2024-2025学年广东省东莞市五校高二上学期第二次联考数学试题（含答案）

2024-2025学年广东省东莞市五校高二上学期第二次联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.若直线是圆的一条对称轴，则( )
A. B. C. D.
3.抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
4.若空间中三个点，则直线与直线夹角的余弦值是( )
A. B. C. D.
5.由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知两条直线与被圆截得的线段长均为，则圆的面积为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆的右焦点为是椭圆上任意一点，点，则的周长的最大值为( )
A. B. C. D.
8.如图所示，，是双曲线：的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于，两点．若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.过点且与两点距离相等的直线方程 ( )
A. B. C. D.
10.已知圆，则下列命题正确的是( )
A. 圆心坐标为
B. 圆与圆有三条公切线
C. 直线与圆相交所得的弦长为
D. 若圆上恰有三个点到直线的距离为，则或
11.人教版选择性必修第一册在椭圆章节的最后用信息技术探究点的轨迹：椭圆中探究得出椭圆上动点到左焦点的距离和动点到直线的距离之比是常数已知椭圆：，为左焦点，直线：与轴相交于点，过的直线与椭圆相交于，两点点在轴上方，分别过点，向作垂线，垂足为，，则( )
A. B.
C. 直线与椭圆相切时， D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线的一条渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线的标准方程为 ．
13.已知空间向量，且，则 ．
14.如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆的左、右焦点为，，为椭圆上不与顶点重合的任一点，为的内心，记直线，为坐标原点的斜率分别为，，若，则椭圆的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
求顶点的坐标；
求直线的方程．
16.本小题分
如图，在斜三棱柱中，侧面是菱形，，在平面中，，且，．
求证：面面；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知，动点满足到两点的距离之比为，记动点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
若直线与曲线交于两点，求的取值范围．
18.本小题分
已知点是离心率为的椭圆：上的一点．
求椭圆的方程；
点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值若不是，请说明理由；
斜率为的直线交椭圆于、两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．
19.本小题分
直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族不包括直线轴，直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．
圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式；
若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围及直线族的包络曲线的方程；
在的条件下，过直线上的动点作曲线的两条切线，切点分别为，求原点到直线的距离的最大值．
参考答案
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15.解：
由题知，，在直线上，
设，
则，解得
即点坐标为．
设，
则，解得，即，
所以直线的方程为，
即．


16.解：证明：取的中点，连接，，
由勾股定理得：，，
，，
，，、面，
面，
面，
面面．
过点，作，所以，
分别以，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
由已知得，，，，，
设面的法向量为，
则
令，解得，，，
又，设为直线与平面所成角的平面角，
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：
设，，
由题意可得，两端同时平方得，
故，化简得．
故曲线的方程为：．
直线：，即，
令，解得
故直线过定点．
代入点到圆的方程：，
故点在圆的内部．
设圆心到直线的距离为，又，
所以．
又因为，，
所以，解得．
故的取值范围为：．

18.解：，，
将代入椭圆方程得，
所以椭圆方程为；
依题意得在椭圆上，
直线和的斜率都存在且不为，
设，所以，
，
，
所以直线和的斜率之积为定值；
设直线的方程为，，
由消去，整理得，
，则，
则，
，
点到直线的距离为，
，
当，即时面积最大，且最大值为，
此时直线的方程为．
19.解：
由题可得，直线族为圆的切线，
故满足，
所以满足．
将点代入，可得关于的方程，
因为点不在直线族上，
故方程无实数解，
所以，那么，故，
因为区域的边界为抛物线，
下证：是的包络曲线．
证明：联立直线与，可得，
所以，
故直线族：为抛物线的切线．
因此直线族的包络曲线的方程为．
由得曲线的方程为，
设在直线上，
则，即．
设，
易知直线的斜率存在，设直线的方程为，
与联立，可得，
即．
因为直线与相切，
所以，即．
因为，所以，，解得．
所以直线的方程为，化简得，
同理可得直线的方程为．
因为点在切线上，所以
所以直线的方程为，即．
将代入，
得，化简得．
则原点到直线的距离．
设，则，
所以，
所以．
当时，，则重合，不符合题意，
所以，
所以．
令，则．
对于二次函数，其对称轴为，
则时，的最小值为，
所以有最大值，则的最大值为．

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