2024-2025学年安徽省宿州市省、市示范高中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省宿州市省、市示范高中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为( )
A. B. C. D.
2.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，且与互相垂直，则的值是( )
A. B. C. D.
4.圆与直线相交所得弦长为( )
A. B. C. D.
5.已知圆经过两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是( )
A. B.
C. D.
6.无论为何值，直线过定点( )
A. B. C. D.
7.已知是圆：的直径，，是圆上两点，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.如图，正四棱锥的棱长均为，，分别为，的中点，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，正确的是( )
A. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则
B. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 平面的一个法向量为，点，在平面内，则点也在平面内
D. 若直线经过第三象限，则，
10.点在圆：上，点在圆：上，则( )
A. 的最小值为
B. 的最大值为
C. 两个圆心所在直线的斜率为
D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为
11.如图，边长为的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点，分别在正方形对角线和上移动，且，则下列结论中正确的有( )
A. ，使
B. 线段存在最小值，最小值为
C. 直线与平面所成的角恒为
D. ，都存在过且与平面平行的平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点且与直线垂直的直线方程为______．
13.若圆上恰有个点到直线的距离等于，则实数 ______．
14.如图，某空间几何体由一个直三棱柱和一个长方体组成，若，，，，，分别是棱，，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在边长为的等边中，是边上的高，，分别是和边的中点，现将沿翻折使得平面平面，如图．
求证：平面；
若为的中点，求点到平面的距离．
16.本小题分
若直线过，且在，轴上的截距相等，求直线的方程．
已知直线：，直线：，且，求与间的距离．
17.本小题分
已知的三个顶点分别为，，，直线经过点．
求外接圆的方程；
若直线与圆相交于两点，且，求直线的方程．
18.本小题分
如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，，，为与的交点设．
用表示；
求对角线的长；
求的值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
在棱上是否存在点，使得平面与平面所成角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：证明：，分别是和边的中点，
，又平面，平面，
平面；
建系如图，则根据题意可得：
，，，，
，
设平面的法向量为，
则，，取，
点到平面的距离为．
16.解：当直线在，轴上的截距不为且相等时，设直线的方程为，
将代入，得，解得，
故直线的方程为，即；
当直线在，轴上的截距均为时，设直线的方程为，
将代入，得，解得，，即；
综上，直线的方程为或；
因为，所以，解得；
则直线的方程为，即；
所以与之间的距离为．
17.解：因为，，，
所以，，
所以，
所以，
又因为，
所以是等腰直角三角形，
所以的圆心是的中点，
即圆心，半径，
所以的方程为；
因为圆的半径为，
当直线截圆的弦长为时，
圆心到直线的距离为，
当直线与轴垂直时，此时直线斜率不存在，直线为 ，与圆心的距离为，满足条件；
当直线的斜率存在时，设，即，
则圆心到直线的距离为，
解得，
此时直线的方程为，
即，
综上可知，直线的方程为 或．

18.解：连接，，如图，
，
，
为线段的中点，，
．
以顶点为端点的三条棱长都是，，，
．
由知，，，
，
，即对角线的长为．
由知，，
，，
，
．
19.证明：平面平面，且平面平面，
且，平面，
平面，
平面，，
又，且，，平面，
平面；
解：取中点为，连接，，
又，则，
，，则，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则平面的一个法向量．
设与平面的夹角为，
则；
解：存在点，使得平面与平面所成角余弦值为，此时，理由如下：
假设在棱上存在点点，使得平面与平面所成角余弦值为．
设，
由知，，，，，
，
，得，
，
设平面的一个法向量为，
则有，即，令，则，
由得平面的一个法向量为，
设平面与平面所成角为，
，
，解得舍去，，
此时．
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