2024-2025学年广东省广州市华侨中学三校联考高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省广州市华侨中学三校联考高二（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知空间向量，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
3.求圆的圆心到的距离( )
A. B. C. D.
4.有位男生和位女生在周日去参加社区志愿活动，从该位同学中任取人，至少有名女生的概率为( )
A. B. C. D.
5.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是”，表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是”，表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是”，则( )
A. 与互斥 B. 与互为对立 C. 与相互独立 D. 与相互独立
6.已知空间任意一点，，，，四点共面，且任意三点不共线，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知点在圆外，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”如图，在斜坐标系中，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距，分别作为点的坐标和坐标，记若斜坐标系中，轴正方向和轴正方向的夹角为，则该坐标系中和两点间的距离为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的有( )
A. 两平行线间的，距离为
B. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线有两条
C. 直线的方向向量可以是
D. 直线与直线平行，则或
10.已知事件，发生的概率分别为，，则( )
A. B.
C. 若与相互独立，则 D. 一定有
11.如图，点是棱长为的正方体的表面上一个动点，则( )
A. 当在平面上运动时，三棱锥的体积为定值
B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C. 若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是
D. 使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点，，在圆上，则该圆的标准方程为______．
13.在棱长为的正四面体中，是的中点，则 ______．
14.甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
直线经过两直线：和：的交点．
若直线与直线垂直，求直线的方程；
若点到直线的距离为，求直线的方程．
16.本小题分
已知圆心为的圆经过点和点两点，且圆心在直线上．
求圆的标准方程；
已知线段的端点的坐标，另一端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程．
17.本小题分
质量监督局检测某种产品的三个质量指标，，，用综合指标核定该产品的等级．若，则核定该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取件产品作为样本，其质量指标列表如表：
产品编号
质量指标
产品编号
质量指标
利用表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
在该样品的一等品中，随机抽取件产品，设事件为“在取出的件产品中，每件产品的综合指标均满足”，求事件的概率．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，二面角的大小为．
求证：平面；
若，点为线段上的点，若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度．
19.本小题分
在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是，且它们所在平面互相垂直，活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，活动弹子在上移动．
求证：直线平面；
为线段上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值．
参考答案
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15.解：联立方程组，
解得，
所以交点坐标为，
又因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
则直线的方程为，即；
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足点到直线的距离为；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则点到直线的距离为，
解得，
故直线的方程为，即，
综上可得，直线的方程为或．
16.解：由圆心在直线上，可设圆心的坐标为，
再根据圆经过点和点，可得，
即，解得，，
可得圆心的坐标是，，
圆的标准方程为；
设，，
线段的中点是，
由中点公式得，，
在圆上，，即．
17.解：根据题意，计算件产品的综合指标，如下表：
产品编号
其中的有，，，，，共件，故该样本的一等品率为，
从而估计该批产品的一等品率为．
在该样本的一等品中，随机抽取件产品的所有可能结果为：，，，，，
，，，，，
，，，，共种．
在该样本的一等品中，综合指标均满足的产品编号分别为，，，
则事件发生的所有可能结果为，，，共种，
所以．
18.证明：在四棱锥中，
因为平面平面，平面平面 ，，平面，
所以平面．
又，平面，所以， ．
所以为二面角的平面角，所以，
又为等边三角形，，所以 ．
又平面，平面，
所以 平面．
解：取的中点，连结则，又 ，所以．
又平面，平面，所以，所以，，两两垂直．
以为坐标原点，的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设，得，
所以，
设平面的法向量为，
则，即
不妨令，可得为平面的一个法向量，
设直线与平面所成的角为，
则，，解得，
所以的长为．

19.解：证明：在平面内，过点作，交于点，连接，，
由，得，而，，
则，，，于是，
又，则，而平面，，平面，
因此平面，
同理平面，又平面，平面，，
则平面平面，而平面，
所以直线平面．
由平面平面，平面平面，，
平面，得平面，又，
以点为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，设，，
，，，
设是平面的法向量，
则，则，
取，得，
设与平面所成的角为，
则，
当时，；
当时，，
而，当且仅当，
即时取等号，则，
因此，，
所以与平面所成角的正弦值的最大值为．
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