期末综合复习试题 上学期初中数学人教版九年级上册

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期末综合复习试题 2024--2025学年
上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．下面的图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A．0或4 B．4或8 C．0 D．4
3．用配方法解方程x2﹣8x+2＝0，则方程可变形为（　　）
A．（x﹣4）2＝5 B．（x+4）2＝21 C．（x﹣4）2＝14 D．（x﹣4）2＝8
4．对于二次函数y＝4（x+1）（x﹣3）下列说法正确的是（　　）
A．图象开口向下
B．与x轴交点坐标是（1，0）和（﹣3，0）
C．x＜0时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴是直线x＝﹣1
5．如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A、B两点，若⊙O的直径为4，则弦AB长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
6．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为，则这个圆锥的底面半径为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在长为米、宽为米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为平方米，设道路的宽米，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．平面直角坐标系内有一点，将点P绕坐标原点逆时针旋转得到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．若二次函数y＝x2﹣mx的对称轴是x＝﹣3，则关于x的方程x2+mx＝7的解是（　　）
A．x1＝0，x2＝6 B．x1＝1，x2＝7 C．x1＝1，x2＝﹣7 D．x1＝﹣1，x2＝7
10．在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点顺时针方向旋转，同时每边扩大为原来的倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，，依次类推，则点的坐标为（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题
11．一个口袋中装有10个红球和若干个黄球．在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中红球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程20次，得到红球数与10的比值的平均数为0.4．根据上述数据，估计口袋中大约有 个黄球
12．关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是 ．
13．如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为 ．

14． 如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为 cm．
15．已知时，二次函数的图象如四个图之一所示，根据图象分析，的值等于 ．
16．如图，是正三角形，点A在第一象限，点、．将线段　绕点C按顺时针方向旋转至；将线段绕点B按顺时针方向旋转至；将线段绕点A按顺时针方向旋转至；将线段绕点C按顺时针方向旋转至；……以此类推，则点的坐标是 ．

三、解答题
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．已知关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)若方程的一个根是2，求的值；
(2)求的取值范围．
19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形
将先向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到点A、B、过C的对应点分别为点、、，画出平移后的；
将绕着坐标原点O顺时针旋转得到点、、的对应点分别为点、、，画出旋转后的；
求在旋转过程中，点旋转到点所经过的路径的长结果用含的式子表示
20．某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，根据测试结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题：
（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校九年级共有学生1200人，则估计该校“良好”的人数是 ；
（4）已知“不合格”的3名学生中有2名男生、1名女生，如果从中随机抽取两名同学进行体能加试，请用列表法或画树状图的方法，求抽到两名男生的概率多少？
21．如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
22．某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．
（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可以多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？
23．如图，已知点，，在抛物线上．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在直线上方的抛物线上是否存在一点，使得的面积为1？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．D
A. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C. 是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；
D. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确．
2．D
因为关于的一元二次方程有两个相等的实数根，所以，，所以．故选D．
3．C
解：x2﹣8x+2＝0，
x2﹣8x＝﹣2，
x2﹣8x+16＝﹣2+16，
（x﹣4）2＝14，
4．C
A. ∵a=4>0,图象开口向上,故本选项错误,
B. 与x轴交点坐标是（-1,0）和（3,0）,故本选项错误,
C. 当x＜0时，y随x的增大而减小,故本选项正确,
D.图象的对称轴是直线x=1,故本选项错误,
5．A
解：连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD．
∵∠P=30°，
∴∠D=∠P=30°．
∵AD是⊙O的直径，AD=4，∴∠ABD=90°，
∴AB=AD=2．
6．C
解：∵小正方形方格的边长为，
∴母线长为：，圆心角为，
∴扇形的弧长为：，
∵圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
∴，
解得：，
7．D
，即可求解．
解：如图，将小路平移至矩形的边上，
设小路宽为x，则种草坪部分的长为，宽为，
由题意建立等量关系得：
8．B
解：过点作轴，垂足为，过作轴，垂足为，
∵将点P绕坐标原点逆时针旋转得到的点，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵点在第二象限，
∴点的坐标为，
9．D
∵二次函数y=x2-mx的对称轴是x=-3，
∴，解得m= -6，
∴关于x的方程x2+mx=7可化为x2-6x﹣7=0，即（x+1）（x-7）=0，解得x1=-1，x2=7．
10．C
第一次旋转后，，点，
第二次旋转后，，点，
第三次旋转后，，点，
第四次旋转后，，点，
第五次旋转后，，点，
第六次旋转后，，点，
第七次旋转后，，点，
，
第七次旋转后，，
，点，
故选：．
11．15
解：∵小明通过多次摸球实验后发现其中摸到红色球的频率稳定在0.4，
设黄球有x个，
∴0.4（x+10）=10，
解得x=15．
故答案为：15
12．或1/1或
本题考查了一元二次方程的解，理解一元二次方程的解的概念是解题的关键，把代入方程即可求得k
把代入得，
解得，，
故答案为：或1．
13．
解：连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，
根据正方形的性质可得AB=BC=4，∠ABC=90°，可得AC是直径，AC=4，
即OE=OF=2，再由OM⊥EF，可得EM=MF，
根据等边三角形的性质可得∠GEF=60°，
在Rt△OME中，OE=2，∠OEM=∠CEF=30°，
求得OM=，EM=OM=，
由垂径定理的EF=．
故答案为：．

14．20
过O作OE⊥AB于E，根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长，设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到r，然后利用勾股定理计算出圆锥的高．
解：过O作OE⊥AB于E，∵OA=OB=60cm，∠AOB=120°，
∴∠A=∠B=30°，
∴OE=OA=30cm，
∴弧CD的长==20π（cm），
设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=20π，解得r=10，
∴圆锥的高==20（cm）．
故答案为：20．
15．
本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质逐一判断即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
解：第一张图和第二张图，因为对称轴为轴，所以，与矛盾；
第三张图，对称轴在轴右侧，则异号，因为，所以，符合条件；
∵抛物线过原点，则，
∴，
∵，
∴；
第四张图，对称轴在轴右侧，则异号，
∵，
∴，
而图中抛物线开口向下，，不符合条件；
故答案为：．
16．
首先画出图形，然后得到旋转3次为一循环，然后求出点在射线的延长线上，点在x轴的正半轴上，然后利用旋转的性质得到，最后利用勾股定理和含角直角三角形的性质求解即可．
如图所示，

由图象可得，点，在x轴的正半轴上，
∴．旋转3次为一个循环，
∵
∴点在射线的延长线上，
∴点在x轴的正半轴上，
∵，是正三角形，
∴由旋转的性质可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴同理可得，，，
∴，
∴，
∴，
∴由旋转的性质可得，，
∴如图所示，过点作轴于点E，

∵，
∴，
∴，
∴，，
∴点的坐标是．
故答案为：．
17．(1)，
(2)，
本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是：
（1）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可；
（2）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可．
（1）解：，
∴，
∴，即，
∴或，
∴，；
（2）解：，
∴，
∴或，
∴，．
18．(1)；
(2)且
本题考查的是一元二次方程根的判别式．
（1）把代入一元二次方程，求出的值即可；
（2）根据一元二次方程有两个实数根可知，求出的取值范围即可．
（1）解：把代入 得：，
解得；
（2）解：一元二次方程 有两个实数根，
，
解得．
19．画图见解析；画图见解析；（．
分别将点A、B、C的纵坐标加2，横坐标加4，即可得到、、的坐标，连接，，即可，
利用网格和旋转的性质画出即可，
利用勾股定理求出的长，再根据弧长公式即可求得答案．
根据题意得：，，，
连接，，如下图：
利用网格和旋转的性质画出如上图所示；
，
，
点旋转到点所经过的路径的长为：．
20．（1）；（2）补全条形统计图见详解；（3）510；（4）
（1）由乘以“优秀”的人数所占的比例即可；
（2）求出这次调查的人数为：(人)，得出及格的人数，补全条形统计图即可；
（3）由该校总人数乘以“良好”的人数所占的比例即可；
（4）画树状图，共有6种等可能的结果，抽到两名男生的结果有2种，则由概率公式计算即可．
解：（1）在这次调查中，“优秀”
所在扇形的圆心角的度数是：，
故答案为：；
（2）这次调查的人数为：(人)，
则及格的人数为：(人)，
补全条形统计图如下：
；
（3）估计该校“良好”的人数为：
(人)，
故答案为：510人；
（4）画树状图如图：
，
共有6种等可能的结果，
抽到两名都是男生的结果有2种，
∴抽到两名都是男生的概率为．
21．(1)证明见解析
(2)BD的长是．
本题主要考查了切线的判定，直径所对的圆周角是等角，等腰三角形的性质等等：
（1）如图：，然后根据等边对等角可得、即，再根据可得，进而得到即可证明结论；
（2）由直径所对的圆周角是等角得到，则由三线合一定理可得．
（1）证明：如图：连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵
∴．
22．（1）甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；（2）当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．
（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意列出方程，解方程即可得出结论；
（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，根据题意列出函数解析式，根据二次函数的性质求出函数的最值．
解：（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意得：
，
整理得：x2-18x+45=0，
解得：x=15或x=3（舍去），
经检验，x=15是原分式方程的解，符合实际，
∴x-5=15-5=10（元），
答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；
（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，由题意得：
w=（15-a）（100+20a）=-20a2+200a+1500=-20（a-5）2+2000，
∵a=-20，
当a=5时，函数有最大值，最大值是2000元，
答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．
23．(1)
(2)或，理由见解析
（1） 把A、B、C的坐标代入求解即可；
（2）先求出直线的解析式，设，则，可求，当的面积为1时，则，然后解方程即可求解．
（1）解：∵点，，在抛物线上，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
则，
∴，
∴直线的解析式为，
过P作轴，交于Q，
设，则，
∴，
∴，
当的面积为1时，，
解得，，
∴或，
∴存在点使得的面积为1．
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