2023-2024学年四川省泸州市叙永一中高三（上）期末数学试卷（文科）（PDF版，含答案）

2023-2024 学年四川省泸州市叙永一中高三（上）期末数学试卷（文
一、单选题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.设集合 = { | = 2 + 1}， = { |2 3 ≤ 0}，则 ∩ =( )
3 3 3 3
A. (1, ) B. (1, ] C. [1, ) D. [1, ]
2 2 2 2
2 2
2.若 为虚数单位，则复数 = sin + 的共轭复数 在复平面内对应的点位于( )
3 3
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.执行如图的程序，若输入的实数 = 4，则输出结果为( )
A. 4
B. 3
C. 2
1
D.
4
4.若非零实数 ， 满足2 = 3 ，则下列式子一定正确的是( )
A. > B. < C. | | < | | D. | | > | |
5.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 = 7， = 5， = 8，则△ 的面积 等于( )
A. 10 B. 10√ 3 C. 20 D. 20√ 3

6.” = ”是“函数 ( ) = sin(3 + )的图象关于直线 = 对称”的( )
8 8
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知△ 是边长为3的正三角形，若
1
= ，则 =( )
3
3 15 3 15
A. B. C. D.
2 2 2 2
2 2+5
8.函数 ( ) = 的大致图象是( )
2
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A. B. C. D.
9.已知直线 = 被圆 ： 2 + 2 + = 0( < 0)截得的弦长为2√ 2，且圆 的方程为 2 + 2 2
2 + 1 = 0，则圆 与圆 的位置关系为( )
A. 相交 B. 外切 C. 相离 D. 内切
10.已知正三棱柱的高为2√ 3，它的六个顶点都在一个直径为4的球的球面上，则该棱柱的体积为( )
2√ 3 3√ 3 9
A. B. 2√ 3 C. D.
3 2 2

11.函数 ( ) = ( + )( > 0)对任意的 ∈ 都有 ( ) = (2 )，且 < 0时 的最大值为 ，下
5
列四个结论：

① = 是 ( )的一个极值点；
5
4
②若 ( )为奇函数，则 ( )的最小正周期 = ；
5

③若 ( )为偶函数，则 ( )在[ , 0]上单调递增；
5
④ 的取值范围是(0,5)．
其中一定正确的结论编号是( )
A. ①② B. ①③ C. ①②④ D. ②③④
2 2
12.已知 1， 2是双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的左，右焦点，经过点 2且与 轴垂直的直线与双曲线的一

条渐近线相交于点 ，且 ≤ ∠ 1 2 ≤ ，则该双曲线离心率的取值范围是( ) 6 4
A. [√ 5,√ 13] B. [√ 5, 3] C. [3, √ 13] D. [√ 7, 3]
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.设等比数列{ }满足 5 + 6 = 48， 5 7 = 48，则 1 = ______．
14.△ 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 + ( ) = 0，则 =______．
2 2
15.已知直线 为经过坐标原点且不与坐标轴重合的直线，且 与椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)相交于 ， 两
1
点，点 为椭圆上异于 ， 的任意一点，若直线 和 的斜率之积为 ，则椭圆 的离心率为______．
4
16.若 ( )是定义在( 1,1)上的奇函数，当0 ≤ < 1时， ( ) = 2 2 + 3 .若 (2 2 1) + ( ) < 0，则实数
的取值范围是______．
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三、解答题：本题共 7 小题，共 82 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
某市约有20万住户，为了节约能源，拟出台“阶梯电价”制度，即制定住户月用电量的临界值 ，若某住户
某月用电量不超过 度，则按平价(即原价)0.5(单位：元/度)计费；若某月用电量超过 度，则超出部分按议
价 (单位：元/度)计费，未超出部分按平价计费.为确定 的值，随机调查了该市100户的月用电量，统计分
析后得到如图所示的频率分布直方图.根据频率分布直方图解答以下问题(同一组数据用该区间的中点值作
代表)．
(1)若该市计划让全市70%的住户在“阶梯电价”出台前后缴纳的电费不变，求临界值 ；
(2)在(1)的条件下，假定出台“阶梯电价”之后，月用电量未达 度的住户用电量保持不变；月用电量超过
度的住户节省“超出部分”的60%，试估计全市每月节约的电量．
18.(本小题12分)
已知等差数列{ }满足 1 = 1，公差 > 0，等比数列{ }满足 1 = 1， 2 = 2， 3 = 5．
(1)求数列{ }，{ }的通项公式；

(2)若数列{ 1 2 3 }满足 + + + + = +1，求{ }的前 项和 1 2 3
19.(本小题12分)
如图①，在等腰梯形 中， // ， ， 分别为 ， 的中点， = 2 = 2 = 4， 为 中
点现将四边形 沿 折起，使平面 ⊥平面 ，得到如图②所示的多面体在图②中，
(Ⅰ)证明： ⊥ ；
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(Ⅱ)求三棱锥 的体积．
20.(本小题12分)
2 2 √ 3
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，椭圆 与 轴交于 、 两点，| | = 2． 2
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
(Ⅱ)已知点 是椭圆 上的动点，且直线 ， 与直线 = 4分别交于 、 两点，是否存在点 ，使得以
为直径的圆经过点(2,0)？若存在，求出点 的横坐标；若不存在，说明理由．
21.(本小题12分)

已知函数 ( ) = ， ∈ ( , +∞).其中 ∈ ．
+
(1)证明： 0( ) < ； 3
(2)记 ( ) = 2 1( ) + 0( ) +

1( ).若存在 0 ∈ [ , + 1)( ∈ )使得对任意的 ∈ ( , +∞)都有 ( ) ≥
( 0)成立，求 的值. (其中 = 2.71828…是自然对数的底数)
22.(本小题10分)
= 2 + 2
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为{ ( 为参数)，以 为极点， 轴的正半轴为极
= 2
轴，建立极坐标系 ．
(Ⅰ)求曲线 的极坐标方程；

(Ⅱ)已知 ， 是曲线 上任意两点，且∠ = ，求△ 面积的最大值．
4
23.(本小题12分)
已知函数 ( ) = |2 3|， ( ) = |2 + + |．
(1)解不等式 ( ) < 2；
1 1 2
(2)当 > 0， > 0时，若 ( ) = ( ) + ( )的值域为[5,+∞)，求证： + ≥ ．
+2 +2 3
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】1
3
14.【答案】
4
√ 3
15.【答案】
2
1
16.【答案】{ | 1 < < 0或0 < < }
2
17.【答案】解：(1)根据题意可得：前四组(用电量在区间[0,80)内)的累积频率为：
(0.0020 + 0.0060 + 0.0120 + 0.0150) × 20 = 0.7，
所以若该市计划让全市70%的住户在“阶梯电价”出台前后缴纳的电费不变，临界值 = 80；
(2)在(1)的条件下，月用电量未达 度的住户用电量保持不变；
故用电量在区间[0,80)内的用户节电量为0度；
用电量在区间[80,100)内的25户用户，平均每户用电90度，超出部分为10度，
根据题意每户节约6度，共6 × 25 = 150度；
用电量在区间[100,120)内的5户用户，平均每户用电110度，超出部分为30度，
根据题意每户节约18度，共18 × 5 = 90度；
故样本的100户住户共节电150 + 90 = 240度，
200000
用样本估计总体，估计全市每月节约的电量为240 × = 480000度．
100
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18.【答案】解：(1)由题意， 1 = 1 = 1， 2 = 2 = 1 + ， 3 = 5 = 1 + 4 ，
根据等比中项的知识，可知
22 = 1
2
3，即(1 + ) = 1 (1 + 4 )，
整理，得 2 2 = 0，
解得 = 0(舍去)，或 = 2．
∴ = 1 + 2( 1) = 2 1， ∈ ．
设等比数列{ }的公比为 ，
∵ 2 = 2 = 1 + = 1 + 2 = 3，
3
∴ = 2 = = 3，
1 1
∴ = 1 3 1 = 3 1 ， ∈ ．

(2)依题意，由 1 + 2 + 3 + + = ，可得
1 2
+1
3
1 + 2 + 3 + + 1 = ， 1 2 3 1
两式相减，可得
=
+1
，


即 = 2( + 1) 1 2 + 1 = 2，
3 1
∴ = 2 3
1， ∈ ．
= 1 + 2 + 3 + +
= 2 1 + 2 31 + 2 32 + + 2 3 1
= 2 (1 + 31 + 32 + + 3 1)
1 3
= 2
1 3
= 3 1．
19.【答案】(Ⅰ)证明：由题意，在等腰梯形 中， // ，
∵ ， 分别为 ， 的中点，∴ ⊥ ， ⊥ ，
∴折叠后， ⊥ ， ⊥ ，
∵ ∩ = ，∴ ⊥平面 ，
又 平面 ，∴ ⊥ ；
(Ⅱ)解：由已知可得， = = 1， = = 2，
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∵ = 1，∴ = 1 = ，
又 // ，∴四边形 为平行四边形，
∴ // ，故 A ⊥ ．
∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，且 ⊥ ，
∴ ⊥平面 ，
1 1 1 1
∴ = = 3 △
= × × 1 × 2 × 1 = ．
3 2 3
1
即三棱锥 的体积为 ．
3
√ 3
20.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得 = = ，2 = 2，即 = 1，
2
又 2 2 = 1，解得 = 2， = √ 3，
2
即有椭圆的方程为 + 2 = 1；
4
2
(Ⅱ)设 ( , )，可得 + 2 = 1，
4
2
2
即有 = 1 ，
4
由题意可得 (0,1)， (0, 1)，设 (4, )， (4, )，
1 1
由 ， ， 共线可得， = ，即为 = ， 4
4( 1)
可得 = 1 + ，

+1 +1
由 ， ， 共线可得， = ，即为 = ， 4
4( +1)
可得 = 1．

假设存在点 ，使得以 为直径的圆经过点 (2,0)．

可得 ⊥ ，即有 = 1，即 = 4．
2 2
4( 1) 4( +1)
即有[1 + ][ 1] = 4，

化为 4 2 = 16 2 (4 )2 = 16 4 2 (4 )2，
解得 = 0或8，
由 ， ， 不重合，以及| | < 2，可得 不存在．
+ 3
21.【答案】(1)证明：要证 0( ) < ，即证 > ， ∈ ( , +∞)． 3 +
2
3 1 4 ( )
令 ( ) = ， ∈ ( , +∞)，则 ′( ) = 2 = 2 > 0， + ( + ) ( + )
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∴ ( )在( , +∞)单调递增，∴ ( ) > ( ) = 0，
+
∴ 0( ) < ，得证． 3
2 1 2+ + 2
(2)解： ( ) = 2 1( ) + 0( ) + 1( ) = + + = ， ∈ ( ,+∞)，
(2 +1) ( 2+ + 2)( +1) ( 2 2) ( 2+ + 2)
则 ′( ) = 2 = 2 ．
( ) ( )
令 ( ) = ( 2 2) ( 2 + + 2)， ∈ ( ,+∞)．
3
当 ∈ ( , +∞)时，由(1)知 > ．
+
3 4 +1
则 ( ) > ( 2 2) ( 2 + + 2) = 2 2 (4 + 1) = 2 ( )．
+ 2
4 +1
当 ∈ [ ,+∞)时， ( ) > 0，则 ′( ) > 0，
2
4 +1 4 +1
故 F( )在[ , +∞)上单调递增，其中 = 5.93656 ．
2 2
当 ∈ ( , 5]时，
则 ( ) ≤ ( 2 2) 5 ( 2 + + 2) < 2( 2 2) ( 2 + + 2) = 2 3 2
≤ 20 3 2 < 0. (用到了 2 3 2在( , 5]单调递增与 2 > 7)
∴ ′( ) < 0，故 F( )在( , 5]上单调递减．
4 +1
综上， ( )在( , 5]严格单调递减，在[ , +∞)严格单调递增．
2
4 +1
∵ < 6，∴ 0 ∈ [5,6)，∴ = 5． 2
22.【答案】解：(Ⅰ)消去参数 ，得到曲线 的标准方程为：( 2)2 + 2 = 4，
故曲线 的极坐标方程为 = 4

(Ⅱ)极坐标系 中，不妨设 ( 1, 0)， ( 2, 0 + )，其中 1 > 0， 2 > 0， < < ， 4 2 2

由(Ⅰ)知： 1 = 4 0， 2 = 4 ( 0 + )， 4
1
∴△ 的面积 = 1 2sin = 4√ 2 0cos( 0 + )， 2 4 4

= 4 2 0 4 0 0 = 2 2 0 2 0 + 2 = 2√ 2cos(2 0 + ) + 2， 4

当2 0 = 时，即 0 = ，cos(2 0 + )有最大值1，此时 = 2 + 2√ 2， 4 8 4
故△ 的面积的最大值为2 + 2√ 2．
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3 3
≥ <
23.【答案】(1)解：不等式 ( ) < 2化为|2 3| < 2，等价于{ 2 或{ 2 ，
2 3 < 2 3 2 < 2
3 3 <
即为{ ≥ 2或{ 2 ，
∈ > 1 或 < 3
3 3
解得 ≥ ，或 < 3或1 < < ，
2 2
所以不等式 ( ) < 2的解集为{ | > 1或 < 3}；
(2)证明：由 > 0， > 0，根据绝对值三角不等式可知 ( ) = ( ) + ( ) = |2 3| + |2 + + | = |3
2 | + |2 + + |
≥ |3 2 + 2 + + | = | + + 3| = + + 3，
又 ( ) = ( ) + ( )的值域为[5,+∞)，可得 + + 3 = 5，即 + = 2，即( + 2) + ( + 2) = 6，
1 1 1 1 1 1 +2 +2 1 +2 +2 2
故 + = [( + 2) + ( + 2)]( + ) = (2 + + ) ≥ (2 + 2√ ) = ，
+2 +2 6 +2 +2 6 +2 +2 6 +2 +2 3
+2 +2
当且仅当 = ，即 = = 1时取等号时，
+2 +2
+2 +2 2
由基本不等式可得 + ≥ ．
+2 +2 3
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