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1.1.2空间向量及其数量积运算--自检定时练--详解版
单选题
1．在棱长均为1的平行六面体中，，，则（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】D
【分析】直接由公式即可建立方程求解.
【详解】
设，注意到，
所以，所以.
故选：D.
2．已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】C
【分析】由，利用向量数量积的运算律有，即可求与的夹角大小.
【详解】由题设，则，
所以，又，可得，即.
故选：C
3.如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且，则向量的模长为（ ）
A． B．34 C．52 D．
【答案】D
【分析】由，结合向量数量积的运算律求向量的模长.
【详解】由，又底面是正方形，，且，
所以，
故.
故选：D
4.在三棱锥中，为的中点，则等于（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．3
【答案】C
【分析】由题意可得，再由数量积的运算律代入求解即可.
【详解】因为，
所以，
，
，
因为，
.
故选：C.
5.在空间四边形中，等于（ ）
A． B．0 C．1 D．不确定
【答案】B
【分析】令，利用空间向量的数量积运算律求解.
【详解】令，
则，
，
.
故选：B
6.在空间，已知，为单位向量，且，若，，，则实数k的值为（ ）
A．6 B．－6
C．3 D．－3
【答案】A
【分析】由和的数量积为0，解出k的值.
【详解】由题意可得，，，
所以，即2k－12＝0，得k＝6.
故选：A
多选题
7.若、、是空间任意三个向量，，下列关系中，不恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】
根据数量积的运算律判断A、B，根据向量数乘的运算律判断C，利用反例说明D.
【详解】对于A：，则表示与向量共线的一个向量，
，则表示与向量共线的一个向量，
故A错误；
对于B：，，故B错误；
对于C：根据向量数乘的分配律知，故C正确；
对于D：若与不共线时，不存在使得，
且当，时与共线，但是也不存在使得，故D错误；
故选：ABD
8.（多选）如图，已知四边形ABCD为矩形，平面，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积为零的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】ABD
【分析】逐项判断各选项中向量对应的直线是否垂直即可解答.
【详解】对于A，由于平面，平面，则，
又，平面，则有平面，
而平面，则有，即向量 一定垂直，则向量 的数量积一定为0，故A正确；
对于B，由于平面，平面，则，
又，平面，则有平面，
而平面，则有，即向量 一定垂直，则向量 的数量积一定为0，故B正确；
因为，所以直线与所成的角为，显然，
则与的数量积不为0，故C错误.
对于D，由于平面，平面，则，即向量 一定垂直，则向量 的数量积一定为0，故D正确；
故选：ABD.
填空题
9.在长方体中，，，则向量在方向上的投影数量与向量在方向上的投影数量之和为 .
【答案】
【分析】根据数量积的定义结合空间向量的运算即可得结论.
【详解】
由图可知.向量 在方向上的投影数量为.
向量在方向上的投影数量为，
所以向量在方向上的投影数量与向量在方向上的投影数量之和为.
故答案为：.
10.如图所示，已知平面ABC，，，则向量在向量上的投影向量是 .
【答案】
【分析】
由余弦定理先求，再由投影向量的概念求解
【详解】在中，由余弦定理得，，
而平面ABC，，故，，
在中，，
即，得
故向量在向量上的投影向量是
故答案为：
11.已知空间向量、、的模长分别为、、，且两两夹角均为，点为的重心，则 ．
【答案】/
【分析】利用重心的几何性质结合空间向量的减法可得出，再利用空间向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】如下图所示：
因为为的重心，则，
可得，则，
所以，
，故.
故答案为：.
12..如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为
【答案】
【分析】由向量的线性表示，根据向量模长根式即可代入求解.
【详解】解：由条件，知，,
所以
，
所以,
故答案为：
13.已知空间三个向量,,的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°．若，则k的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用向量数量积运算求解.
【详解】因为，，的模均为1，他们之间的夹角均为，所以：，.
又
所以：或.
故答案为：
解答题
14.如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，.
(1)试用向量，，表示向量；
(2)若，，，求的值.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据向量的线性运算求出即可；
（2）根据向量的运算性质代入计算即可.
【详解】（1），
，
故
∵点E为AD的中点，
故.
（2）由题意得，
故，
故
.
15.如图所示，平行六面体中，，.
(1)用向量表示向量，并求；
(2)求.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据空间向量的线性运算，得到，结合向量的数量积的运算法则，即可求解；
（2）由空间向量的运算法则，得到，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】（1）解：根据空间向量的线性运算，可得，
可得
，
所以.
（2）解：由空间向量的运算法则，可得，
因为且，
所以
.
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1.1.2空间向量及其数量积运算--自检定时练--学生版
【1】知识清单
①夹角
定义 已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作＝，＝，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作〈，〉.
范围 〈，〉∈[0，π]．特别地：当〈，〉＝时，⊥.
②设向量为向量在向量上的投影向量，则
③数量积
概念 已知两个非零向量，，则||||cos〈，〉叫做，的数量积，记作·
几何意义 向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积.
运算律 数乘向量与向量数量积的结合律 (λ)·＝λ(·)
交换律 ·＝·
分配律 ·(＋)＝·＋·
性质 ①若，是非零向量，则⊥ ·＝0
②若与同向，则·＝||·||；若反向，则·＝－||·||.特别地，·＝||2或||＝
③若θ为，的夹角，则cos θ＝
④|·|≤||·||
⑤应用
距离或长度公式
夹角公式
【2】微型自检报告
完成时间 不会解答的题号 解答错误的题号 需要重点研究的题目
分钟
【3】自检定时练(建议40分钟)
单选题
1．在棱长均为1的平行六面体中，，，则（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
3.如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且，则向量的模长为（ ）
A． B．34 C．52 D．
4.在三棱锥中，为的中点，则等于（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．3
5.在空间四边形中，等于（ ）
A． B．0 C．1 D．不确定
6.在空间，已知，为单位向量，且，若，，，则实数k的值为（ ）
A．6 B．－6
C．3 D．－3
多选题
7.若、、是空间任意三个向量，，下列关系中，不恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8.（多选）如图，已知四边形ABCD为矩形，平面，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积为零的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
填空题
9.在长方体中，，，则向量在方向上的投影数量与向量在方向上的投影数量之和为 .
10.如图所示，已知平面ABC，，，则向量在向量上的投影向量是 .
11.已知空间向量、、的模长分别为、、，且两两夹角均为，点为的重心，则 ．
12..如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为
13.已知空间三个向量,,的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°．若，则k的取值范围为 ．
解答题
14.如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，.
(1)试用向量，，表示向量；
(2)若，，，求的值.
【分析】（1）根据向量的线性运算求出即可；
（2）根据向量的运算性质代入计算即可.
15.如图所示，平行六面体中，，.
(1)用向量表示向量，并求；
(2)求.
【4】核对简略答案,详解请看解析版！
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D A B A BD AD
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】/
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】(1)； (2)
15.【答案】(1)， (2)
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