湖北省“云学名校联盟”2025届高三年级12月联考数学试题（PDF版，含答案）

湖北省“云学名校联盟”2025 届高三年级 12 月联考数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数 满足： = 1 2 ( 为虚数单位)，则| + | =( )
+2
A. 2√ 2 B. √ 5 C. √ 6 D. 2
2.已知集合 = { ∈ | 2 3 4 ≤ 0}， = { | = √ 1 ln( + 1)}，则 ∩ =( )
A. {1} B. { | 1 < ≤ 1}
C. {0,1} D. {0,1,2}
3.已知 = ( 1,2)， = (3,1)，则< ， >的余弦值等于( )
√ 10 √ 2 √ 10 3√ 10
A. B. C. D.
10 10 10 10
4.已知直线 : + + + 2 = 0与 2 + 2 = 9相交于 、 两点，| |的最小值为( )
A. 6 B. 2√ 2 C. 3 D. 4
5.数列{ }的首项 1 = 1， 是数列{ }的前 项积， +1 = 2
( ∈ )，则 2025 =( )
A. 21012×1014 B. 21012×1013 C. 21013×1014 D. 21010×1012
1
6.设 = √ 1.08 1， = ln1.04， = tan ，则( )
25
A. < < B. < < C. < < D. < <

cos ( ),1 < 2
7.已知函数 ( ) = { 2 ，若对任意的 ∈ [1, ]，都有| ( )| ≤ 4√ 3恒成立，则实数 的
2 ( ), 2
2
最大值为( )
44 28 40 32
A. B. C. D.
3 3 3 3
8.在正四棱柱 1 1 1 1中，高 1为底面边长二倍， 、 分别是棱 1、 的中点，过 、 的
平面 平分正四棱柱的体积，则平面 与面 所形成二面角的正弦值是( )
√ 6 √ 30 √ 5 2√ 2
A. B. C. D.
6 6 3 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项中正确的是( )
3 1
A. 已知事件 、 互斥， 、 至少有一个发生的概率为 ，且2 ( ) = ( )，则 ( ) =
4 4
B. 已知事件 、 满足 ( ) = 0.5， ( ) = 0.2，若 ，则 ( ) = 0.1
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C. 随机变量 的概率分布列为 ( = ) = cos ，( = 1,2)，其中 是常数，则 = √ 3 1
3
9
D. 有五个不同的科目，甲、乙两人分别选取三科进行学习，则两人选取的科目不完全相同的概率为
10
1
10.已知抛物线 : 2 = 的焦点坐标为( , 0)， 、 为 上两点， ( 1,0)， = (0 < < 1)，则( )
4
A. = 2
B. > 6
5 1
C. 若线段 的中点 的坐标为( , 0)，则 = 4 2
1 √ 2
D. 当 = 时，若 、 在 轴上方，则抛物线上存在三个不同的点 ，使得
2 △
=
32
11.已知定义在 上的函数 ( )，其导函数为 ′( )，下列说法正确的是( )
5 1
A. 若 (1) = ，且 ′( ) < 2，则不等式 ( ) < 2 + 的解集为( ∞, 1)
2 2
B. 若 (1) = 5，且 ( ) > 3 ′( )，则不等式 ( ) > 3 + 2 的解集为(1, +∞)
C. 若 ( )为奇函数，当 > 0时， ( )图像连续且有 ( ) + ln ′( ) < 0成立，则不等式(9 2 1) ( ) > 0
1 1
解集为( ∞, ) ∪ (0, )
3 3

D. 若 ( ) ( ) = 2sin ，且当 > 0时， ′( ) cos < 0.则不等式 ( ) ( ) < 0的解集为( , +∞)
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设集合 = {1,2,3,4}， 为集合 的非空子集，且 中所有元素之和为偶数，则满足条件的集合 的个数
为 ．
13.已知函数 ( ) = |lg( 1)|，满足 ( ) = ( )，且 ≠ ，则 + 4 的最小值为 ．
2 2
14.已知 、 是双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右顶点，点 在 右支上，在△ 中，∠ = 135
，

| | + | | = √ 2| |，则双曲线 的离心率为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题12分)
如图，四边形 是边长为2的正方形， ⊥平面 ， // ， = 2 = 2
(1)求证： //平面 ;
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
16.(本小题12分)
已知函数 ( ) = ln ， ′( )是 ( )导函数，设0 < < ．
(1)讨论 (1 ) + ( )的单调性;
(2)证明：( ) ′( ) < ( ) ( ) < ( ) ′( )．
17.(本小题12分)
在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 cos + √ 3 sin = +
(1)求角 ;
(2)已知 = √ 3，角 的角平分线交 于 点，求 长度的最大值．
18.(本小题12分)
2
已知椭圆 : + 2 = 1，其左、右顶点分别为 ， ，点 是直线 = 4上的一动点，直线 ， 分别交椭
4
圆 于 ， 两点( 在 下方)，设直线 ， 的斜率分别为 1， 2．

(1)求 1的值;
2
(2)设直线 = 4交 轴于 点，连接 交椭圆 于 点，当 ， 两点关于原点对称时，求三角形 的面积．
19.(本小题12分)
已知数列 : 1， 2， 3， 为实数数列，
令 ( , ) = + +1 + +2 + + ，(1 ≤ ≤ , , ∈
)，称 ( , )为 连续可表数，当 = 时，记 ( , ) = ．
(1)已知数列 : 1， 2，3.将所有的 连续可表数 ( , )，所形成的集合记作 ( )，求出 ( )，并给出一个与
数列 不同的数列 ，使得 ( ) = ( );
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(2)已知有穷整数数列 : 1， 2， 3， 20， ∈ {1,2,3 10}，且满足：若 为奇数时， ( ,21 ) ≥ 1;若 为偶
数时， ( ,21 ) ≤ 1，求| 1| + | 2| + | 20|的最小值;
(3)已知无穷实数数列 : 1， 2， 3， ，对于给定的正整数 ，若数列 满足： ( , + ) = (2 + 1)
对任意的正整数 ( > )恒成立，则称数列 为 连续可表数列，证明：若“数列 既是2 连续可表数列，
又是3 连续可表数列”，则数列 为等差数列．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】7
13.【答案】9
2√ 14
14.【答案】
7
15.【答案】解：(1)由题： // ， 平面 ， 平面 ，∴ //平面 ，
// ， 平面 ， 平面 ，∴ //平面 ，
又∵ ∩ = ， ， 平面 ，∴平面 //平面 ，
又 平面 ，∴ //平面 ；
(2)由题： ⊥平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以： ⊥ ， ⊥ ，
又 ⊥ ， ， 平面 ， ∩ = ，则 ⊥平面 ，
以点 为原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴、建立如图所示得直角坐标系，
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则 (0,0,0)， (2,0,0)， (0,0,2)， (2,2,1)，
由 ⊥平面 ，得平面 得法向量为 = (2,0,0)，
= ( 2,0,2)， = (0,2,1)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 2 + 2 = 0
则{ ，
= 2 + = 0
1 1
取 = 1，则 = 1， = ，所以 = (1, , 1)，
2 2
设平面 与平面 所成的锐二面角为 ，
| | |2| 2
则cos = |cos | = = =| || | 1 3． 2√ 1+ +1
4
2
∴平面 与平面 所成的夹角的余弦值为 ．
3
16.【答案】解：(1) ( ) = (1 ) + ( ) = ln(1 ) + ln( )，则0 < < 1，
1 1 2 1 1
′( ) = + = > 0可得0 < < ，
1 ( 1) 2
1 1
即 ( )在(0, )上单调递增，在( , 1)上单调递减；
2 2
1 1 1
(2) ′( ) = ，则原式等价于( ) < ln ln < ( ) 1 < ln < 1，

1
令 = ( > 1) 证明1 < ln < 1，

1 1
①令 ( ) = ln + 1， (1) = 0， ′( ) = 1 = < 0， ( )在(1, +∞)上单调递减， ( ) < (1) = 0，

∴ ln < 1；
1 1 1 1
②令 ( ) = ln + 1， (1) = 0， ′( ) = 2 = 2 > 0， ( )在(1, +∞)上单调递增， ( ) > (1) = 0，
1
∴ ln > 1 ．

1
综上：当 > 1，1 < ln < 1，此题得证．

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17.【答案】解：(1) ∵ cos + √ 3 sin = + ，
∴ sin cos + √ 3sin sin = sin + sin = sin( + ) + sin = sin cos + cos sin + sin ，
1
∴ √ 3sin sin = sin cos + sin √ 3sin = cos + 1 sin( ) = ，
6 2
5
∵ 0 < < ， < < ，∴ = = ．
6 6 6 6 6 3
(2)由于 △ = △ + △ ，
1 1 1
∴ sin = sin + sin ，
2 3 2 6 2 6
1 1 1
∴ sin = sin + sin ，
2 3 2 6 2 6
√ 3
∴ √ 3 = ( + ) = ．
+
√ 3
由正弦定理： = = =
sin sin sin
= 2 = 2sin ， = 2sin ，
sin
3
1 √ 3
√ 3 4√ 3sin sin 2√ 3sin sin( + ) 2√ 3sin ( sin + cos )3 2 2则 = = =
+ 2(sin +sin ) sin +sin ( + ) 1 √ 3
3 sin +( sin + cos )2 2
1 2 √ 3 1
2 + √ 3 + 2 + ( 2 )
= = 2 2 = 2 6
√ 3 1
+ ( + ) ( + )
2 2 6 6
5
令 + = ，则2 = 2 ， < < ，
6 6 2 6 6
1 1 1
+sin(2 ) +sin(2 ) cos2
则2 6 = 2 2
1
= 2 = 2sin ，
sin( + ) sin sin 2sin
6
1 1 3
∴ < sin ≤ 1 0 < 2sin ≤ ，
2 2sin 2
2√ 3 3
即： < ≤ ，
3 2
3
故： 长度的最大值为 ．
2
18.【答案】解(1)由题： ( 2,0)， (2,0)，设点 (4, 0)，

则 0 0 0 01 = = = = ， = = = = ， 4+2 6 2 4 2 2

∴ 1
1
= ，
2 3
(2)由题：设直线 的方程为： = + 4，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)
= + 4
联立方程：{ ( 2 + 4) 2 + 8 + 12 = 0,

+ 2 = 1
4
= 64 2 48( 2 + 4) = 16 2 192 > 0 2 > 12 > 2√ 3，
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8 12 3
由韦达定理可得： 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 1 2 = ( + )， +4 +4 2 1 2
由图形的几何性质：四边形 为平行四边形，故 A // = ，
1 1 3 3 由(1)可知 = = 3
1 2 1 2
3
= =
2 1 2 2 2 1+2 2+2
3 3
∴ 1 2 + 2 1 = 3 1 2 + 6 2 1 3 2 = 1 2 = ( 2 1 + 2)，∴ 1 = 5 2，
8 12
又因为 1 + 2 = 2
， =
+4 1 2 2
+4
解方程可得： = ±4，由于 在下方，故 = 4，
3
∴ = 4， 2 = 1， 1 = ， 5
1 2
∴ △ = △ △ = | 1 2|| | = | 1 2| = 2 5
19.【答案】解：(1) ( ) = {1, 2,3, 1,2}，例如 : 3， 2，1．
(2)当 = 1， (1,20) = 1 + 2 + + 19 + 20 ≥ 1 ①
当 = 2， (2,19) = 2 + 3 + + 18 + 19 ≤ 1 ②
由 ① ②可得： 1 + 20 ≥ 2，即| 1 + 20| ≥ 2，
同理可得当 = 3， (3,18) = 3 + 4 + + 17 + 18 ≥ 1 ③
由 ② ③可得： 2 + 19 ≤ 2，即| 2 + 19| ≥ 2，
同理可得如下结论：
当 = 3， = 4，可得| 3 + 18| ≥ 2，
当 = 4， = 5，可得| 4 + 17| ≥ 2，
当 = 5， = 6，可得| 5 + 16| ≥ 2，
当 = 6， = 7，可得| 6 + 15| ≥ 2，
当 = 7， = 8，可得| 7 + 14| ≥ 2，
当 = 8， = 9，可得| 8 + 13| ≥ 2，
当 = 9， = 10，可得| 9 + 12| ≥ 2，
另外当 = 10时， (10,11) = 10 + 11 1，得到| 10 + 11| ≥ 1，
∴ | 1| + | 2| + | 20| ≥ | 1 + 20| + | 2 + 19| + + | 9 + 12| + | 10 + 11| ≥ 9 × 2 + 1 = 19．
(3)证明：若数列 是3 连续可表数列，则对 ≥ 4，均有：
( 3, +3) = 3 + 2 + 1 + + +1 + +2 + +3 = 7 ①
若数列 又是2 连续可表数列，此时均有：
( 1 2, 1+2) = 3 + 2 + 1 + + +1 = 5 1 ②
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( +1 2, +1+2) = 1 + + +1 + +2 + +3 = 5 +1 ③
② + ③ ①可得： 1 + +1 = 2 ，即数列从第三项开始是等差数列，设公差为 ，
又∵ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 5 4，
∴ 2 = 5 4 ( 3 + 4 + 5 + 6) = 5( 3 + ) ( 3 + 3 + + 3 + 2 + 3 + 3 ) = 3 ，
∴数列从第二项开始是等差数列，
又∵ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 5 3，
∴ 1 = 5 3 ( 2 + 3 + 4 + 5) = 5( 2 + ) ( 2 + 2 + + 2 + 2 + 2 + 3 ) = 2 ，
∴数列从第一项开始是等差数列
综上：若“数列 既是2 连续可表数列，又是3 连续可表数列”，则数列 是等差数列．
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