛物线 与直线的交点就是好点，再计算即可．
【详解】解：（1）由好点”定义可得：，
∴，
整理得：，
∴或5，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直线上的点都是好点，
当时，．当时，，
如图，直线解析式为，，
抛物线与直线的交点就是好点，
当抛物线过点A时，，
解得：，
当抛物线与有且只有一个交点时，
有，
整理得：，
∴，
解得：，
∴c的取值范围为： ．
故答案为：．
36． （3，﹣2）或（﹣，） （8≤d（O，P）≤10+
【分析】（1）由两点间距离：d（A，C）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|及点C是函数y＝﹣2x+4的图像上的一点，可得出方程组，解方程组即可求出点C的坐标；
（2）以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y＝﹣x的图像沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处，可由d（O，P）≥d（O，E）证明结论即可．
【详解】解：（1）设C（x，y），由定义两点间的距离可得：|0﹣x|+|0﹣y|＝5，
∴|x|+|y|＝5，
∴
解得：或，
∴点C的坐标为（3，﹣2）或；
故答案为：（3，﹣2）或．
（2）如图，将函数y＝﹣x的图像沿x轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，
设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处．
理由：设过点E的直线EF与x轴相交于点F．在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过点P作直线PG∥EF，PG与x轴相交于点G．
∵∠EFH＝45°，
∴EH＝HF，d（O，E）＝OH+EH＝OF，
同理d（O，P）＝OG，
∵OG≥OF，
∴d（O，P）≥d（O，E），
∴d（O，E）最短，
如图，过点PB⊥x轴于点B，当直线PB与圆相切时，d（O，P）取得最大，如图所示，
此时OP∥x轴，且OP＝
，
∴P（7+，3），
∴d（O，P）＝10+；
过点P作x轴的垂线，过点E作x轴的平行线，
∴∠OEA＝45°，
∵OE＝OP＝，
∴EA＝OA＝1，EB＝PB＝2，
∴E（6，2），P（8，4），
∴d（O，E）＝8，
∴8≤d（O，P）≤10+．
故答案为：8≤d（O，P）≤10+．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，理解新定义，并能用新定义求值，利用数形结合思想解决问题是解题的关键
37．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由题意和垂径定理可得∠AEB=∠ODC=90°，再由得到∠BOC=∠ABE即可证明结论；
（2）先根据题意求得OA、OB、OC OD、CD、AC的长，然后根据正弦的定义求得sin∠BOC，然后再根据∠BOC=∠ABE即可解答；
（3）连接OE并延长交圆O于点F，然后连接FC、AC、BC,即EF=AB=6，然后根据平行线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质证得△ADC∽△ECF，最后运用相似三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：∵AB是圆O直径
∴∠AEB=90°
∵
∴∠ODC=90°
∴∠AEB=∠ODC=90°
∵
∴∠BOC=∠ABE
∴．
（2）解：∵
∴OA=OB=OC=3
∵，
∴OD=OB-BD=3-1=2,AD=AB-BD=5
∴CD=，
∴sin∠BOC=
∵∠BOC=∠ABE
∴= sin∠BOC=．
（3）解：连接EO并延长交圆O于点F，然后连接FC、AC、BC，即EF=AB=6
∴∠ECF=90°,∠CAB=∠CEB
∴∠ADC=∠ECF=90°，
∴，
∵
∴∠OCE=∠CEB
∴∠CAB =∠OCE
∵OE=OC
∴∠OEC =∠OCE
∴∠CAB =∠OEC
∴△ADC∽△ECF
∴ ,即，解得：EC=．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解答本题的关键．
38．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将代入求解；
（2）由可得抛物线的对称轴，由可得点或的横坐标，进而求解；
（3）将代入得，将化为顶点式可得图像顶点坐标，将代入，结合图像求解．
【详解】（1）将代入得：
．
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∵，
∴抛物线的对称轴为轴，开口向下，
将代入得，
将代入得，
如图，
∵，
∴点横坐标为，
将代入得，
将代入得：
解得：（舍），，
∴点坐标为．
（3）∵，
∴图像顶点坐标为，
将代入得，
将代入得：
解得，，
∴时，．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，解题的关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过数形结合的方法求解．
39．(1)
(2)①；②（0，1），（0，2），（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）
(3)或
【分析】（1）利用配方法将抛物线的解析式变形为顶点式，由此即可得出顶点P的坐标；
（2）将点（1，3）代入抛物线解析式中，即可求出a值，再分析当x=0、1、2时，在“G区域”内整数点的坐标，由此即可得出结论；
（3）分a<0及a>0两种情况考虑，依照题意画出图形，结合图形找出关于a的不等式组，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴顶点的坐标为；
（2）解：①∵抛物线经过，
∴，解得；
②由①得：，
令得，，
解得，，
∴点，点．
当时，，
∴，两个整点在“G区域”；
当时，，
∴，两个整点在“G区域”；
当时，，
∴，两个整点在“G区域”；
（3）解：当时，，
∴抛物线与轴的交点坐标为．
当时，如图1所示，
此时有，解得；
当时，如图2所示，
此时有，解得；
综上，如果“G区域”内仅有4个整点时，则的取值范围为或．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式组，解题的关键是：（1）利用配方法将抛物线解析式变形为顶点式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，寻找“G区域”内整数点的个数；（3）依照题意，画出图形，观察图形找出关于a的一元一次不等式组．
40．(1)；
(2)补全图见解析，这个函数关于直线对称；这个函数的最大值为6；
(3)当或时，x有且仅有两个不同的值．
【分析】（1）根据菱形的性质求得，在中，利用正弦函数即可求解；
（2）根据，知点E在上的运动情况，与点E在上的运动情况对称，据此可补全图象，根据图象可写出其性质；
（3）观察图象知当或y取最小值时，x有且仅有两个不同的值，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形菱形，
∴，即，
在中，，，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形菱形，
∴，
∴点E在上的运动情况，与点E在上的运动情况对称，
在同一坐标系中补全图象如图，
这个函数的两条性质：
①这个函数关于直线对称；
②这个函数的最大值为6；
（3）解：观察图象，当时，x有且仅有两个不同的值；
当y取最小值时，x也有且仅有两个不同的值，此时，或，
在中，，，
∴，
∴；
综上，当或时，x有且仅有两个不同的值
【点睛】此题考查了菱形的性质、三角函数、动点函数的图象，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
41．(1)相似，理由见解析
(2)
(3)的值不变，
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角得，根据即可得；
（2）连接，，，根据点M的坐标为得，根据5为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B、C、D得，根据得，在中，根据勾股定理得，，根据和是的圆周角得，根据和是的圆周角得，即可得，则，计算得，在中，根据勾股定理得，，则，根据，即可得；
（3）连接，根据为切线得，可得，根据得，则，即，计算得，当G点与A点重合时，；当G点与B点重合时，；当G点不与A、B重合时，根据得，则，即，而，可得，根据得，可得，即可得．
【详解】（1），理由如下：
解：如图1所示，
∵和是的圆周角，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图所示，连接，，，
∵点M的坐标为，
∴，
∵5为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B、C、D，
∴，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∵和是的圆周角，
∴，
∵和是的圆周角，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图3所示，连接，
∵为切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
当G点与A点重合时，；
当G点与B点重合时，；
当G点不与A、B重合时，
∵，
∴，
∴，
即，
而，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上所述，的值不变．
【点晴】本题考查了圆的综合题，掌握圆周角定理，切线得性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线是解题的关键．
42．（1）（3，2）或（3，-2）（2）；（3）或
【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为，然后根据“美丽抛物线的”定义求出顶点坐标，然后求解即可；
（2）先求出抛物线与x轴的两个交点，顶点坐标，然后根据“美丽抛物线的”定义求解即可.
（3）过点B作BE⊥AC于E，过点O作OM⊥AB于M，先求出A（-1，0），C（3，0），然后求出抛物线解析式，然后求出，即可得到，即，
设Q（m，），则，然后解方程求解即可得到答案.
【详解】解：（1）∵抛物线与x轴的两个交点为（1，0）、（5，0），
∴抛物线的对称轴为，
∴由“美丽抛物线的”定义可知，抛物的顶点到x轴的距离
∴抛物线顶点的坐标为（3，2）或（3，-2），
（2）∵抛物线的解析式为，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（b，0），抛物线的顶点坐标为（，）
∴由“美丽抛物线的”定义可知
∴解得；
∵，
∴；
（3）如图，过点B作BE⊥AC于E，过点O作OM⊥AB于M，
由题意得△ABC为等腰直角三角形，AB=BC，∠ABC=90°，
∴AE=CE=BE，
∵B（1，2），
∴AE=CE=BE=2，OE=1，
∴AO=1，OC=3，
∴A（-1，0），C（3，0）
∴抛物线解析式为，
把B（1，2）代入抛物线解析式得，
解得,
∴抛物线解析式为
∵，，
，
∴，
∴
∴，
∴，
设Q（m，），
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
解得（舍去）或或，
∴Q点的横坐标为或.
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的解析式，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
43．（1）函数y1的表达式y=x2﹣x﹣2（2）a２=b或b=-a2﹣a（3）x0的取值范围0
（2）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得答案
（3）根据二次函数的性质，可得答案．
【详解】（1）函数y1的图象经过点（1，﹣2），得
（a+1）（﹣a）=﹣2，
解得a=﹣2，a=1，
函数y1的表达式y=（x﹣2）（x+2﹣1），化简，得y=x2﹣x﹣2；
函数y1的表达式y=（x+1）（x﹣2）化简，得y=x2﹣x﹣2，
综上所述：函数y1的表达式y=x2﹣x﹣2；
（2）当y=0时（x+a）（x﹣a﹣1）=0，解得x1=-a，x2=a+1，
y1的图象与x轴的交点是（-a，0）（a+1，0），
当y2=ax+b经过（-a，0）时，﹣a２+b=0，即a２=b；
当y2=ax+b经过（a+1，0）时，（a+1）a+b=0，即b=-a2﹣a；
（3）（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，且二次函数开口向上，由图像可知
由m＜n，得0
44．(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据平分，是直径，得出，则，进而得出，根据三角形的内角和定理得出，即可求证；
（2）连接，易得是等边三角形，则，，通过证明，即可得出结论；
（3）先证明，得出，则，再证明，得出，则，结合，即可求证．
【详解】（1）证明：∵平分，是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）证明：∵的半径为1，
∴，
由（2）知，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线．
45．(1)①；②
(2)
【分析】（1）①利用圆周角定理，三角形内角和定理即可得到各个角之间的关系，再由等腰三角形性质即可得到答案；
②由①中的结论得到，设，利用三角形相似的判定与性质，代入，即可求解；
（2）延长至点，使，设，则，根据勾股定理得到，利用圆周角定理，得到，由，求出，在中，应用勾股定理，求出，进而表示出，在中，根据勾股定理列出等量关系式，求出的值，即可求解．
【详解】（1）解：①，
，
在和中，，则，
，
，
，
在等腰中，，则，
；
②由（1）可知，
，
设，
由（1）中可知，
，即，解得，
，
同理由（1）可知，
，即，解得，
；
（2）解：延长至点，使，连接，
，
设，则，
刚好过圆心，
，
在中，，
，，，
，
，即：，解得：，
在中，，
，
在中，，即：，解得：，
，
故答案为：的长为．
【点睛】本题考查圆综合，涉及圆周角定理、三角形内角和定理、等腰三角形性质、三角形相似的判定与性质、勾股定理、解方程等知识，熟练掌握圆的性质，灵活运用三角形相似的判定与性质是解决问题的关键．
46．(1)
(2)且
(3)
【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的对称性，掌握二次函数的图象关于对称轴对称是解题的关键．
（1）根据待定系数法即可求得；
（2）将代入可得再分别将和代入求出、，计算即可；
（3）由已知可知：，计算并配方可得结果．
【详解】（1）解：根据表格数据可知抛物线的顶点坐标为，
设二次函数的表达式为，
把，代入，得，
解得：，
二次函数的表达式为：；
（2）把代入得：，
解得：．
当时，，则，
当时，，则，
，
，
，
的取值范围为：且；
（3）点是二次函数图象上的任意一点，且满足，
，
，
当时，的最小值为，
在范围内，
的最小值为．
47．（1）4;（2）①90°；②
【分析】（1）如图1中，过点A作AD⊥BC于D．解直角三角形求出AD即可．
（2）①证明BE=EP，可得∠EPB=∠B=45°解决问题．
②如图3中，由（1）可知：AC=，证明△AEF∽△ACB，推出，由此求出AF即可解决问题．
【详解】解：（1）如图1，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，==4.
（2）①如图2，∵△AEF≌△PEF，
∴AE＝EP.
又∵AE＝BE ，
∴BE＝EP，
∴∠EPB＝∠B＝45°，
∴∠AEP＝90°.
②如图3，由（1）可知：在Rt△ADC中，.
∵PF⊥AC，
∴∠PFA＝90°.
∵△AEF≌△PEF，
∴∠AFE＝∠PFE＝45°，则∠AFE＝∠B.
又∵∠EAF＝∠CAB，
∴△EAF∽△CAB，
∴＝，即＝，
∴AF＝,
在Rt△AFP中，AF＝PF，则AP＝＝.
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，翻折变换，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
48．(1)4
(2)，
(3)（2，-3），
【分析】（1）根据碗宽的定义以及等腰直角三角形的性质可以假设B（m，m），代入抛物线的解析式，求出A、B两点坐标即可解决问题．
（2）利用（1）中方法可求碗宽，根据等腰直角三角形可知碗高是碗宽的一半．
（3）①由碗高为3求出a，再求顶点坐标即可；②作QS⊥BP于S，找到PQ和QS的关系后即可解决问题．
【详解】（1）解：根据碗宽的定义以及等腰直角三角形的性质可以假设B（m，m）．
把B（m，m）代入y＝x2，得，解得，m＝2或0（舍去），
∴A（﹣2，2），B（2，2），
∴AB＝4，即碗宽为4；
故答案为：4．
（2）解：类似（1）设B（n，n）,代入y＝a x2，得，解得，n＝或0（舍去），AB＝，即碗宽为；
抛物线y＝a（x﹣2）2+3是由抛物线y＝ax2平移得到的，所以，它们的碗宽一样为，根据等腰直角三角形的性质，可知可知碗高是碗宽的一半，即；
故答案为：，．
（3）解：①抛物线y＝ax2﹣4ax﹣（a＞0）对应的碗高为3．由（2）可知，
解得，，抛物线解析式为，化成顶点式为；
则M的坐标为（2，-3）；
②如图，作QS⊥BP于S，由旋转可知∠PBO=30°，因为过点P作y轴的平行线交准碗形A'MB'于点Q，
∴PQ⊥OB，
∴∠QPB=60°，∠PQS=30°，
∴PQ=2PS，，
当QS等于碗高时，QS最大，此时PQ长度的最大，
由（2）可知QS最大为3，则，；
PQ长度的最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和直角三角形的性质，解题关键是准确理解题意，熟练运用二次函数的性质和直角三角形的性质求解．
49．(1)=
(2)∠OFQ=∠OHP，理由见解答
(3)
【分析】(1)根据已知可知四边形EBHO和四边形GOFD都是平行四边形，然后求出它们的面积即可判断；
(2)利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明△OFQ∽△OHP，即可解答；
(3)利用相似三角形的性质求出△OFQ与△OHP的面积比，再证明△FPI∽△HQI，求出它们的面积比，最后求出△OFQ的面积进行计算即可解答．
【详解】（1）解：过点D作DM⊥GH，垂足为M，过点O作ON⊥AB，垂足为N，
∵AD=8，AB=12，AE＝AB，AG＝AD，
∴AE=3，AG=2，
∴GD=AD-AG=6，EB=AB-AE=9，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∵EF∥AD、GH∥AB，
∴EF∥AD∥BC，GH∥AB∥CD，
∴四边形GOFD是平行四边形，四边形OEBH是平行四边形，四边形AGOE是平行四边形，
∴AE=GO=3，EB=OH=9，GD=FO=6，AG=OE=2，
∵EF∥AD、GH∥AB，∠A＝60°
∴∠A=∠DGO=60°，∠A=∠OEB=60°，
∴△DGM和△OEN均为30°、60°、90°直角三角形，
∴，，
∴四边形EBHO面积，
四边形GOFD面积，
∴四边形EBHO面积等于四边形GOFD面积．
故答案是：＝；
（2）解：∠OFQ=∠OHP，理由如下：
∵OP=OG=3，OQ=OE=2，OF=6，OH=9，
∴，，
∴，
∵∠FOQ=∠POH，
∴△OFQ∽△OHP，
∴∠OFQ=∠OHP；
（3）解：设四边形OQIP的面积为x，△FPI的面积为y，△HQI的面积为z，
∵△OFQ∽△OHP，OQ=2，OP=3，
∴，即得到，
∴，
∵∠FIP=∠HIQ，∠OFQ=∠OHP，
∴△FPI∽△HQI，
∴，即得到，
∴，
过点Q作QK⊥OF，垂足为K，如下图：
∵∠KOQ=60°，
∴QK=OQ=，
∴△OFQ的面积，即，
∴，
由②得到：，再代入①中得到：，
∴再代入③中，，
解得，
∴四边形OQIP的面积为．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质及面积公式，相似三角形的性质及判定，本题属于四边形的综合题，难度较大，熟练掌握各图形的性质并添加适当的辅助线是解题的关键．
50．(1)，，对称轴x＝3．
(2)
(3)P点坐标为或．
【分析】（1）将解析式变形为，即可求解．
（2）联立方程组，整理得，，得到，再由，可知，即可求得的值，进而确定函数解析式．
（3）先判断是等腰三角形，再求出，可分两种情况讨论：设，则，①当时，；②当PC=CE时，；再由边的关系，列出方程式求解即可．
【详解】（1）
令y=0，则，
解得x=-2，x=8
，
，
∴对称轴为直线x=3．
（2）联立方程组
，
整理得，，
∴，
∵，
∴M点与N点关于原点对称，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）由可知，
设直线BC的解析式为，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，，
∵点G是AC的中点，
∴，
∴AG=，GO=，
∴是等腰三角形，
∵OA=2，OC=4，
∴，
∵OB=8，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
①当时，，
∴，
∴，
解得，，
∵P点在第四象限，
∴，
∴；
②当PC=CE时，，
∴
解得t=4，
∴．
综上所述，P点坐标为或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
51．(1)4
(2)2
(3)或
【分析】（1）先求出A、B、C三点的坐标，进而表示出AB、BC、AC的长，然后根据勾股定理求得m，确定C的坐标，最后运用三角形的面积公式解答即可；
（2）先用待定系数法求得BC所在直线直线的解析式，进而求得直线AP的解析式，然后与抛物线的解析式联立即可解答；
（3）先说明∠ABC=45°，然后分三种情况解答即可．
【详解】（1）解：由抛物线开口向上，则m＞0
令x=0，则y=-2，即C点坐标为（0，-2），OC=2
令y=0，则，解得x=-2或x=m，即点A（-2，0），点B（m，0）
∴OA=2,OB=m
∴AB=m+2
由勾股定理可得AC2=(-2-0)2+[0-（-2）]2=8, BC2=(m-0)2+[0-（-2）]2=m2+4
∵当为直角三角形时，仅有∠ACB=90°
∴AB2= AC2+BC2，即(m+2)2=8+m2+4，解得m=2
∴AB=m+2=4
∴的面积为：·AB·OC=×4×2=4．
（2）解：设BC所在直线的解析式为：y=kx+b
则 ，解得
∴BC所在直线的解析式为y=x-2
设直线AP的解析式为y=x+c
则有：0=×（-2）+c，即c=
∴线AP的解析式为y=x+
联立 解得x=-2（A点横坐标）,x=m+2（P点横坐标）
∴点P的纵坐标为：
∴点P的坐标为（m+2，）
∴OQ=m+2
∴BQ=OQ-OB= m+2-m=2．
（3）解：∵点P为抛物线上一动点（点P不与点C重合）．
∴设P（x，）
∵在△ABC中，∠BAC=45°
∴当以点A，B，P为顶点的三角形和相似时，有三种情况：
①（ⅰ）若△ABC∽△BAP
∴
又∵BP=AC
∴△ABC∽△BAP不符合题意；
（ⅰⅰ）若△ABP∽△CAB，
∴
过P作PQ⊥x轴于点Q，则∠PQB=90°
∴∠BPQ=90°-∠PBQ=45°
∴PQ=BQ=m-x
由于PQ=
∴
∴
∴x-m=0或
∴x=m（舍去），x=-m-2
∴BQ=m-（-m-2）=2m+2
∵
∴
∴m2-4m-4=0，解得：m=或m=（舍去）
∴m=；
②当∠PAB=∠BAC=45°时，分两种情况讨论：
（ⅰ）若△ABP∽△ABC,则 ,点C与点P重合，不合题意；
（ⅰⅰ）若△ABP∽△ACB,则 ,
过P作PQ⊥x轴于点Q，则∠PQA=90°
∴∠APQ=90°-∠PAB=45°
∴PQ=AQ=x+2
由于PQ=
∴
∴
∴x+2=0或
∴x=-2（舍去），x=2m
∴AQ= 2m+2
∵
∴
∴m2-4m-4=0，解得：m=（舍去）或m=
∴m=；
③当∠APB=∠BAC=45°时，分两种情况讨论：
ⅰ）过点A作PM//BC交抛物线于点M，则∠MAB=∠ABC，
∵∠MAB≠∠PAB，
∴∠PAB≠∠ABC，
∴△PAB与△BAC不相似；
ⅱ） 取点C关于x轴的对称点，连接并延长 交抛物线于点N，则∠NBA=∠CBA，
∵∠PBA≠∠NBA，
∴∠PBA≠∠CBA，
∴△PAB与△BAC不相似；
综上，m的值为m=或m=．
【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及抛物线与坐标轴的交点、勾股定理、三角形面积公式、运用待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
52．(1)任意实数；
(2)图象见解析
(3)①或或；②或或
【分析】（1）根据函数中可以取任意实数，可得自变量的取值范围；将，代入中，即可求得的值；
（2）先将（1）中的点坐标在平面直角坐标系中标出，再用曲线连接起来即可；
（3）①解出当和时，的取值，结合函数图象即可求解；②将、分别代入，解得的值，并求得直线与只有1个交点的情况，结合已知条件和函数图象，即可求出的取值范围．
【详解】（1）解：∵函数中可以取任意实数
∴自变量的取值范围是：任意实数
将，代入中，可得：，解得：
（2）解：先将（1）中的点坐标在平面直角坐标系中标出，再用曲线连接起来即可．
（3）解：①由（2）中图象可得：当时，，，
当时，
令，，解得：，
当时，
令，，解得：，
由函数图象分析可得：当时
或或
②∵直线过定点，
将代入，解得：
将代入，解得：
当
即
解得
∵过定点的直线与函数的图象只有一个横坐标不等于2的交点
∴或或
【点睛】本题考查了自变量的取值范围、二次函数图象的性质、一次函数图象的性质、解一元二次方程等知识点，借助函数图象，利用数形结合的方法是解答本题的关键．
53．(1)
(2)4
(3)存在，BF=或
【分析】（1）根据∠GHE=∠BHC，∠EGH=∠CBH，得证△HEG∽△HCB，根据面积之比等于相似比的平方，得到，结合EG=BE=AB-AE=2，计算即可．
（2）根据题意，EF=EH，根据折叠性质，等腰三角形三线合一性质，得FB=FG=GH，得到∠BHF=30°，结合EG=BE=AB-AE=2，计算即可．
（3）根据题意，当H在上方时，先计算BD，利用△HEG∽△BCD计算GH，再利用△HFB∽△BDC计算即可；当H在下方时，先计算BD，利用△HEG∽△BCD计算HE，BH，再利用△HFB∽△BDC计算即可．
【详解】（1）如图，
∵∠GHE=∠BHC，∠EGH=∠CBH，
∴△HEG∽△HCB，根据面积之比等于相似比的平方，
∴，
∵EG=BE=AB-AE=2，
∴．
．
（2）根据题意，EF=EH，
根据折叠性质，等腰三角形三线合一性质，得
FB=FG=GH，
∴∠BHF=30°，
∵EG=BE=AB-AE=2，
∴EH=4．
（3）∵ BC=5，DC=3，四边形ABCD是矩形，
∴BD==．
根据题意，得到CH⊥BD时，△HEG∽△BCD，
∴ ，
∴ ，
解得．
∵△HEG∽△HFB，
∴△HFB∽△BDC，
∴ ，
∴ ，
解得．
当H在下方时，
∵ BC=5，DC=3，四边形ABCD是矩形，
∴BD==．
根据题意，得到CH⊥BD时，△HEG∽△BCD，
∴ ，
∴ ，
解得,
∴．
∵△HEG∽△HFB，
∴△HFB∽△BDC，
∴ ，
∴ ，
解得．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定性质是解题的关键．
54．(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据，得到A（1，0），B（0，2），根据旋转的全等性质，得到OD=0B=2，从而得到D（-2，0），设抛物线解析式为y=a(x-1)(x+2)，把B的坐标代入解析式，确定a值即可；根据，得到，解得，
从而确定A（1，0），D（-4，0），根据旋转性质，得到OB=OD=4，继而得到B（0，4），设直线的解析式为y=kx+4，把点A的坐标代入计算得k值即可．
（2）根据，得到A（4，0），B（0，-4t），根据旋转的全等性质，得到OD=OB=|-4t|= -4t，从而得到D（4t，0），利用中点坐标公式G（2，-2t），H（2t，2），M（t+1，1-t），根据勾股定理，得到，求得t值，继而计算解析式即可．
（3）将向左平移个单位得到关联抛物线，确定交点A，D，B的坐标，设出关联抛物线的解析式，计算a值即可．
【详解】（1）解：∵，
当x=0时，y=2，
当y=0时，x=1，
∴A（1，0），B（0，2），
根据旋转的全等性质，得到OD=0B=2，
∴D（-2，0）．
设抛物线解析式为y=a(x-1)(x+2)，把B的坐标代入解析式，
得2=-2a，
解得a=-1，
∴；
∵，
∴，解得，
∴A（1，0），D（-4，0），
根据旋转性质，得到OB=OD=4，
∴B（0，4）．
设直线的解析式为y=kx+4，
把点A的坐标代入，得k+4=0，
解得k=-4，
∴y=-4x+4，
故答案为：；．
（2）解：∵，
∴A（4，0），B（0，-4t），
根据旋转的全等性质，得到OD=OB=|-4t|= -4t，
∴D（4t，0），
∵G为AB中点，H为CD的中点，连接GH，取GH中点M，
∴G（2，-2t），H（2t，2），M（t+1，1-t），
根据勾股定理，得到，
解得t=-2，t=2（舍去），
故t=-2，
∴A（4，0），B（0，8），D（-8，0），
设抛物线解析式为y=a(x-4)(x+8)，把B的坐标代入解析式，
得8=-32a，
解得a=，
∴．
（3）解：∵某直线的关联抛物线向右平移个单位得到抛物线，
∴将向左平移个单位得到关联抛物线，
∴，
∵＞0，
∴m＜0，
∴点A（m+n，0），D（2m，0），B（0，-2m），
解得a(m+n)=-1，
故答案为：a(m+n)=-1．
【点睛】本题考查了抛物线的解析式，一次函数的解析式即待定系数法，抛物线的平移，旋转的性质，中点坐标公式，熟练掌握待定系数法，中点坐标公式，抛物线平移的规律是解题的关键．
55．(1)见解析
(2)①的长为或；②
【分析】（1）根据，得出，通过得出即可证明；
（2）时间要到了白天通过题号做
【详解】（1）解：在点的运动过程中，与始终保持相似关系，理由如下：
在和中，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：①，
，
当点是线段的中点时，则，
设，则，
由（1）得，
，
即，
解得：，
故的长为或；
②1或。
【点睛】本题考查了相似三角形，解题的关键是通过相似三角形建立等式求解．
56．(1)见解析；
(2)①；②点Q的运动路径长为．
【分析】（1）证明即可解决问题；
（2）①如图，连接，作于，则四边形是矩形，利用面积法证明，利用勾股定理求出即可解决问题；
②过点作交于，延长交于，延长交于，连接，通过相似三角形的性质证明点的运动轨迹为平行于点的线段，为中边上的高的垂足，为中边上的高的垂足，再利用相似三角形的性质列出比例式即可求得结果．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由翻折可知：，
∴，
∴．
（2）①如图，连接，作于，则四边形是矩形，．
∵，，
∴，，
在中，∵，，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形的周长．
②过点作交于，延长交于，延长交于，连接，
又∵，，是平行四边形
易知，，，
由（1）知，，
∵，∴，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，即：
∴，即：，
∴
∴，
即：点的运动轨迹为平行于点的线段，为中边上的高的垂足，为中边上的高
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