2024-2025湖北省“新八校协作体”高二年级12月联考数学试题(含答案）

2024-2025湖北省“新八校协作体”高二年级12月联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间向量，，若与垂直，则等于( )
A. B. C. D.
2.椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为( )
A. B. C. D.
3.某小组有名男生和名女生，从中任选名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是( )
A. 至少有名女生与全是女生 B. 至少有名女生与全是男生
C. 恰有名女生与恰有名女生 D. 至少有名女生与至多有名男生
4.已知一组数据，，，的平均数和方差分别为，，若向这组数据中再添加一个数据，数据，，，的平均数和方差分别为，，则( )
A. B. C. D.
5.在直三棱柱中，，，为的中点，则与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
6.过点的直线与椭圆相交于，两点，且恰为线段的中点，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
7.已知圆，圆，，分别是圆，上的动点，为轴上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.在空间直角坐标系中，已知向量，点，点若直线经过点，且以为方向向量，是直线上的任意一点，则直线的方程为若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，则平面的方程为利用以上信息解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为，乙每次命中概率为，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则( )
A. 两人都命中的概率为 B. 恰好有一人命中的概率为
C. 两人都没有命中的概率为 D. 至少有一人命中的概率为
10.设动直线与圆交于，两点，则下列说法正确的有( )
A. 直线过定点 B. 当最大时，
C. 当最小时， D. 当最小时，其余弦值为
11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体如图，半正多面体的棱长为，棱数为，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有( )
A. 平面
B. 若是棱的中点，则与平面平行
C. 若四边形的边界及其内部有一点，，则点的轨迹长度为
D. 若为线段上的动点，则与平面所成角的正弦值的范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到直线的距离为 ．
13.若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是 ．
14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与双曲线的右支相交于点，若，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆的圆心在轴上，且经过点，．
求圆的标准方程
过点的直线与圆交于、两点，若，求直线的方程．
16.本小题分
求满足下列条件的双曲线的标准方程：
过点，且与双曲线的离心率相等
两顶点间的距离为，渐近线方程为
17.本小题分
半程马拉松是一项长跑比赛项目，长度为公里，为全程马拉松距离的一半世纪年代，一些赛事组织者设立了半程马拉松，自那时起，半程马拉松的受欢迎程度大幅提升某调研机构为了了解人们对“半程马拉松”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“半程马拉松”知识竞赛，将参与知识竞赛者按年龄分成组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图．
根据频率分布直方图，估计参与知识竞赛者的平均年龄
现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法选取人，担任本市的“半程马拉松”宣传使者若有甲年龄，乙年龄两人已确定入选为宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选为组长的概率
若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，据此估计年龄在内的所有参与知识竞赛者的年龄的平均数和方差．
18.本小题分
如图，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面如图，的中点为．
求证：平面
若的中点为，在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为若存在，求出点的位置若不存在，请说明理由．
19.本小题分
有一个半径为的圆形纸片，设纸片上一定点到纸片圆心的距离为，将纸片折叠，使圆周上某一点与点重合，每一次折叠，都留下一条折痕，当取遍圆上所有点时，所有折痕与的交点形成的轨迹记为曲线，以点，所在的直线为轴，线段的中点为原点，建立平面直角坐标系．
求曲线的方程
若直线与曲线交于，两点．
(ⅰ)当为何值时，为定值，并求出该定值
(ⅱ)过，两点分别作曲线的切线，当两条切线斜率均存在时，若其交点在直线上，探究：此时直线是否过定点若过，求出该定点若不过，请说明理由．
参考答案
1.
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10.
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12.
13.
14.【解答】
解：双曲线的方程为，一条渐近线方程为，
设，可得，若，则，
由双曲线的定义可得，
在直角三角形中，，，
在中，
，即有，
即，即，
则故答案为：．
15.解：设圆心的坐标为，由题意可得，
解得，所以，圆的半径为，
因此，圆的标准方程为．
当时，圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，符合题意
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则，解得，此时，直线的方程为．
综上所述，直线的方程为或．
16.解：由题意可知：双曲线的焦点在轴上，且，
双曲线的离心率为，
则，得，故，
所以双曲线的方程为；
由题意知，
当双曲线的焦点在轴上时，得，
所以双曲线的方程为；
当双曲线的焦点在轴上时，得，
所以双曲线的方程为．
综上所述，双曲线的方程为或．
17.解：设参与知识竞赛者的平均年龄为，
则．
由题意得，第四组应抽取人，记为甲，，，，
第五组应抽取人，记为乙，，
对应的样本空间为：，，，，，，，，，，，，，
设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”，
则，，，，，，，，，
所以．
设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，
则，
，
据此估计第四组和第五组所有人的年龄的平均数为，方差为．
18.解：证明：因为，的中点为，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
根据面面垂直的性质可得平面；
取的中点为，连接，则，由图直角梯形可知，为正方形，
，，，，．
由平面，可知，，两两互相垂直，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
设，
，
设平面的法向量为，
取，则，即平面的法向量为，
由平面，取平面的法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
解得或舍
所以，线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为．
点位于线段靠近的三等分点处．
19.解：由题意可知，，
，所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，
所以曲线的方程，即椭圆方程为．
设，，
由消元得，，，
由，得．
则，，
当为定值时，即与无关，
令，得，此时恒成立，
即当时，为定值，且定值为．
设在点处的切线方程为，
由消去，整理得，
由，
化简得，因为，
所以，故在点处的切线方程为，整理可得，
同理可得，在点处的切线方程为．
设，，将其代入，得，，
所以直线的方程为，即，
令得，故直线过定点，且定点坐标为
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