2023-2024学年四川省宜宾六中高三（上）期末数学试卷（文科）（PDF版，含答案）

2023-2024 学年四川省宜宾六中高三（上）期末数学试卷（文科）
一、单选题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.设全集 = { 2, 1,0,1,2]，集合 = { 1,0,1}， = { | = 2 , ∈ }，则 ∩ =( )
A. { 2,0,2} B. { 1,0,1} C. { 1,1} D. {0}
2.若 (1 + ) = 2 ，则复数 的共轭复数在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.命题 ： ∈ ，2 + 2 + 1 > 0，则 为( )
A. ∈ ，2 + 2 + 1 ≤ 0 B. ∈ ，2 + 2 +1 < 0
C. ∈ ，2 00 +
2
0
0 2
0 +1 < 0 D. 0 ∈ ，2 + 0 0 + 1 ≤ 0
4.甲、乙两人进行了10轮的投篮练习，每轮各投10个，现将两人每轮投中的个数制成如图所示折线图.下列
说法正确的是( )
A. 甲投中个数的平均数比乙投中个数的平均数小
B. 甲投中个数的中位数比乙投中个数的中位数小
C. 甲投中个数的标准差比乙投中个数的标准差小
D. 甲投中个数的极差比乙投中个数的极差大
5.一个不透明的袋中装有2个红球，2个黑球，1个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中一次性
随机抽取3个球，则“这3个球的颜色各不相同”的概率为( )
1 3 3 2
A. B. C. D.
2 10 5 5

6.记 为等差数列{ }的前 项和，
5 + 9 = 12，则 7 =( ) 5 9
A. 24 B. 42 C. 64 D. 84
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7.已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边落在直线 = 3 上，则 2 =( )
3 2 3 4
A. B. C. D.
4 3 5 5
8.平行四边形 中， = 4， = 2， = 4，点 是边 的一个四等分点(靠近 点)，则
的值是( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
9.若函数 ( ) = 3 + 2 2 3 + 3 在(0,1)上存在极小值点，则实数 的取值范围是( )
A. ( 1,+∞) B. (1,+∞) C. [0,+∞) D. ( 1,0]
2
10.已知 为坐标原点，双曲线 ： 2
2 = 1( > 0)，过双曲线 的左焦点 作双曲线两条渐近线的平行线，

与两渐近线的交点分别为 ， ，若四边形 的面积为1，则双曲线 的离心率为( )
√ 5
A. √ 2 B. 2√ 2 C. 2 D.
2
11.如图，正方体 1 1 1 1，点 在 1上运动(不含端点)，点 是 上一点(不含端点)，设 与平
面 1所成角为 ，则 的最小值为( )
1 √ 3 √ 5 √ 6
A. B. C. D.
3 3 3 3
12.过抛物线 2 = 4 焦点 的直线交抛物线于 、 两点，交其准线于点 ，且 、 位于 轴同侧，若| | =
2| |，则| |等于( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.已知直线 1： + 1 = 0，直线 2：4 + 2 = 0，若 1// 2，则 = ．
14.若函数 ( ) = 2 + ln( + 1)是偶函数，则实数 的值为______．
15.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ( + ) = 2 ， = 2，则 = ______．
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16.已知定义在( 3,3)上的函数 ( )满足 ( ) = 2 ( )， (1) = 1， ′( )为 ( )的导函数，当 ∈ [0,3)时，
′( ) > ( )，则不等式 (1 ) > 1的解集为______．
三、解答题：本题共 7 小题，共 82 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
四户村民甲、乙、丙、丁把自己不宜种粮的承包土地流转给农村经济合作社，甲、乙、丙、丁分别获得所
有流转土地年总利润7%，7%，10%，6%的流转收益.该土地全部种植了苹果树，2022年所产苹果在电商平
台销售并售完，所售苹果单个质量(单位： ，下同)在区间[100,260]上，苹果分装在 ， ， ， 4种不同
的箱子里，共5000箱，装箱情况如下表 .把这5000箱苹果按单个质量所在区间以箱为单位得到的频率分布直
方图如图．
苹果箱种类
每箱利润(元) 40 50 60 70
苹果单个质量区间 [100,140) [140,180) [180,220) [220,260]
(1)根据频率分布直方图，求 和甲、乙、丙、丁2022年所获土地流转收益(单位：万元)；
(2)在甲、乙、丙、丁中随机抽取2户，求这2户中恰有1户2022年土地流转收益超过2万元的概率．
18.(本小题12分)
如图，三棱柱 1 1 1中，△ 1 1 1与△ 1 1均是边长为2的正三角形，且 1 = √ 6．
(Ⅰ)证明：平面 1 1 ⊥平面 1 1 1；
(Ⅱ)求四棱锥 1 1 的体积．
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19.(本小题12分)

已知数列{ }的前 项和为 ， 1 = 1， 2 = 3且数列{
}为等差数列．
+1
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)定义：[ ]表示不超过 的最大整数.设 = [log2 ]，求数列{ }的前114项和 114．
20.(本小题12分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的焦距是2√ 2，长轴长为4．
(1)求椭圆 的方程；
(2) ， 是椭圆 的左右顶点，过点 ( √ 2, 0)作直线 交椭圆 于 ， 两点，若△ 的面积是△ 面
积的2倍，求直线 的方程．
21.(本小题12分)
1
已知 ( ) = + 2 2 ( ∈ 且 ≠ 0)在(0,+∞)上单调递增， ( ) = + ．
2
1
(1)当 取最小值时，证明 ( ) ≤ 2 1恒成立；
2
1 ( )
(2)对 1 ∈ [ , ]， 2 ∈ [ , ]，使得
2 ≤ ( 1)成立，求实数 的取值范围． 2
22.(本小题10分)
= √ 3 在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为{ ( 为参数)，以坐标原点为极点， 轴的非负半
= 3 √ 3
轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为3 2 + 2sin2 = 12．
(1)求直线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；
(2)若 (1,0)，直线 与曲线 交于 ， 两点，求| |+ | |的值．
23.(本小题12分)
已知函数 ( ) = | 8| + | + 5|．
(1)求 ( )的最小值，并指出此时 的取值范围；
(2)证明： ( ) < 14等价于| 8 + + 5| < 14．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】 2
1
14.【答案】
4
15.【答案】2
16.【答案】( 2,0) ∪ (2,3)
1
17.【答案】解：(1)由图知 = 0.0025 0.0050 0.0100 = 0.0075，
40
根据表和图得2022年这批流转土地总利润为：
5000× 40(0.0050× 40 + 0.0075× 50 + 0.0100× 60 + 0.0025× 70) = 27万元，
所以甲、乙2022年所获土地流转收益均为27 × 7% = 1.89万元，丙2022年所获土地流转收益为27 × 10% =
2.7万元，丁2022年所获土地流转收益为27 × 6% = 1.62万元；
(2)在甲、乙、丙、丁中随机抽取2户，所有可能结果为：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁6个结果情
况，
其中甲丙，乙丙，丙丁中恰有1户土地流转收益超过2万元，
设事件 表示“这2户中恰有1户2022年土地流转收益超过2万元”，
3 1
则 ( ) = = ，
6 2
1
所以这2户中恰有1户2022年土地流转收益超过2万元的概率为 ．
2
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18.【答案】解：(Ⅰ)证明：取 1 1中点 ，连接 ， 1 ，如图，
∵三棱柱 1 1 1中，△ 1 1 1与△ 1 1均是边长为2的正三角形，且 1 = √ 6，
∴ 1 ⊥ 1 1， ⊥ 1 1， = 1 = √ 4 1 = √ 3，
∴ ∠ 1 是平面 1 1和平面 1 1 1所成角，
∵ 2 + 1
2 = 21，∴ ∠ 1 = 90°，
∴平面 1 1 ⊥平面 1 1 1；
(Ⅱ)取 中点 ，连接 ， ，取 的中点为 ，连接 ，
则 = = √ 3， = √ 6，则 ⊥
∵ 1 ⊥ 1 1， ⊥ 1 1， ∩ 1 = ， ， 1 平面 1 ，
∴ 1 1 ⊥平面 1 ，
∵ ， 1 平面 1 ，∴ 1 1 ⊥ 1， ⊥ 1 1，∴ 1 1 ⊥ 1，
∵ ⊥ ， ⊥ 1 1， ∩ 1 1 = ， , 1 1 平面 1 1 ，
∴ ⊥平面 1 1 ，
√ √ 6 √ 6 = (√ 3)2 ( )2 = ，
2 2
∴四棱锥 1 1 的体积为：
1 1 √ 6
= × 四边形 × = × 2 × √ 6 × = 2． 3 1 1 3 2

19.【答案】解：(1)数列{ }的前 项和为 ， 1 = 1， 2 = 3且数列{
}为等差数列，
+1
1 1
可得 = ，
1+1 2

数列{

}的公差为 2

1
+ 1 1
= 1 2 1 = 1 = ，
+1 2+1 1+1 2+1 1+1 2 2

故数列{
1 1 1 1
}的通项为 = + ( 1) × = ，即 = ( + 1)①，
+1 +1 2 2 2
2
1
当 ≥ 2时， 1 = ( 1)( 1 +1)②， 2
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1 1 1
由① ②可得： = 2 ( 1) 2 1 + ， 2
整理得( 2) ( 1) 1 +1 = 0③，
当 ≥ 3时，( 3) 1 ( 2) 2 + 1 = 0④，
由③ ④可得( 2) 2( 2) 1 + ( 2) 2 = 0，
即 + 2 = 2 1，( ≥ 3)，故数列{ }为等差数列，
因 1 = 1，数列{ }的公差为 2 1 = 2，则 = 1 +2 × ( 1) = 2 1．
(2)由[ ]表示不超过 的最大整数，
= [log2 ]= [log2(2 1)]，
易得 1 = 0， 2 = 1，
由22
5 9
≤ 2 1 < 23可得： ≤ < ，因 ∈ ，故得：
2 2 3
= 4 = 2；
由23
9 17
≤ 2 1 < 24可得： ≤ < ，因 ∈ ，故得： 5 = 6 = = 8 = 3； 2 2
4 5 17 33由2 ≤ 2 1 < 2 可得： ≤ < ，因 ∈ ，故得： 9 = 10 = = 2 2 16 = 4；
33 65
由25 ≤ 2 1 < 26可得： ≤ < ，因 ∈ ，故得： =
2 2 17 18
= = 32 = 5；
6 65 129由2 ≤ 2 1 < 27可得： ≤ < ，因 ∈ ，故得： 33 = 34 = = 64 = 6； 2 2
7 129 257由2 ≤ 2 1 < 28可得： ≤ < ，因 ∈ ，故得： 65 = 66 = = 128 = 7， 2 2
故得 = + +. . . + = 0 + 1 +2 × 2 + 22 × 3 + 23 4114 1 2 114 × 4 + 2 × 5 +2
5 × 6 + (114 65+ 1)× 7 =
671．
20.【答案】解：(1)由题意，2 = 2√ 2，2 = 4，则 = 2， = √ 2．
∴ 2 = 2 2 = 2．
2 2
∴椭圆 的方程为 + = 1；
4 2
(2)设 ( 1 , 1)， ( 2, 2)，
由已知可得，直线 与 轴不重合，设直线 ： = √ 2．
= √ 2
联立{ 2 2 2 2 ，整理得( + 2) 2√ 2 2 = 0．
+ = 1
4 2
△= 8 2 + 8( 2 +2) = 16 2 + 16 > 0．
2√ 2 2
1 + 2 = 2 ， +2 1
2 = 2
< 0．
+2
由 △ = 2 △ ，得| 1| = | 2|，即 1 = 2 2，
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2
( 1+ 2) 4
2 1 2 1从而 =
2
= + + 2 = ．
1 2 +2 2 1 2
2 2 √ 14解得 = ，即 = ± ．
7 7
√ 14 √ 14
∴直线 的方程为： + √ 2 = 0或 + + √ 2 = 0．
7 7
1
21.【答案】解：(1)证明：因为 ( ) = + 2 2 ( ∈ 且 ≠ 0)在(0,+∞)上单调递增，
2

故 ′( ) = + 2 ≥ 0在(0,+∞)上恒成立，则 ≥ (2 2) = 1，( = 1时取等号)，故 的最小值为1，
1 2 1所以 ( ) = + 2 ， > 0，令 ( ) = ( ) ( 2 1) = + 1，( > 0)，
2 2
1
令 ′( ) = = 0得 = 1，易知 ∈ (0,1)时， ′( ) > 0， ∈ (1,+∞)时， ′( ) < 0，故 (1) = 0是 ( )唯

一的极大值，也是最大值，
1
故 ( ) ≤ 0恒成立，即 取最小值时， ( ) ≤ 2 1恒成立；
2
(2)易知 ( )是偶函数，故只需研究 ∈ [0, ]上 ( )的最小值，

令 ′( ) = = 0，得 = ，结合 (0) = 1, ( ) = ， ( ) = 1，
2 2 2
结合可导函数在连续闭区间上最值的求法可知， ( ) = ( ) = 1，
即 1 ∈ [ , ]， ( 1) = 1，
1 ( 2)
则由题意可知： 2 ∈ [ , ]，使得 ≤ 1成立， 2
1 1
上式可化为 ( 2 )≥
2
2 2 2①在 2 ∈ [ , ]上有解， 2
结合(1)可知， 2 2 > 0，
1
2 1
对①式分离参数并令 ( ) = 2 ≤ ， ∈ [ , ]有解，

1
( 1)( +1)
经计算得 ′( ) = 2 2 ，由(1)知 ≤ 1，得 ≥ 1 ，
( )
1 1 4
所以 2 + 1 ≥ + 1 + 1 = > 0，
2 2 2
1
所以由 ′( ) > 0得1 < < ， ′( ) < 0得 < < 1，

1
所以 ( )在( , 1)上单调递减，在(1, )上单调递增，

1 1
所以 ( ) = (1) = ，所以 ≥ ， 2 2
结合 ≥ 1得， ≥ 1即为所求，
故 的范围是[1,+∞)．
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= √ 3 ,
22.【答案】解：(1) ∵直线 的参数方程为{ ( 为参数)，
= 3 √ 3
∴消去参数可得其直角坐标方程为 = √ 3 √ 3，
∴直线 的极坐标方程为 = √ 3 √ 3；
∵曲线 的极坐标方程为3 2+ 2sin2 = 12，
∴ 4 2 +3 2 = 12，
2 2
∴曲线 的直角坐标方程为 + = 1；
4 3
1
= 1 +
(2)把直线 的参数方程转换为标准式为{ 2 ( 为参数)，
√ 3
=
2
将上式代入4 2 + 3 2 = 12中可得：
5 2 +4 12 = 0，
4 12
所以 1 + 2 = ， = ， 5 1 2 5
16
所以| | + | | = | 1
2
2| = √ ( 1 + 2) 4 1 2 = ． 5
2 + 3, < 5
23.【答案】解：(1) ( ) = | 8| + | + 5| = {13, 5 ≤ ≤ 8 ，画出 ( )的图象如下图所示，
2 3, > 8
由图可知， ( )的最小值为13，对应 ∈ [ 5,8]．
{ 2 + 3 = 14 {2 3 = 14(2)证明：由 ( ) = 14，得 或 ，
< 5 > 8
解得 = 5.5或 = 8.5，
结合图象可知 ( ) < 14的解集为( 5.5,8.5)．
而| 8 + + 5| = |2 3| < 14，即 14 < 2 3 < 14，即 5.5 < < 8.5，
所以不等式| 8 + + 5| < 14的解集为( 5.5,8.5)．
所以 ( ) < 14等价于| 8 + +5| < 14．
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