T8联盟·2025届高三部分重点中学12月联合测试评数学试题（PDF版，含答案）

T8 联盟·2025 届高三部分重点中学 12 月联合测试评数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { |ln( 1) ≤ 0}， = { |0 ≤ 2 1 ≤ 2}，则 ∪ =( )
3 1 1 3
A. { |1 < ≤ } B. { | ≤ 2} C. { | ≤ ≤ 2} D. { | ≤ ≤ }
2 2 2 2
2.已知复数 满足(1 ) = 4 + ，则 的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
9
3.已知变量 和变量 的一组成对样本数据为( , )( = 1,2,3, ,8)，其中 = ，其回归直线方程为 = 2 8
1
，当增加两个样本数据( 1,5)和(2,9)后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估
4
计下，样本数据(4,10)所对应的残差为( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 1
4.若正整数 ， 满足等式20232025 = 2024 + ，且 < 2024，则 =( )
A. 1 B. 2 C. 2022 D. 2023
5.已知 ， 均为非零向量，其夹角为 ，则“cos = 1”是“| | = | | | |”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
1 1 1 1
6.已知等比数列{ }满足 + + = 14， 2 = ，记 为其前 项和，则 4 3 =( ) 1 2 3
7 7 7
A. B. C. D. 7
8 4 2
7.已知直线 经过抛物线 : 2 = 4 的焦点，且与抛物线交于 ， 两点，若使得 = + 成立的点 的
横坐标为3，则四边形 的面积为( )
A. 2√ 5 B. 3√ 5 C. 4√ 5 D. 5√ 5

8.如图，在三棱锥 中， = = = = 2，∠ = ∠ = ， ， ， 分别为 ， ，
2
上靠近点 的三等分点，若此时恰好存在一个小球与三棱锥 的四个面均相切，且小球同时还与平
第 1 页，共 10 页
面 相切，则 =( )
A. √ 6 + √ 2 B. √ 6 √ 2 C. √ 13 + 1 D. √ 13 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
2 +
A. 若 > 0，则 2 ≤ 1 B. 若 > > 0， > 0，则 > +1 +
1 1 1 1
C. 若 ≠ 0且 < ，则 > D. 若 > > 0，则 + > +

10.已知函数 ( ) = sin( + )( > 0,0 < < 2 )的部分图象如图所示，则( )
2
A. ( )在区间[ , ]上单调递增 B. ( )图象的一条对称轴方程为 =
3 6 3
11
C. ( )图象的一个对称中心为点( , 0) D. ( )在区间[0, ]上的值域为[1, √ 3]
12 4
11.甲同学想用一支铅笔从如下的直三棱柱的顶点 1出发沿三棱柱的棱逐步完成“一笔画”，即每一步均沿
着某一条棱从一个端点到达另一个端点，紧接着从上一步的终点出发随机选择下一条棱再次画出，进而达
到该棱的另一端点，按此规律一直进行，其中每经过一条棱称为一次移动，并随机选择某个顶点处停止得
到一条“一笔画”路径，比如“一笔画”路径 1 → 1 → 1 → →C.若某“一笔画”路径中没有重复经过
第 2 页，共 10 页
任何一条棱，则称该路径为完美路径，否则为不完美路径.下列说法正确的有( )
A. 若“一笔画”路径为完美路径，则甲不可能6次移动后回到点 1
19
B. 经过4次移动后仍在点 1的概率为 81
C. 若“一笔画”路径为完美路径，则5次移动后回到点 1有5条不同笔迹
1
D. 经过3次移动后，到达点 1的条件下经过点 的概率为 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 2
12.设 为双曲线 :
2
2 = 1( > 0, > 0)的左焦点， ， 分别为双曲线 的两条渐近线的倾斜角，已知

1
点 到其中一条渐近线的距离为2，且满足 = ，则双曲线 的焦距为 ．
5
13.某流水线上生产的一批零件,其规格指标X可以看作一个随机变量,且X~N(98, 2),对于X≥100的零件即为
不合格,不合格零件出现的概率为 0.05,现从这批零件中随机抽取 500个,用 Y 表示这 500 个零件的规格指标 X
位于区间(96,100)的个数,则随机变量 Y 的方差是 .
14.已知函数 ( ) = 1 log ( 1)(其中 > 0，且 ≠ 1)为其定义域上的单调函数，则实数 的取值范
围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
1+sin 1+sin
在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 = ．
cos cos
(1)判断△ 的形状;
(2)设 = 2，且 是边 的中点，求当∠ 最大时△ 的面积．
16.(本小题12分)
在四棱锥 中，底面 为直角梯形， // ， ⊥ ， ⊥平面 ， = = 2 =
第 3 页，共 10 页
4 ．
(1)求证：平面 ⊥平面 ;
(2) ⊥平面 于点 ，求二面角 的余弦值．
17.(本小题12分)

设函数 ( ) = ( )cos + 1．
2
(1)讨论函数 ( )在区间[0, ]上的单调性;
3
(2)判断并证明函数 = ( )在区间[ , ]上零点的个数．
2 2
18.(本小题12分)
已知过 ( 1,0)， (1,0)两点的动抛物线的准线始终与圆 2 + 2 = 9相切，该抛物线焦点 的轨迹是某圆锥
曲线 的一部分．
(1)求曲线 的标准方程;
(2)已知点 ( 3,0)， (2,0)，过点 的动直线与曲线 交于 ， 两点，设△ 的外心为 ， 为坐标原点，
问：直线 与直线 的斜率之积是否为定值，如果是定值，求出该定值;如果不是定值，说明理由．
19.(本小题12分)
为不小于3的正整数，对整数数列 0: 1， 2， ， ，可以做以下三种变换：
①将 1， 2， ， 中的 1减1， 2加1，其余项不变，称此变换为对 0做 1变换;
②取 ∈ {2, , 1}，将 1， 2， ， 中的 减2， 1， +1均加1，其余项不变，称此变换为对 0做 变
换;
③将 1， 2， ， 中的 减1， 1加1，其余项不变，称此变换为对 0做 变换．
将数列 0做一次变换得到 1，将数列 1做一次变换得到 2
例如： = 4时，对数列 0: 0， 1，1，0依次做 3， 4变换，意义如下：
先对 0做 3变换得到数列 1: 0，0， 1，1，再对 1做 4变换得到数列 2: 0，0，0，0．
第 4 页，共 10 页
(1) = 5时，给定数列 0: 0， 1，1，0，0，求证：可以对 0做若干次变换得到数列0，0，0，0，0;
(2) = 5时，求证：对任意整数数列 0: 1， 2， 3， 4， 5，若 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 0，则可以对 0做
若干次变换得到数列0，0，0，0，0;
(3)若将变换 ①中的 2改为 3，将变换 ③中的 1改为 2，在 = 10时，求证：对任意整数数列 0: 1，
2， ， 10，若 1 + 2 + + 10 = 0，且 1 + 3 + 5 + 7 + 9和 2 + 4 + 6 + 8 + 10均为偶数，则
可以对整数数列 0做若干次变换得到数列0 , 0 , ,0．
10个
第 5 页，共 10 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】8
13.【答案】45
14.【答案】[ , 1)
2 2
(sin +cos ) (sin +cos )
15.【答案】解：(1)由二倍角公式得 2 2 = 2 2
2
，
cos sin2 cos2 sin2
2 2 2 2

sin +cos sin +cos
∴ 2 2

=
2 2
整理得sin cos cos sin = 0，
cos sin cos sin 2 2 2 2
2 2 2 2

即sin( ) = 0．
2 2

∵ ， ∈ (0, )，∴ = 0，即 = ，
2 2
即△ 为等腰三角形．
(2)由(1)及题设，有 = = 2 ，
2 2 2
2
+
2 + 2
∴ cos∠ = = 4
2 2
3 2
+ 2
= 4
3 3 √ 3
= + ≥ 2√ = ，
2 8 2 8 2 2
√ 3
∴ ∠ ≤ ，当且仅当 = 时，等号成立．
6 2
√ 3
即∠ 的最大值为 ，此时由 = 可得△ 为直角三角形，∠ = ．
6 2 3
√ 3
又由(1)可得△ 为正三角形，∴△ 的面积 = × 22 = √ 3．
4
第 6 页，共 10 页
1
16.【答案】解：(1)在 △ 和 △ 中，tan∠ = = ，tan∠ = = 2，
2
∴ ∠ 与∠ 互余，即 ⊥ ．
又 ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ．
又 ， 平面 ， ∩ = ，
∴ ⊥平面 ．
又 平面 ，
∴平面 ⊥平面 ．
(2) ∵ ， ， 两两互相垂直，
∴分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系．
不妨设 = 1，则 (0,0,0)， (2,1,0)， (0,4,0)， (0,0,4)，
∴ = (2,1, 4)， = (0,4, 4)，
∵点 在平面 内，∴设 = + ，
则 = + + = (0,0,4) + (2,1, 4) + (0,4, 4) = (2 , + 4 , 4 4 4 )，
∵ ⊥平面 ， 、 平面 ，
∴ ⊥ ， ⊥ ，
12
= 21 + 20 16 = 0 = ,
∴ { 解得{ 17
= 20 + 32 16 = 0, 1 = ,
17
24 16 16 24 16 16∴ = ( , , )，即 ( , , )，
17 17 17 17 17 17
24
∴点 到平面 的距离 1 = ， 17
点 到棱 的距离 24 16 8√ 13 2 = √ ( )2 + ( )2 = ， 17 17 17
设二面角 大小为 ，可知 为锐角，
24 3√ 13
则sin = 1 = = ，
2 8√ 13 13
第 7 页，共 10 页
2√ 13
∴ cos = √ 1 sin2 = ，
13
即二面角 的余弦值为2√ 13．
13

17.【答案】解：(1) ′( ) = cos ( )sin ，且 ′( ) = 0，
2 2

当0 时，cos 0，( )sin 0，
2 2

从而 ′( ) = cos ( )sin 0，即此时函数 ( )在区间[0, ]上单调递增；
2 2

当 < 时，cos < 0，( )sin 0，
2 2

从而 ′( ) = cos ( )sin < 0，即此时函数 ( )在区间( , ]上单调递减，
2 2

所以综上所述，函数 ( )在区间[0, ]上单调递增，在区间( , ]上单调递减；
2 2

(2)因为 ( ) = 1 > 0，又 ( ) = + 1 < 0，且函数 ( )在区间[ , ]上单调递减，
2 2 2

所以函数 ( )在区间[ , ]上存在唯一的零点，
2
3
当 ∈ [ , ]时，记 ( ) = ′( ) = cos ( )sin ，从而 ′( ) = 2sin ( )cos ，
2 2 2
3
且此时sin 0，( )cos 0，所以 ′( ) > 0， ( ) = ′( )在区间[ , ]上单调递增，
2 2
3 3
( ) = 1 < 0， ( ) = > 0，所以存在 0 ∈ ( , )，使得 ( 2 2 0
) = 0，
且 ∈ ( , 0)时， ( ) = ′( ) < 0，即此时 ( )在区间( , 0)上单调递减；
3 3
∈ ( 0, )时， ( ) = ′( ) > 0，即此时 ( )在区间( 0, )上单调递增． 2 2

所以由 ( ) = + 1 < 0，得 ( 0) < 0，即函数 ( )在区间( , 2 0)上无零点；
3 3
而由 ( 0) < 0， ( ) = 1 > 0，即函数 ( )在区间( 2 0, )上有唯一的零点， 2
3
故函数 ( )在区间[ , ]上有2个零点．
2 2
18.【答案】解：(1)由题意知抛物线的焦点 到两定点 ， 的距离之和等于点 ， 到抛物线的准线的距离
之和，
等于 的中点 到准线的距离的2倍，即等于圆 2 + 2 = 9的半径的2倍，
∴ | | + | | = 6 > | | = 2，
∴点 在以 ， 为焦点的椭圆 上，
2 2
设椭圆 的标准方程为 2 + 2 = 1( > > 0)，则2 = 6，2 = 2，
第 8 页，共 10 页
∴ = 3， = 1，∴ 2 = 2 2 = 8，
2 2
∴曲线 的标准方程为 + = 1．
9 8
(2)设直线 : = + 2( ≠ 0)，
= + 2,
由{ 得(8 2 + 9) 2 + 32 40 = 0．
8 2 + 9 2 = 72,
32 40
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则 1 + 2 = 2 ， = ， 8 +9 1 2 8 2+9
1 3 1 1 1+3 的中点坐标为( , )， = ， 的垂直平分线的斜率为 ． 2 2 1+3 1
+3 3 +5 2 9
∴ 的垂直平分线方程为 = 1 ( 1 ) + 1，即 = 1 + 1 + 1，
1 2 2 1 2 1 2
2 2 2 9 9
由 1 + 1 = 1得 1 = ，
9 8 2 1 16
1
+5 1
∴ 的垂直平分线方程为 = 1 ．
16 11
+5 1
同理 的垂直平分线方程为 = 2 ．
2 16
2
+5 1
设点 ( 0, 0)，则 1， 2是方程 0 = 0 ， 16
即 2 + (16 0 + 16 0) + 80 0 = 0的两根，
32
1 + 2 = 16 0 16 0 = ,
∴ 8
2 +9
40
1 2 = 80 { 0
=
8 2 + 9

两式相除得 0
0 4 = ，∴ 0 = 5 ．
5 0 5 0
1
∴ = 5 = 5，即直线 与 的斜率之积为定值 5．
19.【答案】证明：(1)先对 0做 3变换得到数列 1：0，0， 1，1，0；
对 1做 4变换得到数列 2：0，0，0， 1，1；
对 2做 5变换得到数列 3：0，0，0，0，0，
因此对 0依次作 3、 4、 5变换得到数列0，0，0，0，0．
(2)首先，若对数列 0: 1， 2， 3， 4， 5依次做 +1， +2， ， 5( ∈ {1,2,3,4})变换，
得到的数列 加1， +1减1，其余项不变；
若对数列中 0: 1， 2， 3， 4， 5依次做 ， 1， ， 1( ∈ {1,2,3,4})变换，
得到的数列中 减1， +1加1，其余项不变．
因此可以通过若干次变换使得相邻两数一个加1，另一个减1，
第 9 页，共 10 页
所以可以通过若干次变换使得第一项变为0，第二项变为 1 + 2．
同样的可以通过若干次变换分别使得 2， 3， 4均变为0，此时即为0，0，0，0，0．
(3)记此时的变换 ①为 1，变换 ③为 10．
首先，记 1 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9， 2 = 2 + 4 + 6 + 8 + 10，
每次变换使得 1的值加2或减2或不变，
因此可以经过若干次变换使得 1 = 0，此时 2 = 0；
其次，对任意数列 0: 1， 2， ， 10依次做 1， ， ， +1变换，其中 ∈ {3,4, ,8}，
得到的数列中 减2， 2， +2均加1，其余项不变，记此变换为 ，
依次做 8， 9， 10变换，得到的数列中 9减1， 7加1，其余项不变，记此变换为 9，
此时 1， 3， 5， 7， 9只变换 1， 3， 5， 7， 9，且对 1， 3， 5， 7， 9规则同第(2)问，
且 1 = 0，
所以由(2)知：可以对 0做若干次变换，得到的数列中 1 = 3 = 5 = 7 = 9 = 0．
同理可以再对 0做若干次变换，得到的数列中 2 = 4 = 6 = 8 = 10 = 0，则此时得到数列0 , 0 , ,0．
10个
第 10 页，共 10 页