2024-2025学年天津二中高三（上）调研数学试卷（PDF版，含答案）

2024-2025 学年天津二中高三（上）调研数学试卷
一、单选题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {0,1,2}， = { ∈ | 2 ≤ 1}，则( ) ∩ =( )
A. { 1,0} B. { 1} C. {0} D. 1
2.设 ， ∈ ，则“ > ”是“ | | > | |”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3.已知函数 ( )的图象如图所示，则函数 ( )的解析式可能为( )

A. ( ) =

2+1
B. ( ) = 2 ln
2
+
C. ( ) =

2+1
D. ( ) = 2 ln 2
4.已知 = log52， = log0.50.2， = 0.5
0.2，则 ， ， 的大小关系为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
5.已知 ， 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. ， ， // ， // //
B. // ， ⊥ ⊥
C. ⊥ ， ⊥ //
D. // ， ， //
6.下列说法中正确的是( )
A. 一组数据3，4，2，8，1，5，8，6，9，9的第60百分位数为6
B. 将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差变大
C. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为 0.91和0.89，则甲组数据的线性相关程度更强
D. 在一个2 × 2列联表中，由计算得 2的值，则 2的值越接近1，判断两个变量有关的把握越大
7.若2 = 3，3 = 5，5 = 4，则log4 =( )
1 √ 2
A. 2 B. C. D. 1
2 2
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8.如图，已知四棱柱 1 1 1 1的体积为 ，四边形 为平行四边形，点
在 1上且 = 3 1，则三棱锥 1 与三棱锥 的公共部分的体积为
( )

A.
28

B.
21
3
C.
28

D.
7
| 1|, < 2
9.已知函数 ( ) = { 2 1 ，若方程 ( ) = 有且仅有3个不等实根，则实数 的取值范围是( )
, ≥ 2
1
2 1
A. 0 < < 1 B. 1 < <
2
2 1
C. 1 < < 0或1 < < D. 1 < < 0
2
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
10.已知(2 + ) = ( 为虚数单位)，则| | = ______．
1
11.在二项式(√ )9的展开式中，常数项是______．
2
12.已知圆心为(1, )的圆与 轴相切，且与直线 2 = 0相交于 ， 两点，若| | = 4，则实数 = ．
13.某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加学校的义务劳动.男生甲或女生乙被选中的概
率为______；设“男生甲被选中”为事件 ，“女生乙被选中”为事件 ，则 ( | ) = ______．
4 1
14.已知 > > 0，当4 + + 取到最小值时， = ______．
2 + 2
3
15.如图，在△ 中， = 2， = 5，cos∠ = ， 是边 上一
5
3
点，且 = 2 .若 = ，记 = + ( , ∈ )，则 + =
4
| |
______；若点 满足 与 共线， ⊥ ，则 的值为______．
| |
三、解答题：本题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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16.(本小题14分)
2 3√ 3
在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 + = 且△ 的面积为 ， = 1．
2
(Ⅰ)求角 的大小及 ；
(Ⅱ)求sin(2 + )的值．
17.(本小题15分)

已知函数 ( ) = √ 2sin(2 + ) + 6 2 2 + 1, ∈ ．
4
(1)求 ( )的对称轴；
3
(2)求 ( )在区间[0, ]上的值域．
4
18.(本小题15分)
在四棱锥 中， ⊥底面 ，且 = 2，四边形 是直角梯形，且 ⊥ ， // ， =
= 2， = 4， 为 中点， 在线段 上，且 = 1．
(1)求证： //平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求点 到 的距离．
19.(本小题15分)
1
已知函数 ( ) = + ， ∈ ．

(Ⅰ)求曲线 = ( )在(1, (1))处的切线方程；
(Ⅱ)若 ( )在区间(3,+∞)上单调递减，求 的取值范围：
( ) ( )
(Ⅲ)若 > 0， ( )存在两个极值点 1， ，证明：
1 2
2 < 2． 1 2
20.(本小题16分)
有 个首项为1的等差数列，设第 个数列的 项为 ( , = 1,2,3,… , , ≥ 3)，公差为 ，并且 1 ， 2 ，
3 ，…， 成等差数列．
(1)当 3 = 2时，求 32， 33， 34以及 3 ；
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(2)证明 = 1 1 + 2 2(3 ≤ ≤ , 1, 2是 的多项式)，并求 1 + 2的值；
(3)当 1 = 1， 2 = 3时，将数列{ }分组如下：( 1)，( 2, 3, 4)，( 5, 6, 7, 8, 9)，…(每组数的个数构
成等差数列)，设前 组中所有数之和为( )4 ，( > 0)，求数列{2
, }的前 项和 ．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
√ 5
10.【答案】
5
21
11.【答案】
2
12.【答案】3或 7
4 2
13.【答案】
5 5
3
14.【答案】
4
3 3 3
15.【答案】 或
4 4 16
2
16.【答案】解：(Ⅰ) ∵ + = ，

2
∴ + = ，

+ 2
∴ = ，

sin( + ) 2
∴ = ，

∵ ≠ 0，sin( + ) = ≠ 0，
1
∴ = ，
2
∵ ∈ (0, )，

∴ = ，
3
1 3
∵ = = √ 3，
2 2
∴ = 6，
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∵ = 1，
∴ = 3, = 2, = √ 7．

(Ⅱ)由正弦定理可知 = ，

3√ 21
∴ = ，
14
2
+ 2 2 √ 7
∴ = = ，
2 14
3√ 3
∴ 2 = 2 = ，
14
13
∴ 2 = 1 2 2 = ，
14
3√ 3 1 13 √ 3 5√ 3
∴ sin(2 + ) = 2 + 2 = × + ( ) × = ．
14 2 14 2 14

17.【答案】解：(1)由 ( ) = √ 2sin(2 + ) + 6 2 2 + 1
4

= √ 2 2 √ 2 2 + 3 2 2 = 2 2 2 2
4 4

= 2√ 2sin(2 )，
4
3
令2 = + ，得 = + ， ∈ ，
4 2 8 2
3
所以 ( )的对称轴为 = + ， ∈ ；
8 2
3
(2)由(1)可知， ( ) = 2√ 2sin(2 )，因为 ∈ [0, ]，
4 4
5 √ 2
则2 ∈ [ , ]， ≤ sin(2 ) ≤ 1，
4 4 4 2 4
3
( )在区间[0, ]上的值域为[ 2,2√ 2]．
4
18.【答案】证明：(1)如图，取 中点 ，连接 ， ，
因为 为 中点， // ， = = 2， = 4，所以 = ， // ，
所以四边形 为平行四边形，所以 // ，
又 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ，
因为 为 中点， 为 中点，则 // ，
又 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ，
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因为 ∩ = ， ， 平面 ，所以平面 //平面 ，
又 平面 ，故 D //平面 ；
解：(2)根据题意，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
由条件可得， (0,0,0)， (0,0,2)， (2,0,0)， (0,2,0)， (2,1,0)，
则 = (2,0, 2), = (0,2, 2), = (2,1, 2)，
设平面 的法问量为 = ( , , )，
= 2 2 = 0 =
则{ ，解得{ ，
= 2 + 2 = 0 = 2
取 = 2，则 = 1， = 2，所以平面 的一个法向量为 = (1,2,2)，
设直线 与平面 所成角为 ，
| | |2 4| √ 2
则 = |cos < , > | = = = ，
| | | | 2√ 2×3 6
√ 2所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ；
6
(3)由(2)可知， = (0,2, 2), = (2,1, 2)，
2
所以点 到 的距离为√
6 3√ 2
( )2 = √ 9 ( )2 = ．
| | 2√ 2 2
1
19.【答案】解：(Ⅰ)由题意知： ′( ) =
2
1 + , ( )定义域为(0,+∞)，

∵ ′(1) = 2，又 (1) = 0，
∴曲线 = ( )在(1, (1))处的切线方程为 = ( 2)( 1)；
1 2 +1
(Ⅱ) ∵ ′( ) = 2 1 + = 2 ，又 ( )在区间(3,+∞)上单调递减，
2 +1
∴ 2 ≤ 0在(3,+∞)上恒成立，即
2 + 1 ≥ 0在(3,+∞)上恒成立，

1
∴ ≤ + 在(3,+∞)上恒成立，

1 1
设 ( ) = + ，则 ′( ) = 1 ，
2
10
当 > 3时， ′( ) > 0，∴ ( )单调递增，∴ ( ) > (3) = ，
3
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10 10
∴ ≤ ，即实数 的取值范围是( ∞, ]；
3 3
证明：(Ⅲ)由(Ⅱ)知： 21， 2满足 + 1 = 0，∴ 1 2 = 1，
不妨设0 < 1 < 2，则 2 > 1，
( 1) ( 2) 1 2 ∴ = 1 + 1 2 = 2 + 1 2 = 2 + 2，
11 2 1 2 1 2 1 2
22
( 1) ( 2) 2 则要证 < 2，即证 2 < ，
11 2
22
1 1
即证2 2 < 2 ，也即证 2 + 2 2
< 0成立，
2 2
2
1 1 2 ( 1)
设函数 ( ) = + 2 ，则 ′( ) = 2 1 + = < 0， 2
∴ ( )在(0,+∞)单调递减，又 (1) = 0，
∴当 ∈ (1,+∞)时， ( ) < 0，
1 ( 1) ( )∴ + 2 2
2 2
< 0，即 < 2．
2 1 2
20.【答案】解：(1)当 3 = 2时，由题意可知 31 = 1
∴ 32 = 31 + 3 = 3， 33 = 31 + 2 3 = 5， 34 = 31 + 3 = 7 31
3 = 31 + ( 1) 3 = 2 1
(2)由题意知，：(Ⅰ)由题意知 = 1 + ( 1) ．
则 2 1 = [1 + ( 1) 2] [1 + ( 1) 1] = ( 1)( 2 1)，
同理， 3 2 = ( 1)( 3 2)， 4 3 = ( 1)( 4 3)，…， ( 1) = ( 1)( 1).
又因为 1 ， 2 ， 3 ， 成等差数列，所以 2 1 = 3 2 = = ( 1) ．
故 2 1 = 3 2 = = 1，即 是公差为 2 1的等差数列．
所以， = 1 + ( 1)( 2 1) = (2 ) 1 + ( 1) 2．
令 1 = 2 ， 2 = 1，则 = 1 1 + 2 2，此时 1 + 2 = 1．
(3)当 1 = 1，

2 = 3时， = 2 1( ∈ ).
数列 分组如下：( 1)，( 2, 3, 4)，( 5, 6, 7, 8, 9)，
按分组规律，第 组中有2 1个奇数，
所以第1组到第 组共有1 + 3 + 5 + + (2 1) = 2个奇数．
注意到前 个奇数的和为1 + 3 + 5 + + (2 1) = 2，
所以前 2个奇数的和为( 2)2 = 4．
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即前 组中所有数之和为 4，所以( )
4 = 4．
因为 > 0，所以 = ，从而2

= (2 1) 2
( ∈ )．
所以 = 1 2 + 3 2
2 + 5 23 + 7 24 + + (2 3) 2 1 + (2 1) 2 .①
2 = 1 2
2 + 3 23 + 5 24 + + (2 3) 2 + (2 1) 2 +1.②
② ①得： = 2 2(22 + 23 + + 2
) + (2 1) 2 +1
4(1 2 1)
= 2 2 + (2 1) 2 +1
1 2
= (2 3)2 +1 + 6．
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