北京市北京师范大学附中2024-2025学年高三上学期12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

北京师范大学附中 2024-2025 学年高三上学期 12 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
2
1.在复平面内，复数 满足 = ，则复数 对应的点的坐标是( )
1+
A. (1, 1) B. ( 1,1) C. ( 1, 1) D. (1,1)
2.已知集合 = {0,1,2}， = { | > }，若 ∩ = {1,2}，则 的最小值是( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
3.抛物线 2 = 4 的准线方程为( )
A. = 1 B. = 1 C. = 1 D. = 1
4.下列函数中，既是偶函数又在区间(0, +∞)上单调递减的是( )
1
A. = B. = 2 C. = ( )| | D. =
2
2 2 √ 5
5.若双曲线 : = 1的一条渐近线方程为 = ，则双曲线 的离心率为( )
2 2 2
1 2 3
A. B. C. D. 2
2 3 2
6.已知 = 0.3， = 30.2， = 0.20.3，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
1
, < 0
7.已知函数 ( ) = { 的值域为 ，则实数 的取值范围是( )
2 , ≥ 0
A. < 0 B. > 0 C. ≤ 1 D. ≥ 1
8.在△ 中，( + )( ) = ( )，则∠ =( )
2 5
A. B. C. D.
6 3 3 6

9.设等差数列{ }的公差为 ，则“0 < 1 < ”是“{
}为递增数列”的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3
10.已知{ }是无穷等比数列，其前 项和为 ， 1 = 3, 2 = .若对任意正整数 ，都有 ( 1)
> 0，
2
则 的取值范围是( )
3 3
A. ( 3,1) B. [ 2,1) C. ( 3, ) D. [ 2, )
2 2
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
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1
11.函数 ( ) = ln( 1) + 的定义域是______．
2
12.已知{ }为等比数列， 为其前 项和，若 2 = 3 1，
2
2 = 3，则 2 = ______； 4 = ______．
13.若向量 = ( , 1)， = ( 1, )满足| + | = 2，则√ 2 + 2的最小值是______．
√ 2
14.已知函数 ( ) = sin( + )( > 0, | | < ).直线 = 与曲线 = ( )的两个交点 ， 如图所示.若
2 2
5 11
| | = ，且 ( )在区间( , )上单调递减，则 = ______； = ______．
4 12 12
1
15.已知函数 ( ) = ，给出下列四个结论：
1+ 2
①存在实数 和 ，使函数 ( )没有零点；
②存在实数 ，对任意实数 ，函数 ( )恰有1个零点；
③存在实数 ，对任意实数 ，函数 ( )不会恰有2个零点；
④对任意实数 和 ，函数 ( )不会恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
1
已知函数 ( ) = + cos(2 + )，且 ( ) = ．
6 4 2
(1)求 的值和 ( )的最小正周期；
(2)求 ( )在[0, ]上的单调递增区间．
17.(本小题13分)
在△ 中， = 2 ．
(Ⅰ)求∠ 的大小；
(Ⅱ)若 = 8，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使△ 存在，求△ 的面积．
条件①： 边上中线的长为√ 21；
2
条件②： = ；
3
条件③： = 7．
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18.(本小题14分)
某医学小组为了比较白鼠注射 ， 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选20只健康白鼠做试验.将这20只白
鼠随机分成两组，每组10只，其中第1组注射药物 ，第2组注射药物 .试验结果如下表所示．
疱疹面积(单位： 2) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80)
第1组(只) 3 4 1 2 0
第2组(只) 1 3 2 3 1
(Ⅰ)现分别从第1组，第2组的白鼠中各随机选取1只，求被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于60 2的概率；
(Ⅱ)从两组皮肤疱疹面积在[60,80)区间内的白鼠中随机选取3只抽血化验，求第2组中被抽中白鼠只数 的分
布列和数学期望 ；
(Ⅲ)用“ = 0”表示第 组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在[30,50)区间内，“ = 1”表示第 组白鼠注射
药物后皮肤疱疹面积在[50,80)区间内( = 1,2)，写出方差 1， 2的大小关系. (结论不要求证明)
19.(本小题15分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左顶点为 ，上、下顶点分别为 1， 2，直线 1的方程为 √ 3 +
√ 3 = 0．
(Ⅰ)求椭圆 的方程及离心率；
(Ⅱ) 是椭圆上一点，且在第一象限内， 是点 关于 轴的对称点.过 作垂直于 轴的直线交直线 1于点 ，
再过 作垂直于 轴的直线交直线 2于点 .证明：直线 的斜率为定值．
20.(本小题15分)
已知函数 ( ) = 2 (2 + 1) + ， ∈ ．
(1)若 = 0，求曲线 = ( )在点 (2, (2))处的切线方程．
(2)若 ( )在 = 1处取得极值，求 ( )的极值．
(3)若 ( )在[1, ]上的最小值为 2 ，求 的取值范围．
21.(本小题15分)
对于由有限个自然数组成的集合 ，定义集合 ( ) = { + | ∈ , ∈ }，记集合 ( )的元素个数为 ( ( )).
定义变换 ，变换 将集合 变换为集合 ( ) = ∪ ( )．
(Ⅰ)若 = {0,1,2}，求 ( )， ( )；
(Ⅱ)若集合 有 个元素，证明：“ ( ( )) = 2 1”的充要条件是“集合 中的所有元素能组成公差不为0
的等差数列”；
(Ⅲ)若 {1,2,3,4,5,6,7,8}且{1,2,3,… ,25,26} ( ( ))，求元素个数最少的集合 ．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】(1,2) ∪ (2, +∞)
12.【答案】2 15
13.【答案】2 √ 2

14.【答案】2
3
15.【答案】①②③
1
16.【答案】解：(1)因为 ( ) = + cos(2 + )，且 ( ) = ，
6 4 2
√ 2 √ 2 1 1
所以 ( ) = cos + cos(2 × + ) = × × = ，
4 4 4 4 6 2 2 2 2
解得 = 2，

所以 ( ) = 2 + cos(2 + ) = 2 + 2 2
6 6 6
√ 3 1 √ 3 1
= 2 + 2 2 = 2 + 2 = sin(2 + )，
2 2 2 2 3

即 ( ) = sin(2 + )，
3
2
所以 ( )的最小正周期 = = ；
2

(2)由 + 2 ≤ 2 + ≤ + 2 ， ∈ ，
2 3 2
5
解得 + ≤ ≤ + ， ∈ ，
12 12
5
所以 ( ) = sin(2 + )的单调递增区间为[ + , + ]， ∈ ，
3 12 12
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5
当 = 0时， ( )的单调递增区间为[ , ]，
12 12
7 13
当 = 1时， ( )的单调递增区间为[ , ]，
12 12
7
所以 ( )在[0, ]上的单调递增区间为[0, ]，[ , ]．
12 12
17.【答案】解：(Ⅰ)因为 = 2 ，由正弦定理可得： = 2 ，
在△ 中， > 0， > 0，
1
可得 = ，
2

因为 ∈ (0, )，可得 = ；
3
(Ⅱ)选条件①： 边上中线的长为√ 21，
设 边中点为 ，连接 ，则 = √ 21， = 4，

在△ 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 ，即21 = 2 + 16 8 cos ，
3
整理得 2 4 5 = 0，解得 = 5或 = 1(舍去)，
1
所以△ 的面积为 △ = = 10√ 3； 2
2 √ 5
选条件②：因为 = ，则 = √ 1 cos2 = ，
3 3
√ 5 1 2 √ 3 √ 5 2√ 3
因为 = sin( + ) = + = × × = < 0，
3 2 3 2 6
所以该三角形不存在；
选条件③： = 7，在△ 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 ，
2 即7 = 82 + 2 16 cos ，整理得 2 8 + 15 = 0，解得 = 3或 = 5，
3
1
当 = 3时，△ 的面积为 △ = = 6√ 3， 2
1
当 = 5时，△ 的面积为 △ = = 10√ 3． 2
18.【答案】解：(Ⅰ)记被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于60 2为事件 ，
8
其中从第1组中选出的1只白鼠皮肤疱疹面积小于60 2的概率为 ，
10
6
从第2组中选出的1只白鼠皮肤疱疹面积小于60 2的概率为 ，
10
8 6 12
所以 ( ) = × = ．
10 10 25
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2 1 1 2 0 3
( )依题意 的可能取值为1、2、3，且 ( = 1) = 2
4 1 3 1
Ⅱ 3 = ， ( = 2) =
2 4 = ， ( = 3) = 2 4 = ，
6 5
3
6 5
3
6 5
所以 的分布列为：
1 2 3
1 3 1

5 5 5
1 3 1
所以 ( ) = 1 × + 2 × + 3 × = 2．
5 5 5
7 3
(Ⅲ)依题意可得 ( 1 = 0) = ， ( 1 = 1) = ， 10 10
7 3 3
所以 ( 1) = 0 × + 1 × = ， 10 10 10
3 2 7 3 2 3 210所以 ( 1) = (0 ) × + (1 ) × = ， 10 10 10 10 1000
4 6
又 ( 2 = 0) = ， ( = 1) = ， 10 2 10
4 6 6
所以 ( ) = 0 × + 1 × = ，
10 10 10
6 2 4 6 2 6 240 210所以 ( 2) = (0 ) × + (1 ) × = > ， 10 10 10 10 1000 1000
所以 ( 1) < ( 2).
19.【答案】解：(Ⅰ)因为直线 1的方程为 √ 3 + √ 3 = 0，
所以 ( √ 3, 0)， 1(0,1)，
即 = √ 3， = 1，所以 = √ 2 2 = √ 2，
2 √ 2 √ 6
所以椭圆方程为 + 2 = 1，离心率 = = = ；
3 √ 3 3
(Ⅱ)证明：依题意，如图，设 ( 0, 0)，( 0 > 0, 0 > 0)，则 ( 0, 0)，
2
因为点 是椭圆上一点，则 0 + 20 = 1， 3
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直线 1的方程为 √ 3 + √ 3 = 0，
因为 ⊥ 轴，则 = 0，所以 = √ 3( 0 1)，
所以 (√ 3( 0 1), 0)，
又 ( 0 , 0)， (0, 1)，
0+1
易得直线 2的方程为 = 1， 0
又 ⊥ 轴，则 = ，
+1 √ 3( 2 1)
所以 =
0 × 0√ 3(
0
1) 1 = 1
0 0
2
√ 3( 0)
3 √ 3 = = 0 1，
0 3
√ 3
即 (√ 3( 0 1),
0 1)，
3
√ 3
+ 0+1
所以 √ 3 0 √ 3 +√ 3 √ 3 =
0 3 = × 0 = ，为定值．
0 √ 3( 0 1) 3 0 √ 3 0+√ 3 3
20.【答案】解：(1)若 = 0，则 ( ) = 2 ，则 ′( ) = 2 1，
故 (2) = 2， ′(2) = 3，
故曲线 = ( )在点 (2, (2))处的切线方程为 2 = 3( 2)，即3 4 = 0；
(2) ( ) = 2 (2 + 1) + ， ∈ 定义域为(0, +∞)，

则 ′( ) = 2 (2 + 1) + ，

由于 ( )在 = 1处取得极值，故 ′(1) = 2 (2 + 1) + = 0，∴ = 1，
1 2 2 3 +1 (2 1)( 1)
则 ′( ) = 2 3 + = = ，

1 1
令 ′( ) > 0，则0 < < 或 > 1，函数 ( )在(0, ), (1, +∞)上均单调递增，
2 2
1 1
令 ′( ) < 0，则 < < 1，函数 ( )在( , 1)上单调递减，
2 2
1 1 1 3 1 5
故当 = 时， ( )取到极大值 ( ) = + ln = 2，
2 2 4 2 2 4
当 = 1时， ( )取到极小值 (1) = 1 3 = 2；
(2 1)( )
(3)由于 ′( ) = 2 (2 + 1) + = , ∈ [1, ]，

当 ≤ 1时， ′( ) ≥ 0，仅在 = 1， = 1时等号取得， ( )在[1, ]上单调递增，
则 ( ) = (1) = 2 ，符合题意；
当1 < < 时，则1 < < 时， ′( ) < 0， ( )在[1, ]上单调递减，
< < 时， ′( ) > 0， ( )在[ , ]上单调递增，
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故 ( ) = ( ) < (1) = 2 ，不符合题意；
当 ≥ 时， ′( ) < 0， ( )在[1, ]上单调递减，
故 ( ) = ( ) < (1) = 2 ，不符合题意；
综上，可知 的取值范围为( ∞, 1]．
21.【答案】解：(Ⅰ)若集合 = {0,1,2}，则 ( ) = ( ) = {0,1,2,3,4}. … . (3分)
(Ⅱ)令 = { 1 , 2 ,… }.不妨设 1 < 2 < < ．
充分性：设{ }是公差为 ( ≠ 0)的等差数列．
则 + = 1 + ( 1) + 1 + ( 1) = 2 1 + ( + 2) (1 ≤ , ≤ )
且2 ≤ + ≤ 2 .所以 + 共有2 1个不同的值．即 ( ( )) = 2 1．
必要性：若 ( ( )) = 2 1．
因为2 < + +1 < 2 +1，( = 1,2,… , 1)．
所以 ( )中有2 1个不同的元素：2 1，2 2，…，2 ， 1 + 2， 2 + 3，…， 1 + ．
任意 + (1 ≤ , ≤ ) 的值都与上述某一项相等．
又 + +1 < + +2 < +1 + +2，且 + +1 < 2 +1 < +1 + +2， = 1，2，…， 2．
所以 + +2 = 2 +1，所以{ }是等差数列，且公差不为0. … . (8分)
(Ⅲ)首先证明：1 ∈ .假设1 ， 中的元素均大于1，从而1 ( )，
因此1 ( )，1 ( ( ))，故1 ( ( ))，与{1,2,3,… ,25,26} ( ( ))矛盾，因此1 ∈ ．
( +3)
设 的元素个数为 ， ( )的元素个数至多为 2 + ，从而 ( )，的元素个数至多为
2
+ + = ． 2
5×8
若 = 2，则 ( )元素个数至多为5，从而 ( ( ))的元素个数至多为 = 20，
2
而 ( ( ))中元素至少为26，因此 ≥ 3．
假设 有三个元素，设 = {1, 2 , 3}，且1 < 2 < 3 ≤ 8，则1，2， 2， 2 + 1， 3， 3 + 1，2 2， 2 + 3，
2 3 ∈ ( )，
从而1，2，3，4 ∈ ( ( )).若 2 > 5， ( ( ))中比4大的最小数为 2，则5 ( ( ))，与题意矛盾，故 2 ≤ 5．
集合 ( ( )).中最大数为4 3，由于26 ∈ ( ( ))，故4 3 ≥ 26，从而 3 ≥ 7，
( )若 = {1, 2 ,7}，且 2 ≤ 5.此时1，2， 2， 2 + 1，7，8，2 2，7 + 2，14 ∈ ( )，则有8 + 14 = 22，
2 × 14 = 28 ∈ ( ( ))，在22与28之间可能的数为14 + 2 2，21 + 2．
此时23，24，25，26不能全在 ( ( )).中，不满足题意．
( )若 = {1, 2 ,8}，且 2 ≤ 5.此时1，2， 2， 2 + 1，8，9，2 2，8 + 2，16 ∈ ( )，则有16 + 9 = 25 ∈ ( ( ))，
若26 ∈ ( ( ))，则16 + 2 2 = 26或16 + (8 + 2) = 26，
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解得 2 = 5或 2 = 2．
当 = {1,2,8}时，15，21，23 ( ( )).，不满足题意．
当 = {1,2,8}时，
( ( )) = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,29,32}，满足题意．
故元素个数最少的集合 为{1,5,8} … … … … . (13分)
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